接線

同義語：tangent line

概要

前提知識: 導関数, 連鎖律, 偏微分, 陰関数定理

関数 $f$ が $a$ で微分可能なとき、グラフ $y=f(x)$ の点 $(a,f(a))$ での接線（tangent line）は直線 $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ であり、これは「$a$ の近くで $f$ を最もよく近似する 1 次関数」として特徴づけられる（導関数の記事の命題「1次関数による近似としての言い換え」）。しかし、円 $x^2+y^2=1$ の点 $(1,0)$ での接線 $x=1$ のように、関数のグラフとして書けない曲線の接線もある。また、「接線とは曲線と 1 点だけで交わる直線だ」という素朴な考えは、$y=\sin x$ の接線 $y=1$ が曲線と無限個の点で交わることからも分かるとおり、一般には正しくない。
この記事では、接線を媒介変数表示された曲線と方程式 $F(x,y)=0$ で与えられた曲線に広げ、次の 4 つを示す。

速度ベクトルが $0$ でない点では、割線（曲線上の 2 点を通る直線）は接線に近づく。
$F(x,y)=0$ の点 $p$ で勾配 $\nabla F(p)$ が $0$ でなければ、接線は $\nabla F(p)\cdot(x-p)=0$ である。
グラフの割線の 2 点をともに $a$ に近づけたとき、割線が接線に近づくのは $f'$ が $a$ で連続なときに限る。
$f''(a)>0$ なら、グラフは接点の近くで接線の上にある。

定義

$\mathbb{R}^n$ の点 $p$ とベクトル $v\ne0$ について、$p+\mathbb{R}v:=\{p+sv\mid s\in\mathbb{R}\}$ を、$p$ を通り方向 $v$ の直線という。$u\cdot v$ は標準内積、$|v|=\sqrt{v\cdot v}$ は長さである。2 つの直線の方向 $u,v\ne0$ のなす角 $\theta\in[0,\frac\pi2]$ を
$$ \cos\theta=\frac{|u\cdot v|}{|u|\,|v|} $$
で定める（$u$ を $-u$ に替えても変わらないので、直線の向きによらない）。同じ点 $p$ を通る直線 $p+\mathbb{R}u_t$ が $p+\mathbb{R}v$ に近づくとは、なす角が $0$ に近づくこと、すなわち $\frac{|u_t\cdot v|}{|u_t||v|}\to1$ であることをいう。

曲線の接線

$J\subset\mathbb{R}$ を開区間、$\gamma=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)\colon J\to\mathbb{R}^n$ を写像、$t_0\in J$ とする。各成分 $\gamma_k$ が $t_0$ で微分可能なとき、$\gamma'(t_0):=(\gamma_1'(t_0),\dots,\gamma_n'(t_0))$ を $t_0$ での速度ベクトル（接ベクトル）という。$\gamma'(t_0)\ne0$ のとき $t_0$ は正則であるといい、直線
$$ \gamma(t_0)+\mathbb{R}\,\gamma'(t_0) $$
を、曲線 $\gamma$ の $t_0$ における接線という。$n=2$ のとき、接点を通り接線に垂直な直線を法線という。

速度ベクトルを接ベクトルと呼ぶのは Leb2 p. 41 と同じである。関数 $f$ のグラフは $\gamma(t)=(t,f(t))$ と媒介変数表示でき、$\gamma'(a)=(1,f'(a))\ne0$ なので、接線は $(a,f(a))+\mathbb{R}(1,f'(a))$、すなわち $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ であり、導関数の記事の接線と一致する。
媒介変数を取り替えても接線は変わらない。$\varphi$ を開区間の間の微分可能な全単射で $\varphi(s_0)=t_0$、$\varphi'(s_0)\ne0$ とすると、連鎖律により $(\gamma\circ\varphi)'(s_0)=\varphi'(s_0)\,\gamma'(t_0)$ であり、方向は $0$ でない定数倍しか変わらない。

割線の極限としての接線

割線は接線に近づく

開区間 $J$ 上の $\gamma\colon J\to\mathbb{R}^n$ が $t_0\in J$ で微分可能で、$\gamma'(t_0)\ne0$ とする。このとき、ある $\delta>0$ について、$0<|t-t_0|<\delta$ ならば $\gamma(t)\ne\gamma(t_0)$ であり、$\gamma(t_0)$ と $\gamma(t)$ を通る割線 $\gamma(t_0)+\mathbb{R}\bigl(\gamma(t)-\gamma(t_0)\bigr)$ は、$t\to t_0$ のとき $t_0$ における接線に近づく。

割線の方向を $t-t_0$ で割る

$v:=\gamma'(t_0)$、$t\ne t_0$ について $q(t):=\frac{\gamma(t)-\gamma(t_0)}{t-t_0}$ とおく。各成分の差分商が収束するので $q(t)\to v$ である。$|v|>0$ なので、$\delta>0$ を、$0<|t-t_0|<\delta$ ならば $|q(t)-v|<\frac{|v|}2$ となるようにとる。このとき三角不等式により $|q(t)|>\frac{|v|}2>0$ なので、$\gamma(t)-\gamma(t_0)=(t-t_0)q(t)\ne0$ である。割線の方向 $\gamma(t)-\gamma(t_0)$ は $q(t)$ の $0$ でない定数倍なので、なす角は $q(t)$ と $v$ で計算してよい。内積と長さは連続なので
$$ \frac{|q(t)\cdot v|}{|q(t)|\,|v|}\longrightarrow\frac{|v\cdot v|}{|v|\,|v|}=1\qquad(t\to t_0) $$
であり、割線は接線に近づく。

仮定 $\gamma'(t_0)\ne0$ は、割線の極限を「$t_0$ の接線」と一致させるために使った。$\gamma'(t_0)=0$ のときは、割線は近づくことも近づかないこともある。

速度ベクトルが0になる点

$\gamma(t)=(t^2,t^3)$ は $y^2=x^3$ を満たす曲線（尖点をもつ 3 次曲線）を描き、$\gamma'(0)=(0,0)$ である。$t\ne0$ で $\gamma(t)-\gamma(0)=t^2(1,t)$ なので割線の方向は $(1,t)$ であり、$t\to0$ で $x$ 軸 $y=0$ に近づく。速度ベクトルが $0$ でも、割線の極限としての接線はある。
$\gamma(t)=\bigl(t^2\cos\frac1t,\ t^2\sin\frac1t\bigr)$（$t\ne0$）、$\gamma(0)=(0,0)$ とする。$\left|\frac{\gamma(t)}t\right|=|t|\to0$ なので $\gamma$ は $0$ で微分可能で $\gamma'(0)=(0,0)$ である。割線の方向 $\bigl(\cos\frac1t,\sin\frac1t\bigr)$ は $t\to0$ で回り続け、どの直線にも近づかない。原点のまわりを渦巻く曲線には、原点で割線の極限としての接線がない。

$\gamma$ が $t_0$ で微分可能でない場合も、割線は近づかないことがある。$\gamma(t)=(t,|t|)$（$y=|x|$ のグラフ）の $t_0=0$ では、$t>0$ の割線は $y=x$、$t<0$ の割線は $y=-x$ であり、左右で別の直線になる。

方程式で定まる曲線の接線

円 $x^2+y^2=1$ のように、曲線が方程式 $F(x,y)=0$ で与えられることが多い。以下、$U\subset\mathbb{R}^2$ を開集合、$F\colon U\to\mathbb{R}$ を $C^1$ 級（偏導関数 $F_x=\frac{\partial F}{\partial x}$、$F_y=\frac{\partial F}{\partial y}$ が存在して連続）とし、$\nabla F:=(F_x,F_y)$ を勾配とする（偏微分の記事の定義「方向微分と勾配」）。$C^1$ 級の関数は全微分可能である（偏微分の記事の定理「偏導関数が連続なら全微分可能」）。

陰関数表示の曲線の接線

$C:=\{q\in U\mid F(q)=0\}$、$p=(x_0,y_0)\in C$ とし、$\nabla F(p)\ne(0,0)$ とする。

$p$ を含む開集合 $V\subset U$ と、開区間 $J\ni0$ 上の $C^1$ 級の写像 $\gamma\colon J\to\mathbb{R}^2$ で、$\gamma(0)=p$、すべての $t\in J$ で $\gamma'(t)\ne0$、$C\cap V=\gamma(J)$ となるものがある。
開区間上の写像 $\beta$ で、値がすべて $C$ に入り、$\beta(s_0)=p$、$\beta$ が $s_0$ で微分可能なものについて、$\nabla F(p)\cdot\beta'(s_0)=0$ である。
したがって、$C$ の中を通って $p$ で正則な曲線の接線は、どれも同じ直線
$$ F_x(p)\,(x-x_0)+F_y(p)\,(y-y_0)=0 $$
である。法線は $p+\mathbb{R}\,\nabla F(p)$ である。

陰関数定理で局所的にグラフにし、連鎖律で勾配との直交を示す

1：$F_y(p)\ne0$ の場合を示す（$F_x(p)\ne0$ の場合は $x$ と $y$ の役割を入れ替えればよい）。陰関数定理の記事の定理「陰関数定理」（$n=m=1$、$k=1$）により、$x_0$ を含む開集合 $W\subset\mathbb{R}$、$y_0$ を含む開集合 $V'\subset\mathbb{R}$（$W\times V'\subset U$）と $C^1$ 級の $\varphi\colon W\to V'$ で、$(x,y)\in W\times V'$ について $F(x,y)=0$ と $y=\varphi(x)$ が同値になるものがある。$x_0$ を含み $W$ に含まれる開区間 $W_0$ をとり、$V:=W_0\times V'$、$J:=\{t\mid x_0+t\in W_0\}$、$\gamma(t):=(x_0+t,\varphi(x_0+t))$ とおけば、$\gamma(0)=p$、$\gamma'(t)=(1,\varphi'(x_0+t))\ne0$、$C\cap V=\gamma(J)$ である。
2：$g(s):=F(\beta(s))$ は恒等的に $0$ である。$F$ は $p$ で全微分可能で $\beta$ は $s_0$ で微分可能なので、連鎖律の記事の系「成分による表示と曲線に沿った微分」により
$$ 0=g'(s_0)=F_x(p)\,\beta_1'(s_0)+F_y(p)\,\beta_2'(s_0)=\nabla F(p)\cdot\beta'(s_0) $$
である。
3：$\beta'(s_0)\ne0$ とする。$\mathbb{R}^2$ で $0$ でないベクトル $\nabla F(p)$ に直交するベクトルの全体は直線 $\mathbb{R}\,(-F_y(p),F_x(p))$ なので、2 により $\beta'(s_0)$ はその $0$ でない定数倍であり、接線 $p+\mathbb{R}\beta'(s_0)$ は $\{q\mid\nabla F(p)\cdot(q-p)=0\}$ に等しい。1 の $\gamma$ がそのような曲線の例である。法線の方向は接線の方向 $(-F_y(p),F_x(p))$ に垂直なので $\nabla F(p)$ である。

代数曲線（$F$ が多項式）の場合、この式は代数幾何学での接線の定義そのものである（Ful08 §3.1、p. 31 は、$F_X(P)$ または $F_Y(P)$ が $0$ でない点 $P=(a,b)$ を単純点とよび、そこでの接線を $F_X(P)(X-a)+F_Y(P)(Y-b)=0$ と定める）。

円・楕円・Descartes の葉線

円 $x^2+y^2=r^2$（$r>0$）では $\nabla F=(2x,2y)$ で、円上では $(0,0)$ でない。点 $(x_0,y_0)$ での接線は $2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)=0$、すなわち $x_0x+y_0y=r^2$ である。$(r,0)$ では $x=r$ となり、関数のグラフとしては書けない接線も同じ式で得られる。法線 $(x_0,y_0)+\mathbb{R}(x_0,y_0)$ は中心を通る。
楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の点 $(x_0,y_0)$ での接線は $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ である（2次曲線の接線と光学的性質）。
Descartes の葉線 $x^3+y^3=3xy$ の点 $\bigl(\frac32,\frac32\bigr)$ では、$\nabla F=(3x^2-3y,\ 3y^2-3x)=\bigl(\frac94,\frac94\bigr)$ なので、接線は $x+y=3$ である。

$\nabla F(p)=0$ となる点では、定理の結論は崩れうる。

反例：勾配が0になる点

結節点をもつ 3 次曲線 $y^2=x^2(x+1)$（$F=y^2-x^2-x^3$）の原点では $\nabla F(0,0)=(0,0)$ である。$\gamma(t)=(t^2-1,\ t(t^2-1))$ はこの曲線を描き（$y^2=t^2(t^2-1)^2=x^2(x+1)$）、$t=1$ と $t=-1$ でともに原点を通る。$\gamma'(t)=(2t,\ 3t^2-1)$ なので、$t=1$ での接線は $y=x$、$t=-1$ での接線は $y=-x$ である。原点を通る正則な曲線の接線が 1 本に定まらず、thm-tangent-line-implicit の 3 が成り立たない。代数幾何学では、原点での $F$ の最低次の項 $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$ の因子を原点での接線とよぶ（Ful08 §3.1、pp. 32–33）。
$F=x^2+y^2$ では $C=\{(0,0)\}$ であり、$C$ は曲線でない。thm-tangent-line-implicit の 1 が成り立たない。
尖点 $y^2=x^3$ の原点でも $\nabla F=(0,0)$ である。ex-tangent-line-singular-parameter の 1 で見たとおり割線は $y=0$ に近づき、これは最低次の項 $y^2$ の因子と一致する。

グラフとして書けない接線は、媒介変数表示でも扱える。$y=x^{1/3}$ のグラフは原点で微分可能でない（差分商 $x^{-2/3}$ が限りなく大きくなる）が、$\gamma(t)=(t^3,t)$ と表示すれば $\gamma'(0)=(0,1)\ne0$ であり、接線は $y$ 軸 $x=0$ である。$F(x,y)=x-y^3$ とみても $\nabla F(0,0)=(1,0)$ から同じ接線が得られる。

2点を動かした割線

thm-tangent-line-secant では割線の一端を接点に固定した。両端をともに接点に近づけると、事情が変わる。

2点を動かした割線

$I$ を開区間、$f\colon I\to\mathbb{R}$ を $I$ 上で微分可能な関数、$a\in I$ とする。次は同値である。

$f'$ は $a$ で連続である。
$x,y\in I$、$x\ne y$ として $(x,y)\to(a,a)$ のとき、割線の傾き $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ は $f'(a)$ に収束する。すなわち、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta>0$ があり、$x,y\in(a-\delta,a+\delta)\cap I$、$x\ne y$ ならば $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}-f'(a)\right|<\varepsilon$ となる。

平均値の定理と、一端を固定した極限

1⇒2：$\varepsilon>0$ に対し、$|\xi-a|<\delta$ ならば $|f'(\xi)-f'(a)|<\varepsilon$ となる $\delta>0$ をとる（$(a-\delta,a+\delta)\subset I$ としてよい）。$x,y\in(a-\delta,a+\delta)$、$x< y$ とすると、平均値の定理により $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(\xi)$ となる $\xi\in(x,y)$ があり、$|\xi-a|<\delta$ なので傾きと $f'(a)$ の差は $\varepsilon$ より小さい。
2⇒1：$\varepsilon>0$ に対し 2 の $\delta$ をとり、$x\in(a-\delta,a+\delta)\cap I$ を固定する。$y\in(a-\delta,a+\delta)\cap I$、$y\ne x$ について $\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(a)\right|<\varepsilon$ であり、$y\to x$ とすると左辺の差分商は $f'(x)$ に収束するので $|f'(x)-f'(a)|\le\varepsilon$ である。よって $f'$ は $a$ で連続である。

$f$ が $C^1$ 級なら、どの点でも 2 点を動かした割線は接線に近づく。$f'$ が連続でないと、そうならない。

反例：2点を動かした割線が接線に近づかない

$f(x)=x^2\sin\frac1x$（$x\ne0$）、$f(0)=0$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で $f'(0)=0$ だが、$f'$ は $0$ で連続でない（導関数の記事の例「反例：導関数が連続でない微分可能な関数」）。正の整数 $k$ と $A:=2k\pi$ について $x_k:=\frac1{A+\pi/2}$、$y_k:=\frac1{A-\pi/2}$ とおくと、$\sin\frac1{x_k}=1$、$\sin\frac1{y_k}=-1$ なので
$$ \frac{f(x_k)-f(y_k)}{x_k-y_k}=-\frac{x_k^2+y_k^2}{y_k-x_k}=-\frac{2A^2+\pi^2/2}{\pi\,(A^2-\pi^2/4)}\longrightarrow-\frac2\pi\qquad(k\to\infty) $$
である（$y_k-x_k=\frac{\pi}{A^2-\pi^2/4}$、$x_k^2+y_k^2=\frac{2A^2+\pi^2/2}{(A^2-\pi^2/4)^2}$）。$x_k,y_k\to0$ なのに傾きは $f'(0)=0$ に近づかない。$k=1000$ で傾きは $-0.63661\ldots$ である。原点の近くの弦は、原点での接線 $y=0$ とは違う方向を向いたものがいくらでも短く現れる。

接線に対するグラフの位置

2階微分係数と接線の上下

$I$ を開区間、$f\colon I\to\mathbb{R}$ を $I$ 上で微分可能とし、$a\in I$ で $f'$ が微分可能で $f''(a)>0$ とする。このとき $\delta>0$ があって、$0<|x-a|<\delta$ ならば
$$ f(x)>f(a)+f'(a)(x-a) $$
である。$f''(a)<0$ なら不等号が逆になる。

接線との差に平均値の定理を使う

$g(x):=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$ とおくと、$g(a)=0$、$g'(x)=f'(x)-f'(a)$ である。$\frac{g'(x)}{x-a}=\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}\to f''(a)>0$ なので、$\delta>0$（$(a-\delta,a+\delta)\subset I$）を、$0<|x-a|<\delta$ ならば $\frac{g'(x)}{x-a}>0$ となるようにとる。つまり $a< x< a+\delta$ で $g'(x)>0$、$a-\delta< x< a$ で $g'(x)<0$ である。$a< x< a+\delta$ なら、平均値の定理により $g(x)=g(x)-g(a)=g'(\xi)(x-a)$ となる $\xi\in(a,x)$ があり、$g'(\xi)>0$ なので $g(x)>0$ である。$a-\delta< x< a$ なら、$g(a)-g(x)=g'(\xi)(a-x)$ となる $\xi\in(x,a)$ があり、$g'(\xi)<0$ なので $g(x)>0$ である。$f''(a)<0$ の場合は $-f$ に当てればよい。

$f''(a)=0$ のときは何も言えない。$x^3$、$x^4$、$-x^4$ はいずれも $f'(0)=f''(0)=0$ で、原点での接線は $y=0$ だが、$x^3$ のグラフは原点で接線を横切り（$x<0$ で下、$x>0$ で上）、$x^4$ は上に、$-x^4$ は下にある。開区間上で微分可能な関数について、グラフがどの点での接線よりも下に来ないことは、関数が凸であることと同値である（凸関数の記事の節「導関数による判定」）。

接線と共有点の個数

円や放物線では、接線は曲線とちょうど 1 点で交わる。たとえば $y=x^2$ と点 $(a,a^2)$ での接線 $y=2ax-a^2$ の差は $(x-a)^2\ge0$ で、等号は $x=a$ のときだけである。しかし一般には、共有点の個数で接線を定めることはできない。

$y=\sin x$ の点 $\bigl(\frac\pi2,1\bigr)$ での接線 $y=1$ は、曲線と点 $\bigl(\frac\pi2+2m\pi,1\bigr)$（$m\in\mathbb{Z}$）で無限個の共有点をもつ。
$y$ 軸 $x=0$ は放物線 $y=x^2$ と原点だけで交わるが、原点での接線は $y=0$ であり、$x=0$ は接線ではない。
$y=x^3$ の原点での接線 $y=0$ は曲線と原点だけで交わるが、曲線を横切る。
接するかどうかは、交わる点の個数ではなく、接点の近くでの近づき方（差が $x-a$ より速く $0$ に近づくこと）で決まる。

反例：仮定を外すと何が崩れるか

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\gamma'(t_0)\ne0$	$t^2\bigl(\cos\frac1t,\sin\frac1t\bigr)$ の $t=0$	割線が 1 本の直線に近づくこと
$\gamma$ が $t_0$ で微分可能	$(t,\lvert t\rvert)$ の $t=0$	左右の割線が同じ直線に近づくこと
$\nabla F(p)\ne0$	$y^2=x^2(x+1)$ の原点	接線がただ 1 本であること
$\nabla F(p)\ne0$	$x^2+y^2=0$	$C$ が $p$ の近くで曲線であること
$f'$ が $a$ で連続	$x^2\sin\frac1x$ の $a=0$	2 点を動かした割線が接線に近づくこと
$f''(a)\ne0$	$x^3$ の $a=0$	グラフが接線の片側にあること