対称モノイダル∞圏

$N(\pi)$ は内部ファイブレーションである（∞オペラッド の補題「脈体での coCartesian 辺」）。同じ補題により、辺が $N(\pi)$-coCartesian であることは、通常の意味で $\pi$-coCartesian であることと同値である。

対象 $X=(X_1,\dots,X_m)$ と $\alpha\colon\langle m\rangle\to\langle n\rangle$ をとる。$\alpha_!X:=\bigl(\bigotimes_{i\in\alpha^{-1}(j)}X_i\bigr)_{1\le j\le n}$（空のテンソル積は $\mathbf 1$）とおき、$\varepsilon_{\alpha,X}:=(\alpha,(\mathrm{id})_j)\colon X\to\alpha_!X$ とする。$\beta\colon\langle n\rangle\to\langle r\rangle$ と $Z=(Z_1,\dots,Z_r)$ について、$(\beta\alpha)^{-1}(k)=\bigsqcup_{j\in\beta^{-1}(k)}\alpha^{-1}(j)$ である。$\alpha_!X$ から $Z$ への $\beta$ の上の射は、射の族 $\psi_k\colon\bigotimes_{j\in\beta^{-1}(k)}\bigotimes_{i\in\alpha^{-1}(j)}X_i\to Z_k$ である。一貫性の同型 $c_k\colon\bigotimes_{i\in(\beta\alpha)^{-1}(k)}X_i\to\bigotimes_{j\in\beta^{-1}(k)}\bigotimes_{i\in\alpha^{-1}(j)}X_i$ を使うと、$\varepsilon_{\alpha,X}$ との合成は $(\psi_k)_k\mapsto(\psi_k\circ c_k)_k$ である。$c_k$ は同型なので、これは $\beta\alpha$ の上の射の集合への全単射である。よって $\varepsilon_{\alpha,X}$ は $\pi$-coCartesian であり、$N(\pi)$ は coCartesian ファイブレーションである。

∞オペラッド の命題「作用素圏の基本性質」の 2 により、$\langle n\rangle$ 上のファイバーは $\mathcal C^n$ と同型である。$\rho^i$ のファイバーは $\{i\}$ だけなので $\rho^i_!X=(X_i)$ であり、$\rho^i_!$ は第 $i$ 射影である。脈体は積を保つので $S_n$ は同型である。台の∞圏は $N(\mathcal C)$ で、$(\mu_2)_!(X,Y)=X\otimes Y$ である。$\langle0\rangle\to\langle1\rangle$ に沿った空列の押し出しは空のテンソル積 $\mathbf 1$ である。$\blacksquare$

写像空間(∞圏) の定義「写像空間の円柱モデル」により、$n$ 単体は $H\colon\Delta^n\times\Delta^1\to X$ で $\Delta^n\times\{0\}$ が $x$、$\Delta^n\times\{1\}$ が $z$ で定値のものである。$p\circ H$ は関手 $[n]\times[1]\to\mathcal A$ であり、端の射は恒等射である。$k\to k+1$ の正方形の可換性から、辺 $(k,0)\to(k,1)$ の像はすべて同じ射 $g$ である。面と退化は $g$ を変えないので 1 が従う。$g=\mathrm{id}_a$ なら $p\circ H$ は $a$ で定値なので、$H$ はファイバー $X_a$ に入り、2 が従う。

3．HTT09 Proposition 2.4.4.3（p. 131）の双対により、$e$ が coCartesian なので、$e$ との合成が与える正方形 $$\begin{array}{ccc}\operatorname{Map}_X(y,z)&\to&\operatorname{Map}_X(x,z)\\\downarrow&&\downarrow\\\operatorname{Map}_{N(\mathcal A)}(b,c)&\to&\operatorname{Map}_{N(\mathcal A)}(a,c)\end{array}$$ はホモトピー Cartesian である。下の段は集合 $\operatorname{Hom}(b,c)$、$\operatorname{Hom}(a,c)$ の定値単体的集合である（写像空間(∞圏) の例「通常の圏では離散的になる」）。下の段の $h$ の上のホモトピーファイバーを比べると、3 を得る。$\blacksquare$

条件 1 は coCartesian ファイブレーションであることから従う。

条件 2 の言い換え．$C$ を $\langle m\rangle$ 上、$C'$ を $\langle n\rangle$ 上の対象とし、$f\colon\langle m\rangle\to\langle n\rangle$ をとる。$\tau^i:=\tau^{\rho^i}$ とおき、$e\colon C\to D$ を $f$ の上の coCartesian な辺、$e_i:=\tau^i_{C'}\colon C'\to\rho^i_!C'$、$e'_i:=\tau^i_D\colon D\to\rho^i_!D$ とする。空間のホモトピー圏で、次が可換である。 $$\begin{array}{ccc}\operatorname{Map}_{\mathcal C^\otimes_{\langle n\rangle}}(D,C')&\to&\operatorname{Map}^f(C,C')\\\downarrow&&\downarrow\\\prod_i\operatorname{Map}_{\mathcal C}(\rho^i_!D,\rho^i_!C')&\to&\prod_i\operatorname{Map}^{\rho^if}(C,\rho^i_!C')\end{array}$$ 上の横は $e$ との合成で、lem-smi-map の 2・3 によりホモトピー同値である。下の横は $e'_i\circ e$ との合成である。$\rho^i\circ f$ の上の coCartesian な辺 $e'_i\circ e$（HTT09 Proposition 2.4.1.7, p. 117 の双対）について、同じ補題によりホモトピー同値である。左の縦は $S_n$ が誘導する写像、右の縦は $e_i$ との合成である。可換性は、$\tau^i$ が定める関手 $\Delta^1\times\mathcal C^\otimes_{\langle n\rangle}\to\mathcal C^\otimes$ による。$\Delta^1\times\mathcal C^\otimes_{\langle n\rangle}$ で $(0,D)$ から $(1,C')$ への写像空間は $\operatorname{Map}(D,C')$ であり、$(0,C')$ を経由しても $(1,D)$ を経由しても同じ写像になるので、$e_i\circ u$ と $\rho^i_!(u)\circ e'_i$ は $\operatorname{Map}^{\rho^i}(D,\rho^i_!C')$ の中でホモトピックである。

別の coCartesian な辺 $C'\to C'_i$ を選ぶと、$\rho^i_!C'\to C'_i$ である同値が定まり、写像は同値の合成だけ変わる。よって次が成り立つ。

(★) $(C,C',f)$ についての条件 2 は、$S_n$ が $\operatorname{Map}(f_!C,C')$ に誘導する写像がホモトピー同値であることと同値である。

1 ⇒ 2．$S_n$ は同値なので充満忠実であり、写像空間(∞圏) の命題「積との関係」と (★) から条件 2 が従う。条件 3：$S_n$ の本質的全射性から $\langle n\rangle$ 上の対象 $C$ と $\mathcal C$ の同値 $u_i\colon\rho^i_!C\to C_i$ がある。$u_i$ は $\mathcal C^\otimes$ の同値でもあるので coCartesian であり（HTT09 Proposition 2.4.1.5, p. 116 の双対）、$u_i\circ\tau^i_C$ は $\rho^i$ の上の coCartesian な辺である。

2 ⇒ 1．(★) で $f=\mathrm{id}$ とすると、任意の $D,C'$ で $S_n$ の誘導する写像はホモトピー同値なので、$S_n$ は充満忠実である。条件 3 より、$C_1,\dots,C_n$ に対し対象 $C$ と coCartesian な辺 $C\to C_i$ があり、$\rho^i_!C\simeq C_i$ である。よって $S_n$ は本質的全射である。圏同値(∞圏) の定理「充満忠実性と本質的全射性」により $S_n$ は同値である。$\blacksquare$

$\mathcal D:=h(\mathcal C^\otimes)$、$q\colon\mathcal D\to\mathrm{Fin}_*$ を誘導された関手とする。lem-smi-map の 1・2 で $\pi_0$ をとると、$\mathcal D$ の射は $\mathrm{Fin}_*$ の射で分類され、ファイバー $\mathcal D_{\langle n\rangle}$ は $h(\mathcal C^\otimes_{\langle n\rangle})$ である。補題の 3 で $\pi_0$ をとると、coCartesian な辺の像は通常の意味で $q$-coCartesian である。したがって $q$ の上の押し出しがあり、Segal 条件から $\mathcal D_{\langle n\rangle}\simeq(h\mathcal C)^n$ である（圏同値(∞圏) の命題「ホモトピー圏の同値を誘導する」）。列の対象を $(X_1,\dots,X_n)$ と書く。

通常の意味の coCartesian な射の基本性質として、次が成り立つ。(U) 同じ対象 $C$ から出て同じ射の上にある coCartesian な射 $C\to D$、$C\to D'$ に対し、$D\to D'$ である同型で、$C$ の下で可換で $q$ の上で恒等射であるものがただ 1 つある。

単位対象は $\mathcal D_{\langle0\rangle}$ の対象の押し出しである。$(X,Y,Z)\to(X\otimes Y,Z)\to(X\otimes Y)\otimes Z$ と $(X,Y,Z)\to(X,Y\otimes Z)\to X\otimes(Y\otimes Z)$ はどちらも $\mu_3$ の上の coCartesian な射なので、(U) から結合子 $a$ が定まる。$(X,Y)\to X\otimes Y$ と $(X,Y)\to(Y,X)\to Y\otimes X$ はどちらも $\mu_2$ の上にあるので、交換子 $c$ が定まる（$\mu_2\sigma=\mu_2$）。単位律の同型も、$\langle1\rangle\to\langle2\rangle\to\langle1\rangle$ の合成が恒等射であることから同様に定まる。これらの自然性は、(U) と押し出しの関手性から従う。

五角形：$(A,B,C,D)$ から、4 項の括弧の付け方のそれぞれへ、$\mu_4$ の上の coCartesian な射がある。$a\otimes\mathrm{id}_D$ は $(\mu_2)_!(a,\mathrm{id}_D)$ であり、$((A\otimes B)\otimes C,D)$ から $(A\otimes(B\otimes C),D)$ への同型は $(A,B,C,D)$ の下で可換である（Segal 条件で成分ごとに確かめられる）から、$a\otimes\mathrm{id}_D$ も $(A,B,C,D)$ の下で可換である。五角形の 5 辺はどれも $(A,B,C,D)$ の下で可換な同型なので、(U) の一意性から五角形は可換である。六角形、三角形、$c_{Y,X}\circ c_{X,Y}=\mathrm{id}$ も、同じく列の対象の下で可換な同型の図式なので可換である。$\blacksquare$

脈体への切断は通常の関手 $s\colon\mathrm{Fin}_*\to\mathcal C^\otimes$ で $\pi s=\mathrm{id}$ のものであり、切断の間の射は自然変換で、各成分がファイバーにあるものである。

正規化．$s(\langle1\rangle)=(A)$ とおく。$s(\langle n\rangle)=(B_1,\dots,B_n)$、$s(\rho^i)=(\rho^i,b_i\colon B_i\to A)$ と書く。$\varepsilon_{\rho^i}$ と $s(\rho^i)$ はどちらも coCartesian なので $b_i$ は同型である。$\kappa_n:=(\mathrm{id},(b_i)_i)\colon s(\langle n\rangle)\to(A,\dots,A)$ とおき、$s'(\langle n\rangle):=(A,\dots,A)$、$s'(f):=\kappa_n s(f)\kappa_m^{-1}$ とする。$\kappa$ は $s$ から $s'$ への自然同型で、$\kappa_1=\mathrm{id}$ であり、$s'(\rho^i)=\varepsilon_{\rho^i}$ である。

$m_n$ への帰着．$\mu_n$ の上の射 $s'(\mu_n)$ の成分を $m_n\colon A^{\otimes n}\to A$ とする。$m_1=\mathrm{id}$ である。$f\colon\langle a\rangle\to\langle b\rangle$ について、$s'(f)$ の第 $j$ 成分は $s'(\rho^jf)$ の成分である（$\varepsilon_{\rho^j}\circ s'(f)=s'(\rho^jf)$）。inert 射 $e$ については、$j$ の唯一の逆像を $\sigma_e(j)$ とすると $\rho^je=\rho^{\sigma_e(j)}$ なので $s'(e)=\varepsilon_e$ である。$g\colon\langle a\rangle\to\langle1\rangle$ は、$g^{-1}(1)$ を番号の順に並べる inert 射と $\mu_{|g^{-1}(1)|}$ の合成なので、$s'(g)$ の成分は $m_{|g^{-1}(1)|}$ である。以上より $s'$ は $(m_n)_{n\ge0}$ で決まる。

公理．$m:=m_2$、$u:=m_0$ とおく。$\sigma$ を入れ替えとすると $\mu_2\sigma=\mu_2$ から $m\circ c=m$。$\mu_2\circ(\mu_2\vee\mathrm{id})=\mu_3=\mu_2\circ(\mathrm{id}\vee\mu_2)$ から $m\circ(m\otimes\mathrm{id})=m_3=m\circ(\mathrm{id}\otimes m)$。$1\mapsto1$ の射 $i\colon\langle1\rangle\to\langle2\rangle$ について $\mu_2i=\mathrm{id}$ から $m\circ(\mathrm{id}\otimes u)=\mathrm{id}$（結合子・単位の同型は省いた）。よって $(A,m,u)$ は可換モノイド対象である。

逆．可換モノイド対象 $(A,m,u)$ から、反復の積 $m_I\colon A^{\otimes I}\to A$（$m_\emptyset=u$）をとり、$s_A(\langle n\rangle):=(A,\dots,A)$、$s_A(f):=(f,(m_{f^{-1}(j)})_j)$ とおく。関手性は、可換モノイドの一般の結合律・交換律である。inert 射の上では $|f^{-1}(j)|=1$ で $m_{\{i\}}=\mathrm{id}$ なので、$s_A(f)=\varepsilon_f$ であり coCartesian である。$s_A$ の $m_n$ は元の積である。

射．正規化された $s_A,s_B$ の間の自然変換 $\phi$ で成分がファイバーにあるものは、$\rho^i$ の自然性から $\phi_n=(\phi_1,\dots,\phi_1)$ であり、$\mu_2$、$\langle0\rangle\to\langle1\rangle$ の自然性は $\phi_1$ が積と単位を保つことである。逆に積と単位を保つ射から自然変換が定まる。脈体の間の関手の∞圏は関手圏の脈体なので、切断の∞圏も切断の圏の脈体である。$\blacksquare$