Bochnerの方法

同義語：Bochner techniqueBochnerの技法Bochnerの公式Bochner formulaWeitzenböckの公式Weitzenböck formulaBochnerの消滅定理Bochner–小平–中野の等式中野の恒等式Bochner–Kodaira–Nakano identityNakano identity

概要

前提知識: Laplace–de Rham作用素, リッチテンソル, Kählerの恒等式, Chern接続, Hodgeの定理

Bochnerの方法（Bochner technique）とは、Laplace 型の作用素を「非負の作用素」と「曲率の項」の和に書く等式（Weitzenböck の公式、Bochner の公式）を立て、それを閉多様体の上で積分することで、曲率の符号から調和形式や正則切断の消滅（あるいは平行性）を導く手法である。
代表的な 2 つの形がある。Riemann 多様体 $(M,g)$ の 1 次形式 $\alpha$ については、閉多様体の上で
$$ \|d\alpha\|^2+\|d^*\alpha\|^2=\|\nabla\alpha\|^2+\int_M\mathrm{Ric}(\alpha^\sharp,\alpha^\sharp)\,\mathrm{vol} $$
が成り立ち、Ricci 曲率が非負なら調和 1 次形式は平行になり、第 1 Betti 数は $b_1(M)\le\dim M$ に制限される。Kähler 多様体上の Hermite 正則ベクトル束 $(E,h)$ に値をとる形式については、Chern 接続 $D=D'+D''$ から作る 2 つのラプラシアンの間に
$$ \Delta''=\Delta'+[i\Theta(E),\Lambda] $$
が成り立つ（Bochner–小平–中野の等式、中野の恒等式）。右辺の第 2 項は微分を含まない曲率の項で、これが小平の消滅定理（小平の消滅定理）の出発点になる。
この記事では、1 次形式の Bochner の公式と Bochner の消滅定理、ベクトル束に値をとる形式の Kähler の恒等式と Bochner–小平–中野の等式、その帰結として正則切断の消滅定理を、いずれも完全に証明する。

Riemann 多様体の 1 次形式

設定と記号

$(M,g)$ を $m$ 次元の向き付けられた Riemann 多様体、$\nabla$ を Levi-Civita 接続（リーマン接続）とする。曲率は $R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$、Ricci テンソルは正規直交基底 $e_1,\dots,e_m$ について
$$ \mathrm{Ric}(Y,Z)=\sum_{i=1}^mg\bigl(R(e_i,Y)Z,e_i\bigr) $$
である（リッチテンソルの定義）。1 次形式 $\alpha$ に対して、$g(X,Y)=\alpha(Y)$ で定まるベクトル場 $X=:\alpha^\sharp$ をとり、$\mathrm{Ric}(\alpha,\alpha):=\mathrm{Ric}(\alpha^\sharp,\alpha^\sharp)$ と書く。
1 次形式の共変微分を $(\nabla_Y\alpha)(Z):=Y\bigl(\alpha(Z)\bigr)-\alpha(\nabla_YZ)$ で定める。$\nabla$ は計量を保つので $(\nabla_Y\alpha)(Z)=g(\nabla_YX,Z)$ である。そこで各点の線形写像
$$ A\colon T_pM\to T_pM,\qquad A(Y):=\nabla_YX $$
を考え、$a_{ij}:=g(Ae_i,e_j)=(\nabla_{e_i}\alpha)(e_j)$ とおく。$|\nabla\alpha|^2:=\sum_{i,j}a_{ij}^2$、$\|\nabla\alpha\|^2:=\int_M|\nabla\alpha|^2\mathrm{vol}$ とし、ベクトル場 $V$ の発散を $\operatorname{div}V:=\operatorname{tr}(Y\mapsto\nabla_YV)$ で定める。とくに $\operatorname{div}X=\operatorname{tr}A$ である。2 次形式の各点のノルムは $|\beta|^2=\sum_{i< j}\beta(e_i,e_j)^2$ である（Laplace–de Rham作用素の記事と同じ内積）。

外微分・余微分と共変微分

$\alpha$ を 1 次形式、$X=\alpha^\sharp$ とする。

$d\alpha(Y,Z)=(\nabla_Y\alpha)(Z)-(\nabla_Z\alpha)(Y)$。
$d^*\alpha=-\operatorname{div}X$。
$M$ が閉多様体（コンパクトで境界をもたない）なら、任意のベクトル場 $V$ について $\int_M\operatorname{div}V\,\mathrm{vol}=0$。

要点：1 は捩れのない条件、2 は $d^*$ の座標表示と $\sum_i\Gamma^i_{ik}=\partial_k\log\sqrt{\det g}$、3 は 2 と $d^*$ が $d$ の随伴であることによる。

証明を開く

1．1 次形式の外微分の公式 $d\alpha(Y,Z)=Y\alpha(Z)-Z\alpha(Y)-\alpha([Y,Z])$ に、$Y\alpha(Z)=(\nabla_Y\alpha)(Z)+\alpha(\nabla_YZ)$ と捩れのない条件 $\nabla_YZ-\nabla_ZY=[Y,Z]$ を代入すればよい。

2．局所座標をとり、$\sqrt g:=\sqrt{\det(g_{ij})}$、$X=\sum X^i\partial_i$、$X^i=\sum_jg^{ij}\alpha_j$ とする。Laplace–de Rham作用素の命題「関数に対する Laplace–de Rham 作用素」により $d^*\alpha=-\frac1{\sqrt g}\sum_i\partial_i(\sqrt g\,X^i)$ である。一方 $\operatorname{div}X=\sum_i\bigl(\partial_iX^i+\sum_k\Gamma^i_{ik}X^k\bigr)$ で、Christoffel 記号の式から $\sum_i\Gamma^i_{ik}=\frac12\sum_{i,l}g^{il}\partial_kg_{il}$（残りの 2 項は $g^{il}$ の対称性で打ち消し合う）であり、行列式の微分の公式によりこれは $\partial_k\log\sqrt g$ に等しい。よって $\operatorname{div}X=\frac1{\sqrt g}\sum_i\partial_i(\sqrt g\,X^i)=-d^*\alpha$ である。

3．$\beta(Y):=g(V,Y)$ とおくと、2 により $\operatorname{div}V=-d^*\beta$ である。$d^*$ は閉多様体の上で $d$ の随伴なので、$\int_Md^*\beta\,\mathrm{vol}=\langle\!\langle d^*\beta,1\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\beta,d1\rangle\!\rangle=0$ である。$\square$

Bochner の公式

$(M,g)$ を向き付けられた Riemann 多様体、$\alpha$ を 1 次形式、$X=\alpha^\sharp$ とする。各点で
$$ |d\alpha|^2+|d^*\alpha|^2=|\nabla\alpha|^2+\mathrm{Ric}(X,X)-\operatorname{div}\bigl(\nabla_XX-(\operatorname{div}X)\,X\bigr) $$
が成り立つ。とくに $M$ が閉多様体なら
$$ \langle\!\langle\Delta\alpha,\alpha\rangle\!\rangle=\|d\alpha\|^2+\|d^*\alpha\|^2=\|\nabla\alpha\|^2+\int_M\mathrm{Ric}(X,X)\,\mathrm{vol} $$
である。

主定理

点 $p$ と $p$ の近くの正規直交枠 $e_1,\dots,e_m$ をとり、上の $A$ と $a_{ij}$ を使う。
左辺．lem-boch-d-nabla の 1 により $d\alpha(e_i,e_j)=a_{ij}-a_{ji}$ なので
$$ |d\alpha|^2=\sum_{i< j}(a_{ij}-a_{ji})^2=\frac12\sum_{i,j}(a_{ij}-a_{ji})^2=\sum_{i,j}a_{ij}^2-\sum_{i,j}a_{ij}a_{ji}=|\nabla\alpha|^2-\operatorname{tr}(A^2) $$
である（$\operatorname{tr}(A^2)=\sum_ig(A^2e_i,e_i)=\sum_{i,j}g(Ae_i,e_j)g(Ae_j,e_i)$）。同補題の 2 により $|d^*\alpha|^2=(\operatorname{tr}A)^2$ である。よって
$$ |d\alpha|^2+|d^*\alpha|^2=|\nabla\alpha|^2-\operatorname{tr}(A^2)+(\operatorname{tr}A)^2\qquad(1) $$
である。
発散の計算．ベクトル場の 2 階共変微分を $\nabla^2_{Y,Z}X:=\nabla_Y\nabla_ZX-\nabla_{\nabla_YZ}X$ と書く。捩れのない条件から $\nabla^2_{Y,Z}X-\nabla^2_{Z,Y}X=\nabla_Y\nabla_ZX-\nabla_Z\nabla_YX-\nabla_{[Y,Z]}X=R(Y,Z)X$ である。自己準同型の場 $A$ の共変微分 $(\nabla_YA)(Z):=\nabla_Y(AZ)-A(\nabla_YZ)$ は $\nabla^2_{Y,Z}X$ に等しい。$\nabla_XX=A(X)$ なので
$$ \operatorname{div}(\nabla_XX)=\sum_ig\bigl(\nabla_{e_i}(AX),e_i\bigr)=\sum_ig\bigl((\nabla_{e_i}A)X,e_i\bigr)+\sum_ig\bigl(A(Ae_i),e_i\bigr) $$
であり、第 2 項は $\operatorname{tr}(A^2)$ である。第 1 項は
$$ \sum_ig(\nabla^2_{e_i,X}X,e_i)=\sum_ig(\nabla^2_{X,e_i}X,e_i)+\sum_ig\bigl(R(e_i,X)X,e_i\bigr)=\operatorname{tr}(\nabla_XA)+\mathrm{Ric}(X,X) $$
で、$\operatorname{tr}(\nabla_XA)=X(\operatorname{tr}A)$ である（$\nabla_Xe_i=\sum_j\omega_{ji}e_j$ と書くと、$\omega_{ji}$ は $i,j$ について反対称なので、$X\bigl(g(Ae_i,e_i)\bigr)$ の和から $\operatorname{tr}(\nabla_XA)$ を引いた $\sum_{i,j}\omega_{ji}\bigl(g(Ae_j,e_i)+g(Ae_i,e_j)\bigr)$ は $0$ になる）。まとめると
$$ \operatorname{div}(\nabla_XX)=X(\operatorname{tr}A)+\mathrm{Ric}(X,X)+\operatorname{tr}(A^2) $$
である。一方 $\operatorname{div}\bigl((\operatorname{tr}A)X\bigr)=X(\operatorname{tr}A)+(\operatorname{tr}A)^2$ である。引き算して
$$ \operatorname{div}\bigl(\nabla_XX-(\operatorname{div}X)X\bigr)=\operatorname{tr}(A^2)-(\operatorname{tr}A)^2+\mathrm{Ric}(X,X)\qquad(2) $$
を得る。(1) と (2) から各点の等式が従う。
積分．閉多様体では lem-boch-d-nabla の 3 により発散の項の積分は $0$ である。$\langle\!\langle\Delta\alpha,\alpha\rangle\!\rangle=\langle\!\langle dd^*\alpha,\alpha\rangle\!\rangle+\langle\!\langle d^*d\alpha,\alpha\rangle\!\rangle=\|d^*\alpha\|^2+\|d\alpha\|^2$ と合わせて、積分した等式を得る。$\square$

この等式の各点版が Weitzenböck の公式
$$ \Delta\alpha=\nabla^*\nabla\alpha+\mathrm{Ric}(\alpha^\sharp,\cdot\,) $$
である。ここで $\nabla^*\nabla\alpha:=-\sum_i\bigl(\nabla_{e_i}\nabla_{e_i}\alpha-\nabla_{\nabla_{e_i}e_i}\alpha\bigr)$ は粗ラプラシアンで、閉多様体では $\langle\!\langle\nabla^*\nabla\alpha,\alpha\rangle\!\rangle=\|\nabla\alpha\|^2$ となり、両辺と $\alpha$ の内積を積分すると thm-boch-formula の積分形になる。$\Delta$ と $\nabla^*\nabla$ は同じ主表象 $-|\xi|^2$ をもち、差が 0 階の曲率の項になる。各点版は Gil84 Lemma 4.8.13（p. 323）にある（この記事では証明しない）。

Bochner の消滅定理

$(M,g)$ を $m$ 次元の連結で向き付けられた閉 Riemann 多様体とする。

各点で $\mathrm{Ric}\ge0$（半正定値）なら、調和 1 次形式はすべて平行（$\nabla\alpha=0$）で、$\mathrm{Ric}(\alpha^\sharp,\alpha^\sharp)=0$ をみたす。とくに $b_1(M)\le m$ である。
さらにある点で $\mathrm{Ric}$ が正定値なら、$b_1(M)=0$ である。

1．$\alpha$ を調和 1 次形式とする。閉多様体の上では $\Delta\alpha=0$ と $d\alpha=0$ かつ $d^*\alpha=0$ は同値である（Laplace–de Rham作用素の定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」）。thm-boch-formula により
$$ 0=\|\nabla\alpha\|^2+\int_M\mathrm{Ric}(\alpha^\sharp,\alpha^\sharp)\,\mathrm{vol} $$
で、仮定から右辺の 2 項はどちらも非負なので、ともに $0$ である。第 1 項から $\nabla\alpha=0$、第 2 項の被積分関数は連続で非負なので $\mathrm{Ric}(\alpha^\sharp,\alpha^\sharp)=0$ が各点で成り立つ。
平行な形式の長さは一定である：ベクトル場 $Y$ について $Y\bigl(|\alpha|^2\bigr)=2\langle\nabla_Y\alpha,\alpha\rangle=0$ であり、$M$ は連結だから $|\alpha|$ は定数である。したがって点 $p$ を 1 つ固定すると、調和 1 次形式の空間 $\mathcal H^1(M)$ から $T^*_pM$ への写像 $\alpha\mapsto\alpha_p$ は単射である。Hodgeの定理により $b_1(M)=\dim\mathcal H^1(M)$ なので、$b_1(M)\le\dim T^*_pM=m$ である。
2．$\mathrm{Ric}$ が点 $p$ で正定値とする。調和 1 次形式 $\alpha$ について、1 により $\mathrm{Ric}(\alpha^\sharp,\alpha^\sharp)(p)=0$ なので $\alpha_p=0$ である。$|\alpha|$ は一定だから $\alpha=0$ である。よって $\mathcal H^1(M)=0$ で、$b_1(M)=0$ である。$\square$

これは Ricci 曲率が正の閉多様体で第 1 Betti 数が $0$ になるという Bochner の最初の消滅定理で、Kob87 の第 3.1 節末の注意（p. 56）が Myers の定理（基本群の有限性）と比べて述べている。Bochner の定理の結論は Myers の定理より弱いが、手法はベクトル束の係数へ広く一般化できる。次の節がその複素版である。

Bochner の消滅定理の例

平坦なトーラス．$T^m=\mathbb R^m/\mathbb Z^m$ に平坦な計量を入れると $\mathrm{Ric}=0$ で、$dx^1,\dots,dx^m$ は平行な調和 1 次形式である。$b_1(T^m)=m$ で、thm-boch-vanishing の 1 の不等式は等号で成り立つ。
球面．半径 $1$ の $S^m$（$m\ge2$）では $\mathrm{Ric}=(m-1)g$ は正定値なので、2 により $b_1(S^m)=0$ である。これは $H^1(S^m,\mathbb R)=0$ と一致する。
$S^2\times S^1$．積の計量では $\mathrm{Ric}=\mathrm{pr}_1^*g_{S^2}$ で、各点で半正定値だが $S^1$ の方向に退化している。$b_1=1\le3$ であり、調和 1 次形式 $d\theta$（$\theta$ は $S^1$ の角度）は平行で、$\mathrm{Ric}(\partial_\theta,\partial_\theta)=0$ をみたす。

ベクトル束に値をとる形式

設定と記号

以下、$(X,\omega)$ を複素次元 $n$ の Kähler 多様体（コンパクトでなくてよい）、$(E,h)$ を階数 $r$ の Hermite 計量をもつ正則ベクトル束、$D=D'+D''$ をその Chern 接続（Chern接続、$D''=\bar\partial_E$）とする。$E$ に値をとる $(p,q)$ 形式の空間を $\mathcal A^{p,q}(X,E)$ と書く。$L$、$\Lambda$、$\partial^*$、$\bar\partial^*$ はスカラーの形式の上の作用素で、Kählerの恒等式の記事と同じ規格化（各点のユニタリな余枠 $\theta_j$ について $\omega=\frac i2\sum_j\theta_j\wedge\bar\theta_j$）による。
開集合 $U$ 上の正則な局所枠 $e=(e_1,\dots,e_r)$ をとり、$E$ 値の形式を $\xi=e\sigma:=\sum_ae_a\sigma_a$（$\sigma$ は形式を成分とする列ベクトル）と書く。計量の行列を $H_{ab}:=h(e_b,e_a)$ とし、Chern接続の定理「Chern 接続の存在と一意性」の接続行列 $A=H^{-1}\partial H$ を使って
$$ D(e\sigma):=e\,(d\sigma+A\wedge\sigma) $$
と定める。枠の取り替えで接続行列は $A'=g^{-1}dg+g^{-1}Ag$ と変わるので、これは枠によらず、$D(\varphi\wedge\xi)=d\varphi\wedge\xi+(-1)^{\deg\varphi}\varphi\wedge D\xi$ をみたす。型に分けると
$$ D'(e\sigma)=e\,H^{-1}\partial(H\sigma),\qquad D''(e\sigma)=e\,\bar\partial\sigma $$
である（$\partial(H\sigma)=\partial H\wedge\sigma+H\partial\sigma$）。$d(A\wedge\sigma)=dA\wedge\sigma-A\wedge d\sigma$ から $D^2(e\sigma)=e\,(\Theta\wedge\sigma)$、$\Theta=dA+A\wedge A$ であり、$\Theta$ は Chern 曲率である（同記事の定理「Chern 曲率の性質」）。$\Theta$ は型 $(1,1)$ なので、$D^2=D'D'+(D'D''+D''D')+D''D''$ の型を比べて
$$ D'D'=0,\qquad D''D''=0,\qquad D'D''+D''D'=\Theta\qquad(3) $$
を得る。ここで右辺の $\Theta$ は「$\Theta$ との外積」という微分を含まない作用素である。$L$、$\Lambda$ は係数ごとに $\Lambda(e\sigma):=e\,\Lambda\sigma$ と働かせる（$\Lambda$ は各点の線形写像なので枠によらない）。
各点の内積を $\langle e\sigma,e\tau\rangle:=\sum_{a,b}H_{ab}\langle\sigma_b,\tau_a\rangle$、$L^2$ 内積を $\langle\!\langle\xi,\eta\rangle\!\rangle:=\int_X\langle\xi,\eta\rangle\mathrm{vol}$ とする。列ベクトルどうしの内積を $\langle\sigma,\tau\rangle_{\mathrm v}:=\sum_a\langle\sigma_a,\tau_a\rangle$ と書くと、$\langle e\sigma,e\tau\rangle=\langle H\sigma,\tau\rangle_{\mathrm v}$ であり、関数を成分とする行列 $M$ について $\langle M\sigma,\tau\rangle_{\mathrm v}=\langle\sigma,M^*\tau\rangle_{\mathrm v}$（$M^*={}^t\overline M$）である。$D'$、$D''$ の形式的随伴（コンパクトな台をもつ形式について $\langle\!\langle D'\xi,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\xi,D'^*\eta\rangle\!\rangle$ をみたす作用素）を $D'^*$、$D''^*$ とし、
$$ \Delta':=D'D'^*+D'^*D',\qquad\Delta'':=D''D''^*+D''^*D'' $$
とおく。

正則枠での随伴

正則な局所枠 $e$ の上で、スカラーの $\partial^*$、$\bar\partial^*$ を成分ごとに働かせると
$$ D'^*(e\tau)=e\,\partial^*\tau,\qquad D''^*(e\tau)=e\,H^{-1}\bar\partial^*(H\tau) $$
である。

要点：$\langle e\sigma,e\tau\rangle=\langle H\sigma,\tau\rangle_{\mathrm v}$ に $D'(e\sigma)=eH^{-1}\partial(H\sigma)$、$D''(e\sigma)=e\bar\partial\sigma$ を入れ、成分ごとにスカラーの随伴関係を使う。

証明を開く

台が $U$ のコンパクト集合に入る $\xi=e\sigma$、$\eta=e\tau$ をとる。$H$ は Hermite 行列なので $$\langle\!\langle D'\xi,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle H\,H^{-1}\partial(H\sigma),\tau\rangle\!\rangle_{\mathrm v}=\langle\!\langle\partial(H\sigma),\tau\rangle\!\rangle_{\mathrm v}=\langle\!\langle H\sigma,\partial^*\tau\rangle\!\rangle_{\mathrm v}=\langle\!\langle\xi,e\,\partial^*\tau\rangle\!\rangle$$ である（3 つ目の等号は成分ごとのスカラーの $\partial$ と $\partial^*$ の随伴関係）。同様に $$\langle\!\langle D''\xi,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\bar\partial\sigma,H\tau\rangle\!\rangle_{\mathrm v}=\langle\!\langle\sigma,\bar\partial^*(H\tau)\rangle\!\rangle_{\mathrm v}=\langle\!\langle H\sigma,H^{-1}\bar\partial^*(H\tau)\rangle\!\rangle_{\mathrm v}$$ である。形式的随伴は存在すれば一意で、局所的な作用素なので、$U$ の上では主張の式に一致する。枠を取り替えても一意性から同じ作用素を定め、$X$ 全体の $D'^*$、$D''^*$ になる。$\square$

$D'^*$ は正則枠についてスカラーの $\partial^*$ そのもので、$E$ の計量によらない。この観察は Wel08 Ch. VI (2.1)–(2.3)（pp. 227–228）にある。

Bochner–小平–中野の等式

ベクトル束に値をとる形式の Kähler の恒等式

$(X,\omega)$ が Kähler なら、$E$ に値をとる形式の上で
$$ [\Lambda,D'']=-i\,D'^*,\qquad[\Lambda,D']=i\,D''^* $$
が成り立つ。

正則な局所枠 $e$ の上で示せばよい。$\Lambda$ は係数ごとに働き、関数を成分とする行列 $H$ の掛け算と可換である。Kählerの恒等式の定理「Kähler の恒等式」の $[\Lambda,\bar\partial]=-i\partial^*$ と lem-boch-adjoint により
$$ [\Lambda,D''](e\sigma)=e\,[\Lambda,\bar\partial]\sigma=e\,(-i\,\partial^*\sigma)=-i\,D'^*(e\sigma) $$
である。同じ定理の $[\Lambda,\partial]=i\bar\partial^*$ により
$$ [\Lambda,D'](e\sigma)=e\,\bigl(\Lambda H^{-1}\partial(H\sigma)-H^{-1}\partial(H\Lambda\sigma)\bigr)=e\,H^{-1}[\Lambda,\partial](H\sigma)=e\,H^{-1}\,i\,\bar\partial^*(H\sigma)=i\,D''^*(e\sigma) $$
である。$\square$

Kähler 条件はスカラーの恒等式を通してだけ使われる。この 2 式は Kob87 (3.2.39)（p. 62）、Dem12 Ch. VII Theorem (1.1)（pp. 329–330、Kähler でない場合の捩れの項 $\tau$ つき）にある。

Bochner–小平–中野の等式

$(X,\omega)$ を Kähler 多様体、$(E,h)$ を Hermite 計量をもつ正則ベクトル束、$\Theta=\Theta(E,h)$ をその Chern 曲率とする。$E$ に値をとる形式の上で
$$ \Delta''=\Delta'+[i\Theta,\Lambda] $$
が成り立つ。とくに $X$ がコンパクトなら、$u\in\mathcal A^{p,q}(X,E)$ について
$$ \|D''u\|^2+\|D''^*u\|^2=\|D'u\|^2+\|D'^*u\|^2+\langle\!\langle[i\Theta,\Lambda]u,u\rangle\!\rangle\ \ge\ \langle\!\langle[i\Theta,\Lambda]u,u\rangle\!\rangle $$
である。

主定理

prop-boch-kahler-identities から $D''^*=-i(\Lambda D'-D'\Lambda)$、$D'^*=i(\Lambda D''-D''\Lambda)$ である。代入すると
$$ \Delta''=-i\bigl(D''\Lambda D'-D''D'\Lambda+\Lambda D'D''-D'\Lambda D''\bigr),\qquad \Delta'=i\bigl(D'\Lambda D''-D'D''\Lambda+\Lambda D''D'-D''\Lambda D'\bigr) $$
である。引き算すると $D''\Lambda D'$ と $D'\Lambda D''$ を含む項は打ち消し合い、
$$ \Delta''-\Delta'=-i\bigl(\Lambda(D'D''+D''D')-(D'D''+D''D')\Lambda\bigr)=-i\,(\Lambda\Theta-\Theta\Lambda)=[i\Theta,\Lambda] $$
を得る。2 つ目の等号は (3) による。
コンパクトなら、形式的随伴の定義から $\langle\!\langle\Delta''u,u\rangle\!\rangle=\|D''u\|^2+\|D''^*u\|^2$、$\langle\!\langle\Delta'u,u\rangle\!\rangle=\|D'u\|^2+\|D'^*u\|^2\ge0$ である。等式の両辺と $u$ の $L^2$ 内積をとればよい。$\square$

$E$ が自明な束で計量が標準的なら $\Theta=0$ で、等式は Kählerの恒等式の定理「Laplace 作用素の関係」の 2（$\Delta_{\bar\partial}=\Delta_\partial$）に戻る。曲率があると、2 つのラプラシアンの差がちょうど 0 階の作用素 $[i\Theta,\Lambda]$ になる。これが Weitzenböck の公式の複素版であり、Dem12 Ch. VII Corollary (1.3)（p. 330）は秋月–中野に帰している。調和形式に当てた不等式の形は Kob87 Theorem 3.3.5（p. 65）、Wel08 Ch. VI Proposition 2.5（p. 228）にある（中野の不等式）。$[i\Theta,\Lambda]$ の固有値の計算と、それによる消滅定理は小平の消滅定理で扱う。

正則切断の消滅

$(p,q)=(0,0)$ の場合を見る。$E$ の切断 $s$ について $\Lambda s=0$ なので、$[i\Theta,\Lambda]s=-\Lambda(i\Theta\,s)$ である。そこで各点の自己準同型
$$ K\colon E_x\to E_x,\qquad Ks:=\Lambda(i\Theta\,s) $$
を $(E,h)$ の平均曲率という（$\Lambda$ は $\Theta$ の形式の部分に働く）。ユニタリな余枠 $\theta_1,\dots,\theta_n$ と $E_x$ のユニタリ基底について $i\Theta_{ab}=\frac i2\sum_{j,k}r^{ab}_{jk}\,\theta_j\wedge\bar\theta_k$ と書くと、$\Lambda\bigl(\frac i2\theta_j\wedge\bar\theta_k\bigr)=\delta_{jk}$（Kählerの恒等式の補題「$L$ と $\Lambda$ の表示」）から $K_{ab}=\sum_jr^{ab}_{jj}$ である。

$K$ が Hermite であることの確認を開く

ユニタリ枠では $\Theta^*=-\Theta$ である（Chern接続の定理「Chern 曲率の性質」の 3）。$\overline{\theta_j\wedge\bar\theta_k}=-\theta_k\wedge\bar\theta_j$ に注意して成分を比べると $r^{ab}_{kj}=\overline{r^{ba}_{jk}}$ であり、$K_{ba}=\sum_jr^{ba}_{jj}=\overline{K_{ab}}$ である。

直線束では $i\Theta=\frac i2\sum_j\gamma_j\theta_j\wedge\bar\theta_j$ と対角化すると $K=\sum_j\gamma_j$ で、$K$ は $\omega$ に関する $i\Theta$ のトレースである。

正則切断の Bochner の消滅定理

$X$ を連結なコンパクト Kähler 多様体、$(E,h)$ を Hermite 計量をもつ正則ベクトル束、$K$ をその平均曲率とする。正則切断 $s$ について
$$ \|D's\|^2=\int_X\langle Ks,s\rangle\,\mathrm{vol} $$
である。したがって

各点で $K\le0$（半負定値）なら、正則切断はすべて平行（$Ds=0$）で、$\langle Ks,s\rangle=0$ をみたす。
さらにある点で $K$ が負定値なら、$H^0(X,E)=0$ である。

$s$ が正則なら $D''s=0$ であり、$D''^*$、$D'^*$ は $(0,0)$ 形式の上で $0$ である（型を $(p,q-1)$、$(p-1,q)$ に下げるため）。よって thm-boch-bkn の積分形は $0=\|D's\|^2+\langle\!\langle[i\Theta,\Lambda]s,s\rangle\!\rangle=\|D's\|^2-\int_X\langle Ks,s\rangle\mathrm{vol}$ となる。

1 と 2 を導く

1．$K\le0$ なら $\|D's\|^2=\int\langle Ks,s\rangle\le0$ なので $D's=0$ で、連続な非正の関数 $\langle Ks,s\rangle$ の積分が $0$ だから各点で $\langle Ks,s\rangle=0$ である。$Ds=D's+D''s=0$ である。

2．$D$ は計量を保つので $d\,h(s,s)=h(Ds,s)+h(s,Ds)=0$ で、$X$ は連結だから $|s|_h$ は一定である。$K$ が負定値になる点 $x_0$ で $\langle Ks,s\rangle(x_0)=0$ なので $s(x_0)=0$ であり、$|s|_h$ は一定だから $s=0$ である。$\square$

Kob87 Theorem 3.1.9（p. 50）は同じ結論を Kähler でない Hermite 多様体の上で、$h(s,s)$ についての Weitzenböck 型の式（Proposition 3.1.5・3.1.8、pp. 48–50）と最大値原理から示している。

射影空間の負の直線束

$\mathbb P^n$ に Fubini–Study 形式 $\omega_{\mathrm{FS}}$ を入れ、$\mathcal O(k)$（$k<0$）に $\mathbb C^{n+1}$ の標準計量から誘導される計量を入れる。Chern接続の命題「射影空間の $\mathcal O(-1)$ と $\mathcal O(1)$ の曲率」とその後の段落により $i\Theta(\mathcal O(k))=2k\,\omega_{\mathrm{FS}}$ なので、Kählerの恒等式の命題「$L$ と $\Lambda$ の交換子」の $\Lambda\omega=n$ から、平均曲率は $K=2kn<0$ である。cor-boch-sections の 2 により $H^0(\mathbb P^n,\mathcal O(k))=0$ である。これは正則ベクトル束の定理「$\mathcal O(k)$ の正則切断」の $k<0$ の場合を曲率から導き直したものである。逆に $k>0$ では $K=2kn>0$ で、$H^0(\mathbb P^n,\mathcal O(k))$ は $0$ でない（同定理）。

同じ論法を正則余接束 $T^{*1,0}X$ とその外積に当てると、Kähler 計量の Ricci 曲率が各点で半正定値なら正則 $p$ 形式はすべて平行になり、ある点で正定値なら正則 $p$ 形式は $0$ しかない（Kob87 Theorem 3.1.34（p. 55）。$T^{1,0}X$ の平均曲率が Ricci テンソルに一致することは同書 (1.7.23)（p. 26）。この記事では証明しない）。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\mathrm{Ric}\ge0$	種数 $2$ 以上の閉曲面（どんな計量でも）	$b_1(M)\le\dim M$
ある点で $\mathrm{Ric}>0$	平坦なトーラス $T^m$	$b_1(M)=0$
閉多様体	平坦な $\mathbb R^2$ 上の $\alpha=d(x_1x_2)$	調和 1 次形式は平行
$K\le0$	$\mathbb P^n$ 上の $\mathcal O(1)$	$H^0(X,E)=0$（$K$ が負になる点があるとき）

1 行目：種数 $g$ の向き付けられた閉曲面 $\Sigma_g$ は $b_1=2g$ をもつ。$g\ge2$ なら $2g>2=\dim\Sigma_g$ なので、thm-boch-vanishing の 1 により、$\Sigma_g$ のどんな Riemann 計量も $\mathrm{Ric}\ge0$ をみたさない。曲面では $\mathrm{Ric}=Kg$（$K$ は Gauss 曲率）なので、どの計量にも Gauss 曲率が負になる点がある。破る含意は「任意の閉 Riemann 多様体で $b_1\le\dim M$」である。
2 行目：ex-boch-examples の平坦なトーラスでは $\mathrm{Ric}=0$ で、$b_1=m>0$ である。1 の結論（平行性）は成り立つが、正定値な点がないので 2 の結論は成り立たない。
3 行目：$f=x_1x_2$ は $\Delta f=-(\partial_1^2+\partial_2^2)f=0$ をみたすので、$\alpha=df=x_2\,dx_1+x_1\,dx_2$ は $d\alpha=0$、$d^*\alpha=\Delta f=0$ をみたす。しかし $\nabla_{\partial_1}\alpha=dx_2\neq0$ で平行でない。$\mathbb R^2$ はコンパクトでなく、lem-boch-d-nabla の 3（発散の積分が $0$）が使えない。実際、各点の等式から $\operatorname{div}\bigl(\nabla_XX-(\operatorname{div}X)X\bigr)=|\nabla\alpha|^2=2$ で、発散は $0$ でない。
4 行目：ex-boch-projective により $\mathcal O(1)$ の平均曲率は $K=2n>0$ で、$H^0(\mathbb P^n,\mathcal O(1))\cong\mathbb C^{n+1}$ は $0$ でない。cor-boch-sections の積分の等式 $\|D's\|^2=\int\langle Ks,s\rangle$ はこのときも成り立ち、正の曲率は正則切断の存在を妨げない。
注意を 2 つ挙げる。

Kähler 条件と規格化．prop-boch-kahler-identities はスカラーの Kähler の恒等式を経由しており、Kähler でない Hermite 計量では成り立たない（Kählerの恒等式の例「反例：$\mathbb C^2$ の共形平坦な Hermite 計量」）。一般の Hermite 計量では捩れの作用素 $\tau=[\Lambda,\partial\omega]$ を含む項が加わる（Dem12 Ch. VII Theorem (1.2)・(1.4)、pp. 330–331）。計量を $c$ 倍しても $\Lambda$、$D'^*$、$D''^*$ が $c^{-1}$ 倍になるだけなので、等式の形は規格化によらない。
消滅定理への道筋．調和形式 $u$（$\Delta''u=0$）に等式を当てると $\langle\!\langle[i\Theta,\Lambda]u,u\rangle\!\rangle\le0$ である。$[i\Theta,\Lambda]$ が型 $(p,q)$ の形式の上で正定値なら $u=0$ で、Hodge の定理により $H^{p,q}(X,E)=0$ となる。正定値性は曲率の固有値で判定でき、これが小平の消滅定理の証明である。