三角方程式と三角不等式

方針：差の加法定理 $\cos(\beta-\alpha)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha$、$\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha$ に、$\beta=0$ と $\beta=\pi$ を代入する。$P(0)=(1,0)$、$P(\pi)=(-1,0)$ なので、$\cos0=1$、$\sin0=0$、$\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$ である。
段 1（$\beta=0$）。$\cos(0-\alpha)=1\cdot\cos\alpha+0\cdot\sin\alpha=\cos\alpha$、$\sin(0-\alpha)=0\cdot\cos\alpha-1\cdot\sin\alpha=-\sin\alpha$ である。
段 2（$\beta=\pi$）。$\cos(\pi-\alpha)=(-1)\cos\alpha+0\cdot\sin\alpha=-\cos\alpha$、$\sin(\pi-\alpha)=0\cdot\cos\alpha-(-1)\sin\alpha=\sin\alpha$ である。$\square$

方針：1 つの座標が等しいとき、$\cos^2+\sin^2=1$ からもう一方の座標は「等しい」か「符号が逆」のどちらかである。前者なら点が一致し、後者なら折り返した点と一致する。点の一致は 一般角と弧度法 の定理「単位円上の点が一致する条件」（$P(\theta)=P(\psi)$ ⇔ $\theta-\psi$ は $2\pi$ の整数倍）で角の条件に直す。
段 1（1 の ⇒）。$\cos x=\cos\alpha$ とする。$\sin^2x=1-\cos^2x=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$ なので、$(\sin x-\sin\alpha)(\sin x+\sin\alpha)=0$、すなわち $\sin x=\sin\alpha$ または $\sin x=-\sin\alpha$ である。

• $\sin x=\sin\alpha$ のとき、$P(x)=(\cos\alpha,\sin\alpha)=P(\alpha)$ なので、$x-\alpha=2n\pi$ となる整数 $n$ がある。
• $\sin x=-\sin\alpha$ のとき、lem-teq-symmetry により $P(x)=(\cos\alpha,-\sin\alpha)=(\cos(-\alpha),\sin(-\alpha))=P(-\alpha)$ なので、$x-(-\alpha)=2n\pi$ となる整数 $n$ がある。
  段 2（1 の ⇐）。$x=\alpha+2n\pi$ なら、一般角と弧度法 の同じ定理により $\cos x=\cos\alpha$ である。$x=-\alpha+2n\pi$ なら、$\cos x=\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ である（lem-teq-symmetry）。
  段 3（2）。$\sin x=\sin\alpha$ とすると、段 1 と同じ計算で $\cos x=\cos\alpha$ または $\cos x=-\cos\alpha$ である。前者なら $P(x)=P(\alpha)$、後者なら lem-teq-symmetry により $P(x)=(-\cos\alpha,\sin\alpha)=P(\pi-\alpha)$ である。よって $x=\alpha+2n\pi$ または $x=\pi-\alpha+2n\pi$ である。逆は段 2 と同じように、$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ を使って確かめられる。
  段 4（3）。$\cos x\ne0$、$\cos\alpha\ne0$ なので、$\tan x=\tan\alpha$ の両辺に $\cos x\cos\alpha$ を掛けた $\sin x\cos\alpha-\cos x\sin\alpha=0$ は、もとの式と同値である。左辺は加法定理により $\sin(x-\alpha)$ なので、条件は $\sin(x-\alpha)=0=\sin0$ である。2 を $\alpha=0$ で使うと、$x-\alpha=2n\pi$ または $x-\alpha=\pi+2n\pi=(2n+1)\pi$、まとめて $x-\alpha$ は $\pi$ の整数倍である。$\square$

方針：$u=mx$ とおくと、$x$ が $0\le x<2\pi$ を動くとき $u$ は $0\le u<2m\pi$ を動く。この範囲は長さ $2\pi$ の区間 $m$ 個に分かれ、各区間に解が 2 個ずつある。
段 1（1 周の中の解）。$\sin u=k$ となる $u$ を $0\le u<2\pi$ で数える。$-1< k<1$ なので、直線 $y=k$ は単位円と 2 点 $\bigl(\pm\sqrt{1-k^2},k\bigr)$ で交わり（$1-k^2>0$ なので 2 点は異なる）、単位円上の点と $0\le u<2\pi$ の角は 1 対 1 に対応する（一般角と弧度法）。よって解はちょうど 2 個ある。
段 2（$j$ 周目）。整数 $j$（$0\le j\le m-1$）について、$2j\pi\le u<2j\pi+2\pi$ の範囲の解は、段 1 の解に $2j\pi$ を足したものちょうど 2 個である（$\sin(u-2j\pi)=\sin u$ で、$u\mapsto u-2j\pi$ はこの範囲と $0\le u<2\pi$ を 1 対 1 に対応させる）。
段 3（まとめ）。$j=0,1,\dots,m-1$ の範囲は重ならずに $0\le u<2m\pi$ を覆うので、$u$ の解は $2m$ 個ある。$x=\frac um$ は $u$ と 1 対 1 に対応するので、$x$ の解も $2m$ 個である。$\cos$ についても、段 1 の横の直線を、$x$ 座標が $k$ の点からなる縦の直線に替えれば同じである。$\square$

方針：同値の 2 つの向きを、$t:=\cos x$ とおいて確かめる。個数は単位円と直線の交点を数える。
段 1（⇒）。$F(\cos x)=0$ とし、$t:=\cos x$ とおく。$F(t)=0$ であり、$\cos x$ は単位円上の点の $x$ 座標なので $-1\le t\le1$ である。
段 2（⇐）。$F(t)=0$、$-1\le t\le1$、$\cos x=t$ なら、$F(\cos x)=F(t)=0$ である。
段 3（個数）。$0\le x<2\pi$ の角と単位円上の点は 1 対 1 に対応する。直線 $X=t$（座標を $(X,Y)$ とする）と単位円 $X^2+Y^2=1$ の交点は $Y^2=1-t^2$ を満たす点で、$-1< t<1$ なら $Y=\pm\sqrt{1-t^2}$ の 2 点、$t=\pm1$ なら $Y=0$ の 1 点である。$\sin x$ の場合は直線 $Y=t$ を使えば同じである。$\square$

方針：rem-teq-harmonic で左辺を $r\sin(x+\varphi)$ にまとめ、$\sin$ のとる値が $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての数であることを使う。
段 1（書き換え）。$r=\sqrt{a^2+b^2}>0$ なので、方程式は $\sin(x+\varphi)=\frac cr$ と同値である。
段 2（解をもつ条件）。$\sin u$ は単位円上の点の $y$ 座標なので、$-1\le\sin u\le1$ である。逆に $-1\le k\le1$ なら、点 $\bigl(\sqrt{1-k^2},k\bigr)$ は単位円上にあるので、それを $P(u)$ とする $u$ があり（一般角と弧度法 の命題「正弦・余弦の符号と右半分の点の角」）、$\sin u=k$ である。よって $\sin u=\frac cr$ となる $u$ があることは $\bigl|\frac cr\bigr|\le1$、すなわち $c^2\le r^2=a^2+b^2$ と同値である。解 $u$ があれば $x=u-\varphi$ が元の方程式の解である。
段 3（個数）。$x$ が $0\le x<2\pi$ を動くとき、$u=x+\varphi$ は長さ $2\pi$ の範囲 $\varphi\le u<\varphi+2\pi$ を動く。この範囲の角も単位円上の点と 1 対 1 に対応する（一般角と弧度法 の「1 周の中への戻し方」を、始まりを $\varphi$ にずらして使う）。直線 $Y=\frac cr$ と単位円の交点は、$c^2< r^2$ なら 2 点、$c^2=r^2$ なら 1 点なので（prf-prop-teq-substitution の段 3）、解の個数はそれぞれ 2 個、1 個である。$\square$

方針：$x$ を、$\alpha$ から始まる 1 周の範囲 $\alpha\le u<\alpha+2\pi$ に戻す。その範囲で $\sin u-\sin\alpha$ を和積の公式で積に直し、各因数の符号を rem-teq-signs で調べる。
段 1（$\alpha$ があること、ただ 1 つであること）。$-1< k<1$ なので、点 $\bigl(\sqrt{1-k^2},k\bigr)$ は単位円上にあり、$x$ 座標 $\sqrt{1-k^2}$ は正である。よって rem-teq-signs の 4 により、それを $P(\alpha)$ とする $\alpha$ を $-\frac\pi2<\alpha<\frac\pi2$ の範囲にとれる。$\sin\alpha'=k$ となる別の $\alpha'$ は、thm-teq-general-solution の 2 から $\alpha+2n\pi$ か $\pi-\alpha+2n\pi$ の形である。$-\frac\pi2<\alpha'<\frac\pi2$ に入るのは、前者の $n=0$ だけである（後者は $\frac\pi2<\pi-\alpha<\frac{3\pi}2$ を $2\pi$ の整数倍ずらしたもので、どれも $\bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigr)$ に入らない）。
段 2（1 周に戻す）。$x-\alpha$ を $2\pi$ で割ったときの商を $n$、余りを $u-\alpha$ とする。つまり $x=u+2n\pi$、$\alpha\le u<\alpha+2\pi$ となる整数 $n$ と実数 $u$ をとる（一般角と弧度法 の「1 周の中への戻し方」を $2\pi$ と $x-\alpha$ に使う）。$\sin x=\sin u$ である。
段 3（積に直す）。和積の公式（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）により
$$ \sin u-k=\sin u-\sin\alpha=2\cos\frac{u+\alpha}2\,\sin\frac{u-\alpha}2 $$
である。
段 4（符号）。$u=\alpha$ なら $\sin u-k=0$ で、$\sin u>k$ ではない。$\alpha< u<\alpha+2\pi$ なら $0<\frac{u-\alpha}2<\pi$ なので、rem-teq-signs の 1 により $\sin\frac{u-\alpha}2>0$ である。よって $\sin u>k$ は $\cos\frac{u+\alpha}2>0$ と同値である。ここで $\frac{u+\alpha}2$ は $\alpha$ と $\alpha+\pi$ の間にあり、$-\frac\pi2<\alpha<\frac\pi2$ なので $-\frac\pi2<\frac{u+\alpha}2<\frac{3\pi}2$ である。rem-teq-signs の 2、3 と $\cos\frac\pi2=0$ から、$\cos\frac{u+\alpha}2>0$ は $\frac{u+\alpha}2<\frac\pi2$、すなわち $u<\pi-\alpha$ と同値である。まとめると、$\alpha\le u<\alpha+2\pi$ の範囲で $\sin u>k$ ⇔ $\alpha< u<\pi-\alpha$ である。
段 5（元に戻す）。段 2 の $n$ を使うと、$\sin x>k$ ⇔ $\alpha< u<\pi-\alpha$ ⇔ $\alpha+2n\pi< x<\pi-\alpha+2n\pi$ である。逆に、ある整数 $n$ でこの不等式が成り立てば、$u:=x-2n\pi$ は $\alpha< u<\pi-\alpha<\alpha+2\pi$ を満たすので、段 4 から $\sin x=\sin u>k$ である。これで 1 が示された。
段 6（2）。加法定理から $\sin\bigl(x+\frac\pi2\bigr)=\sin x\cos\frac\pi2+\cos x\sin\frac\pi2=\cos x$、同じく $\sin\bigl(\frac\pi2-\beta\bigr)=\cos\beta=k$ である。$0<\beta<\pi$ なら $\alpha:=\frac\pi2-\beta$ は $-\frac\pi2<\alpha<\frac\pi2$ を満たすので、1 の $\alpha$ はこれである（$\beta$ の存在と一意性も、この対応で 1 から出る）。1 を $x+\frac\pi2$ に使うと
$$ \cos x>k\iff\frac\pi2-\beta+2n\pi< x+\frac\pi2<\frac\pi2+\beta+2n\pi\iff-\beta+2n\pi< x<\beta+2n\pi $$
である。$\square$

方針：半角の公式で 2 乗を外し、和積の公式で左辺 $-1$ を $2\cos x\cos2x\cos3x$ という積に直す。積が $0$ になる条件を、thm-teq-general-solution で解く。
段 1（2 乗を外す）。半角の公式（加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く）$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2$ を $\theta=x$、$3x$ に使うと
$$ \cos^2x+\cos^23x=\frac{1+\cos2x}2+\frac{1+\cos6x}2=1+\frac{\cos2x+\cos6x}2 $$
である。
段 2（和を積に）。和積の公式（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2$ を $A=6x$、$B=2x$ に使うと $\cos2x+\cos6x=2\cos4x\cos2x$ なので、$\cos^2x+\cos^23x=1+\cos4x\cos2x$ である。
段 3（積に直す）。したがって
$$ \cos^2x+\cos^22x+\cos^23x-1=\cos^22x+\cos4x\cos2x=\cos2x\,(\cos2x+\cos4x) $$
である。もう一度和積の公式を $A=4x$、$B=2x$ に使うと $\cos2x+\cos4x=2\cos3x\cos x$ なので、
$$ \cos^2x+\cos^22x+\cos^23x-1=2\cos x\cos2x\cos3x $$
となる。方程式は $\cos x\cos2x\cos3x=0$、すなわち $\cos x=0$ または $\cos2x=0$ または $\cos3x=0$ と同値である。
段 4（$\cos\theta=0$ の一般解）。$\cos\theta=0=\cos\frac\pi2$ なので、thm-teq-general-solution の 1 から $\theta=\frac\pi2+2n\pi$ または $\theta=-\frac\pi2+2n\pi=\frac\pi2+(2n-1)\pi$ である。まとめて $\theta=\frac\pi2+m\pi$（$m$ は整数）である。
段 5（それぞれを解く）。$\theta=x$ とすると $x=\frac\pi2+m\pi$。$\theta=2x$ とすると $x=\frac\pi4+\frac{m\pi}2$。$\theta=3x$ とすると $x=\frac\pi6+\frac{m\pi}3$ である。1 つ目の族は 3 つ目に含まれる（$\frac\pi2+m\pi=\frac\pi6+\frac{(3m+1)\pi}3$）。
答え：$x=\frac\pi4+\frac{m\pi}2$ または $x=\frac\pi6+\frac{m\pi}3$（$m$ は整数）。$0\le x<2\pi$ では
$$ \frac\pi6,\ \frac\pi4,\ \frac\pi2,\ \frac{3\pi}4,\ \frac{5\pi}6,\ \frac{7\pi}6,\ \frac{5\pi}4,\ \frac{3\pi}2,\ \frac{7\pi}4,\ \frac{11\pi}6 $$
の 10 個である。たとえば $x=\frac\pi4$ では $\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x=\frac12+0+\frac12=1$ である。$\square$