射影空間のChow群

局所性。$x/t\in A$（$x\in S$、$t\in T$ は同じ次数の斉次元）について、$x/t=x'/t'$ なら、ある $t''\in T$ で $t''(xt'-x't)=0$ となるので、$x\in\mathfrak{p}$ と $x'\in\mathfrak{p}$ は同値である。ゆえに $x/t\in\mathfrak{m}$ は $x\in\mathfrak{p}$ と同値で、$x\notin\mathfrak{p}$ なら $x\in T$ だから $t/x\in A$ が逆元である。$A\setminus\mathfrak{m}$ が単元全体なので、$A$ は $\mathfrak{m}$ を唯一の極大イデアルとする局所環である。

Laurent 多項式環による表示。$S_+\not\subset\mathfrak{p}$ なので $\lambda\in S_1\setminus\mathfrak{p}$ がとれ、$\lambda$ は $T^{-1}S$ の次数 $1$ の単元である。$u\mapsto\lambda$ で定まる次数を保つ環準同型 $A[u,u^{-1}]\to T^{-1}S$ は、次数 $e$ の部分で $a u^e\mapsto a\lambda^e$ が全単射（逆は $y\mapsto y\lambda^{-e}$）なので同型である。同様に $T^{-1}M=\bigoplus_eN\lambda^e\cong N\otimes_AA[u,u^{-1}]$ であり、$T^{-1}\mathfrak{p}$ の次数 $e$ の部分は $\mathfrak{m}\lambda^e$ なので、$T^{-1}\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{m}A[u,u^{-1}]$ に対応する（剰余環 $(A/\mathfrak{m})[u,u^{-1}]$ が整域なので素イデアル）。

局所化の比較。$T\subset S\setminus\mathfrak{p}$ なので $S_{\mathfrak{p}}$ は $T^{-1}S$ の $T^{-1}\mathfrak{p}$ での局所化であり、$S_{\mathfrak{p}}\cong A[u]_{\mathfrak{m}A[u]}=:A(u)$、$M_{\mathfrak{p}}\cong N\otimes_AA(u)$ である（$u\notin\mathfrak{m}A[u]$ なので $u$ は自動的に可逆になる）。$A[u]$ は自由 $A$ 加群、局所化は平坦なので、$A(u)$ は平坦 $A$ 加群（平坦加群）である。$\kappa:=A/\mathfrak{m}$ とすると $A(u)/\mathfrak{m}A(u)=\kappa(u)$ は体で、$A(u)$ の剰余体である。$N$ の組成列 $0=N_0\subsetneq\cdots\subsetneq N_s=N$ の各商は $\kappa$ に同型だから、平坦性により $N_i\otimes_AA(u)$ は $N\otimes_AA(u)$ の部分加群の増大列で、各商は $\kappa\otimes_AA(u)=\kappa(u)$、すなわち単純 $A(u)$ 加群である。ゆえに $\ell_{S_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})=s=\ell_A(N)$ である。$\square$

$R:=S/\mathfrak{p}_W$、$\bar{\mathfrak{p}}:=\mathfrak{p}_Z/\mathfrak{p}_W$ とすると、$\mathcal{O}_{W,Z}$ は斉次局所化 $R_{(\bar{\mathfrak{p}})}$ である（Har77 II, Proposition 2.5、p. 76）。これは lem-cgps-homogeneous-localization の $A=(T^{-1}S)_0$（$\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_Z$）を、極大イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれるイデアル $(T^{-1}\mathfrak{p}_W)_0$ で割った局所環である。

1：$\operatorname{ord}_Z(F)\ne0$ は $F/\lambda^d$ が $\mathcal{O}_{W,Z}$ の単元でないこと、すなわち $A$ で $F/\lambda^d\in\mathfrak{m}$ であることと同値であり、補題の証明の最初の段により、これは $F\in\mathfrak{p}_Z$、すなわち $Z\subset V_+(F)$ と同値である。$F\notin\mathfrak{p}_W$ なので $W\cap V_+(F)$ は既約な $W$ の真の閉部分集合であり、その中の既約閉集合の鎖は最後に $W$ を付け足せるので、既約成分の次元は $r$ 以下である。一方、射影次元定理により既約成分の次元はすべて $r$ である（射影多様体の次数 の節「超曲面との交わり」、Har77 I, Theorem 7.2、p. 48）。よって $Z\subset W\cap V_+(F)$ ならば $Z$ は次元 $r$ のある既約成分に含まれ、次元の比較によりそれと一致する。逆に既約成分は $V_+(F)$ に含まれる $r$ 次元部分多様体である。既約成分は有限個である。

2：$\operatorname{Ann}M=\mathfrak{p}_W+(F)$ を含む極小の素イデアルは、$V_+(\mathfrak{p}_W+(F))=W\cap V_+(F)$ の既約成分の斉次素イデアルであり、$\mathfrak{p}_Z$ はその 1 つである。$(T^{-1}(\mathfrak{p}_W+(F)))_0$ の元 $(x+Fy)/t$（$x\in\mathfrak{p}_W$、$y$ は斉次）は $x/t+(F/\lambda^d)(y\lambda^d/t)$ と書けるので、$(T^{-1}M)_0=A/\bigl((T^{-1}\mathfrak{p}_W)_0+(F/\lambda^d)A\bigr)=\mathcal{O}_{W,Z}/(F/\lambda^d)$ である。これは長さ $\operatorname{ord}_Z(F)$ をもつので、lem-cgps-homogeneous-localization により $\mu_{\mathfrak{p}_Z}(M)=\ell_{S_{\mathfrak{p}_Z}}(M_{\mathfrak{p}_Z})=\operatorname{ord}_Z(F)$ である。

3：射影多様体の次数 の定理「超曲面との交わりの次数（Bézout の定理の一般化）」を、$r+1\ge1$ 次元の射影多様体 $W$ と、$W$ を含まない超曲面 $V_+(F)$ に当てる。同記事の加群 $S/(I(W)+(F))$ は上の $M$ で、交叉重複度は $\mu_{\mathfrak{p}_Z}(M)$ である。同定理により $\sum_Z\mu_{\mathfrak{p}_Z}(M)\deg Z=d\deg W$ であり、2 により主張を得る。$\square$

$\mathbb{P}^n$ の自己同型（1 次の座標変換）は部分多様体・局所環・有理関数をそのまま移すので、$p=[1:0:\cdots:0]$、$H=V_+(x_0)$ としてよい。$x':=(x_1,\dots,x_n)$ と書く。$V$ は $p$ を含まないので、$V$ の上で $x_1,\dots,x_n$ は共通の零点をもたない。$\mathbb{A}^1$ の座標を $t$、$\mathbb{G}_m:=\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$ とし、$\Psi\colon V\times\mathbb{A}^1\to\mathbb{P}^n\times\mathbb{A}^1$、$(x,t)\mapsto([tx_0:x'],t)$ とおく（$x_1,\dots,x_n$ が $V$ 上で共通零点をもたないので射として定まる）。$\mathbb{P}^n\times\mathbb{G}_m$ の自己同型 $\Lambda([x_0:x'],t):=([tx_0:x'],t)$（逆は $t$ を $t^{-1}$ に替えたもの）について $\Psi$ は $V\times\mathbb{G}_m$ の上で $\Lambda$ と一致するので、$\mathcal{W}:=\Lambda(V\times\mathbb{G}_m)$ は $\mathbb{P}^n\times\mathbb{G}_m$ の $(r+1)$ 次元部分多様体である。$\mathcal{V}\subset\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^1$ をその閉包とする。$\mathcal{V}$ は $(r+1)$ 次元部分多様体で、第 2 射影の像は $\mathbb{G}_m$ を含むので支配的であり、有理同値 の定義「射影直線の族とそのファイバー」の意味の $\mathbb{P}^1$ 族である。

$t=1$ のファイバー。$\mathcal{W}$ は $\mathbb{P}^n\times\mathbb{G}_m$ の中で閉なので $\mathcal{V}\cap(\mathbb{P}^n\times\mathbb{G}_m)=\mathcal{W}$ であり、$\Lambda$ は $t=1$ の上で恒等写像だから、閉部分スキームとして $\mathcal{V}\cap(\mathbb{P}^n\times\{1\})=V\times\{1\}$ である。ゆえに $t=1$ のファイバーの基本サイクルは $[V]$ である。

$t=0$ のファイバー。$V$ は射影的なので $V\times\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^1$ は固有射であり（Har77 II, Theorem 4.9、p. 103）、$\mathbb{P}^n\times\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^1$ は分離的だから $\Psi$ も固有射で（Har77 II, Corollary 4.8 (e)、p. 102）、像 $\Psi(V\times\mathbb{A}^1)$ は閉である。この像は既約で、$\mathcal{W}=\Psi(V\times\mathbb{G}_m)$ を含み、$V\times\mathbb{G}_m$ は $V\times\mathbb{A}^1$ で稠密なので $\mathcal{W}$ の閉包に含まれる。よって集合として $\Psi(V\times\mathbb{A}^1)=\mathcal{V}\cap(\mathbb{P}^n\times\mathbb{A}^1)$ であり、$t=0$ のファイバーの台は $\Psi(V\times\{0\})=\pi_p(V)\times\{0\}$ である。とくに $\pi_p(V)$ は $H$ の既約閉集合である。$\mathbb{P}^n\times\mathbb{A}^1$ をアフィン空間 $D_+(x_i)\times\mathbb{A}^1\cong\mathbb{A}^{n+1}$ で覆うと、各片の上で $\mathcal{V}$ は $(r+1)$ 次元のアフィン多様体（または空）で、$t=0$ はそれを含まない超平面なので、交わりの既約成分の次元は $r$ 以上であり（Har77 I, Proposition 7.1、p. 48）、真の閉部分集合なので $r$ 以下である。ゆえに $\dim\pi_p(V)=r$ である。$t=0$ のファイバーの既約成分は $\pi_p(V)\times\{0\}$ だけなので、その基本サイクルは $m[\pi_p(V)]$ の形で、$m$ は生成点における局所環（零でない Artin 局所環）の長さだから $m\ge1$ である。

最後に、$\mathbb{P}^1$ の自己同型で $1,0$ をそれぞれ $0,\infty$ に移すもの（$t\mapsto(t-1)/t$）で $\mathcal{V}$ を移すと、$0$ 上のファイバーが $V$、$\infty$ 上のファイバーの基本サイクルが $m[\pi_p(V)]$ の $\mathbb{P}^1$ 族を得る。有理同値 の命題「射影直線の族による有理同値の特徴づけ」により $[V]-m[\pi_p(V)]\in\operatorname{Rat}_r(\mathbb{P}^n)$ である。$\square$