圏同値
概要
圏同値（equivalence of categories）とは、合成が自然同型を通じて恒等関手に戻るような擬逆関手を持つ関手である。対象の重複した表示を許しながら、射とその合成の構造を保つ。
定義
二つの圏が同じ構造を表すとき、対象の名前まで一対一で一致する必要はない。同型な対象の重複を許して比べる概念が圏同値である。
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が圏同値（equivalence of categories）を与えるとは、関手 $G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ と自然同型
$$
\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\xrightarrow{\cong}GF,
\qquad
\epsilon\colon FG\xrightarrow{\cong}\operatorname{id}_{\mathcal D}
$$
が存在することをいう。$G$ を $F$ の擬逆関手という。二つの圏がこの意味で同値なら $\mathcal C\simeq\mathcal D$ と書く。
自然同型とは、全対象で同型射を成分に持ち、各射に対する自然性の四角が可換となる自然変換である。
$GF$ や $FG$ が恒等関手に厳密に等しいことは要求しない。それを要求する圏の同型と区別する。ここでは適切な宇宙(集合論)を固定し、圏はその宇宙で小さいものとする。一般の圏でも、後述する代表対象の選択が可能な範囲で同じ議論を適用できる。定義・判定定理の標準的な参照先は Rie16 §1.5である。
直感と例
二対象 $a,b$ を持ち、任意の対象対の間に射がちょうど一本ある圏 $E$ を考える。そのすべての射は同型である。一対象・恒等射だけの圏 $*$ への関手 $E\to *$ は圏同値であり、擬逆は $a$ を選べばよい。ただし対象数が異なるため圏の同型ではない。
二元群 $C_2$ を一対象圏とみなし、一対象・恒等射だけの圏からの関手 $*\to BC_2$ を考える。対象上は全単射だが、自己射への写像は二元のうち恒等射しか含まない。充満でないため圏同値ではない。
充満忠実性による判定
充満忠実関手・本質的全射の定義は各記事を参照する。委譲元の公開記事 充満忠実関手 の prop-fully-faithful-equivalence は一般の関手について圏同値との関係を述べているため、本記事は小圏の間で述べるが、宇宙の取り方により一般の場合も回収される。
圏同値を与える関手は充満忠実かつ本質的全射である。
$\epsilon_d\colon FGd\cong d$ より本質的全射。$Ff=Fg$ なら、$\eta$ の自然性から
$$
f=\eta_{c'}^{-1}GF(f)\eta_c
=\eta_{c'}^{-1}GF(g)\eta_c=g.
$$
従って $F$ は忠実。同様に $\epsilon$ を使えば $G$ も忠実である。
射 $k\colon Fc\to Fc'$ に対し $h=\eta_{c'}^{-1}G(k)\eta_c$ とする。$\eta$ の自然性を $h$ に使うと $GF(h)=G(k)$。$G$ の忠実性から $F(h)=k$ となり、$F$ は充満でもある。任意に与えられた二自然同型について成り立ち、三角恒等式を暗に仮定していない。
選択公理を仮定する。小圏間の充満忠実かつ本質的全射な関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ は圏同値を与える。
各 $d$ に対して対象 $Gd$ と同型 $\epsilon_d\colon FGd\to d$ を選ぶ。射 $v\colon d\to d'$ に対し
$$
F(Gv)=\epsilon_{d'}^{-1}v\epsilon_d
$$
となる $Gv$ を、充満忠実性から一意に定める。右辺が単位・合成を保つため $G$ は関手となり、式自体が $\epsilon$ の自然性である。
各 $c$ について、$F(\eta_c)=\epsilon_{Fc}^{-1}$ となる射 $\eta_c\colon c\to GFc$ を取る。逆同型も充満忠実性で持ち上がるので $\eta_c$ は同型。射 $f\colon c\to c'$ に対して
$$
F(GF(f)\eta_c)=\epsilon_{Fc'}^{-1}F(f)
=F(\eta_{c'}f)
$$
となり、忠実性から自然性を得る。これで対象の代表だけでなく、擬逆関手と二自然同型が構成された。
二命題を合わせた判定は Rie16 定理1.5.9である。選択は、標的の各対象に対して像の代表を一斉に取る箇所に使った。
豊穣圏・∞圏との接続
豊穣圏では、Hom集合の全単射をHom対象の同型へ強めた充満忠実性を考える。Setの場合は上の定式化に戻るが、一般の基礎圏では単位対象からの要素だけでHom対象の同型を判定できるとは限らない（Kel82 §1.11）。
∞-圏では擬逆と自然同値を持つ関手を同値とし、判定にはHom空間の同値を使う。ホモトピー圏が通常の圏として同値であることだけでは高次情報を回収できない。通常圏の脈体では離散Homと通常の自然同型へ戻り、この圏同値を回収する。専用稿は圏同値(∞圏)（HTT09 §§1.2.7, 1.2.10、§2.2.5）。
関連項目
参考文献
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