Hilbertの定理90

結論が成り立たないとして、自明でない関係 $\sum_ic_i\chi_i=0$（$H$ 上の関数として）のうち、$0$ でない係数の個数が最小のものをとる。番号を付け替えて $c_1,\dots,c_r$ がすべて $0$ でなく、それ以外の係数は $0$ であるとする。$\chi_1(h)\ne0$ なので $r=1$ はありえず、$r\ge2$ である。
$\chi_1\ne\chi_2$ なので、$\chi_1(h_0)\ne\chi_2(h_0)$ となる $h_0\in H$ がある。関係式の $h$ を $h_0h$ に取り替えると、$\chi_i(h_0h)=\chi_i(h_0)\chi_i(h)$ から $\sum_{i\le r}c_i\chi_i(h_0)\chi_i(h)=0$ である。一方、もとの関係式に $\chi_1(h_0)$ を掛けると $\sum_{i\le r}c_i\chi_1(h_0)\chi_i(h)=0$ である。引き算すると、すべての $h$ について
$$ \sum_{i=2}^rc_i\bigl(\chi_i(h_0)-\chi_1(h_0)\bigr)\chi_i(h)=0 $$
である。$\chi_2$ の係数 $c_2(\chi_2(h_0)-\chi_1(h_0))$ は $0$ でないので、これは $0$ でない係数が高々 $r-1$ 個の自明でない関係であり、$r$ の最小性に反する。$\square$

$\operatorname{Tr}_{L/K}$ が $L$ 上で恒等的に $0$ なら、$\sum_{\sigma\in G}1\cdot\sigma(x)=0$ がすべての $x\in L^\times$ で成り立ち、lem-h90-dedekind に反する。よって $\operatorname{Tr}_{L/K}(c_0)=t\ne0$ となる $c_0$ があり、$t\in K$ なので $c:=c_0/t$ について $\operatorname{Tr}_{L/K}(c)=\operatorname{Tr}_{L/K}(c_0)/t=1$ である。$K$ 線形写像の像は $K$ の $0$ でない部分空間なので $K$ 全体である。$\square$

$a\colon G\to\mathrm{GL}_n(L)$ を 1 コサイクルとする。列ベクトル $x\in L^n$ に対し、$\tau(x)$ を成分ごとに $\tau$ を施したものとして
$$ b(x):=\sum_{\tau\in G}a_\tau\,\tau(x)\in L^n $$
とおく。
段 1：$b(x)$（$x\in L^n$）の全体は $L^n$ を $L$ 上で張る。 $L$ 線形写像 $\lambda\colon L^n\to L$ がすべての $b(x)$ で $0$ になるとする。$x$ を $cx$（$c\in L^\times$）に取り替えると、$\tau(cx)=\tau(c)\tau(x)$ と $\lambda$ の $L$ 線形性から
$$ 0=\lambda\bigl(b(cx)\bigr)=\sum_{\tau\in G}\lambda\bigl(a_\tau\,\tau(x)\bigr)\,\tau(c)\qquad(c\in L^\times) $$
である。$x$ を固定するとこれは指標 $\tau|_{L^\times}$ たちの $L$ 係数の関係なので、lem-h90-dedekind によりすべての $\tau$ で $\lambda(a_\tau\tau(x))=0$ である。$\tau=1$ とすると $a_1=1$ から $\lambda(x)=0$ であり、$x$ は任意なので $\lambda=0$ である。張る部分空間が $L^n$ より真に小さければ、それを核に含む $0$ でない線形形式があるので、主張が示された。
段 2：コバウンダリの形。 段 1 により、$b(x_1),\dots,b(x_n)$ が一次独立になる $x_1,\dots,x_n\in L^n$ がとれる。$x_1,\dots,x_n$ を列とする行列を $C$ とすると、行列 $B:=\sum_\tau a_\tau\,\tau(C)$ の列は $b(x_1),\dots,b(x_n)$ なので、$B$ は可逆である。$\sigma\in G$ について、コサイクル条件 $\sigma(a_\tau)=a_\sigma^{-1}a_{\sigma\tau}$ を使うと
$$ \sigma(B)=\sum_{\tau\in G}\sigma(a_\tau)\,(\sigma\tau)(C)=a_\sigma^{-1}\sum_{\tau\in G}a_{\sigma\tau}\,(\sigma\tau)(C)=a_\sigma^{-1}B $$
である（$\tau$ が $G$ を動くと $\sigma\tau$ も $G$ を動く）。よって $a_\sigma=B\,\sigma(B)^{-1}$ であり、$b:=B^{-1}$ とおけば $a_\sigma=b^{-1}\sigma(b)$ となって、$a$ はコバウンダリである。
$n=1$ では $B\in L^\times$ で、$a_\sigma=B/\sigma(B)=\sigma(y)/y$（$y:=B^{-1}$）である。$\square$

「$\Leftarrow$」は上で確かめた。「$\Rightarrow$」を示す。$N_{L/K}(x)=1$ とし、$0\le i\le n-1$ について
$$ a_{\sigma^i}:=\prod_{k=0}^{i-1}\sigma^k(x)=x\,\sigma(x)\cdots\sigma^{i-1}(x)\qquad(a_1=a_{\sigma^0}:=1) $$
とおく。$G=\{\sigma^0,\dots,\sigma^{n-1}\}$ なので、これは写像 $a\colon G\to L^\times$ である。さらに任意の整数 $m\ge0$ について $a_{\sigma^m}=\prod_{k=0}^{m-1}\sigma^k(x)$ が成り立つ。実際 $m=qn+r$（$0\le r< n$）と割ると、$\sigma^n=1$ なので $k$ についての積は長さ $n$ の区間ごとに $N_{L/K}(x)=1$ にまとまり、残りは $\prod_{k< r}\sigma^k(x)=a_{\sigma^r}=a_{\sigma^m}$ である。
コサイクル条件を確かめる。$0\le i,j\le n-1$ について
$$ a_{\sigma^i}\,\sigma^i(a_{\sigma^j})=\prod_{k=0}^{i-1}\sigma^k(x)\cdot\prod_{k=0}^{j-1}\sigma^{i+k}(x)=\prod_{k=0}^{i+j-1}\sigma^k(x)=a_{\sigma^{i+j}} $$
である（最後の等号は、いま示した任意の $m\ge0$ での表示を $m=i+j$ に使った）。よって $a$ は 1 コサイクルであり、thm-h90-general により $a_\tau=\tau(y)/y$（$\tau\in G$）となる $y\in L^\times$ がある。$\tau=\sigma$ とすれば $x=a_\sigma=\sigma(y)/y$ である。
一意性：$\sigma(y)/y=\sigma(y')/y'$ なら $\sigma(y/y')=y/y'$ であり、$\sigma$ は $G$ を生成するので $y/y'$ は $G$ で固定され、$K^\times$ に属する。逆に $y'=cy$（$c\in K^\times$）なら比は変わらない。$\square$

(i)：$a\colon G\to L$ が $a_{\sigma\tau}=a_\sigma+\sigma(a_\tau)$ を満たすとする。cor-h90-trace により $\operatorname{Tr}_{L/K}(c)=1$ となる $c\in L$ をとり、$b:=\sum_{\tau\in G}a_\tau\,\tau(c)$ とおく。$\sigma(a_\tau)=a_{\sigma\tau}-a_\sigma$ を使うと
$$ \sigma(b)=\sum_{\tau\in G}\sigma(a_\tau)\,(\sigma\tau)(c)=\sum_{\tau\in G}a_{\sigma\tau}\,(\sigma\tau)(c)-a_\sigma\sum_{\tau\in G}(\sigma\tau)(c)=b-a_\sigma\operatorname{Tr}_{L/K}(c)=b-a_\sigma $$
である。よって $a_\sigma=b-\sigma(b)=\sigma(y)-y$（$y:=-b$）である。
(ii)：$\operatorname{Tr}_{L/K}(\sigma(y)-y)=0$ はトレースの $\sigma$ 不変性から従う。逆に $\operatorname{Tr}_{L/K}(x)=0$ とし、$a_{\sigma^i}:=\sum_{k=0}^{i-1}\sigma^k(x)$（$0\le i\le n-1$）とおく。巡回版の証明の積を和に替えた同じ計算（$\sum_{k=0}^{n-1}\sigma^k(x)=\operatorname{Tr}_{L/K}(x)=0$ を使う）により $a$ は加法的な 1 コサイクルであり、(i) により $x=a_\sigma=\sigma(y)-y$ となる $y$ がある。$y$ の一意性も同様で、$\sigma(y-y')=y-y'$ から $y-y'\in K$ である。$\square$

$\sigma$ を $\operatorname{Gal}(L/K)$ の生成元とする。$\operatorname{Tr}_{L/K}(1)=p\cdot1=0$ なので、thm-h90-additive の (ii) により $\sigma(y)-y=1$ となる $y\in L$ がある。$\sigma(y)=y+1\ne y$ なので $y\notin K$ であり、$[K(y):K]$ は $[L:K]=p$ を割り切り $1$ でないから $p$ に等しく、$L=K(y)$ である。$a:=y^p-y$ とおくと、標数 $p$ では $(y+1)^p=y^p+1$ なので
$$ \sigma(a)=(y+1)^p-(y+1)=y^p-y=a $$
であり、$a$ は生成元 $\sigma$ で固定されるので $K$ に属する。$\square$