Lieの定理
概要
Lieの定理（Lie's theorem）とは、標数 $0$ の代数閉体の上の有限次元ベクトル空間 $V\neq0$ について、$\mathfrak{gl}(V)$ の可解な部分 Lie 環のすべての元に共通の固有ベクトルがあるという定理である。証明の要は、イデアルの同時固有空間が全体で保たれるという補題で、反復像の張る空間で跡を比べるところに標数 $0$ を使う。帰結として可解 Lie 環は同時に上三角行列にでき、上三角行列の Lie 環が可解であることと合わせると、可解性は同時三角化と同値になり、既約表現は $1$ 次元で、導来環の元は冪零に作用する。標数 $p$ の巡回ずらしの例・実数体上の回転・$\mathfrak{sl}_2$ では結論が崩れる。
互いに可換な複素行列の族は、1 つの基底でいっせいに上三角行列にできる（三角化 の定理「可換な行列の同時三角化」）。Lie の定理（Lie's theorem）は、この「可換」を「可解」まで弱めても同じことが成り立つという主張である。すなわち、標数 $0$ の代数閉体の上で、行列の可解 Lie 環にはすべての元に共通の固有ベクトルがあり、したがって全体を同時に上三角行列にできる。逆に、同時に上三角行列にできる行列の Lie 環は可解なので、可解性は「同時に三角化できること」と同値になる。
証明の中心は、イデアル $\mathfrak{h}$ の同時固有空間が Lie 環全体で保たれるという補題で、そこに跡の計算と標数 $0$ が入る。この記事では、補題と主定理を証明し、上三角行列の Lie 環が可解であることと合わせて同値の形にまとめる。応用として、可解 Lie 環の既約表現が $1$ 次元であること、導来環の元が冪零に作用すること、一般の Lie 環の既約表現が根基の上でスカラーとして働くことを示す。最後に、標数・代数閉性・可解性・有限次元性のどれを外しても結論が崩れることを反例で確かめる。
設定と記号
Lie 環・準同型・イデアル・導来環の言葉は Lie環 の定義「準同型・部分 Lie 環・イデアル」に従い、可解性は 半単純Lie環 の定義「可解 Lie 環と根基」に従う。すなわち導来列 $\mathfrak{g}^{(0)}=\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^{(k+1)}=[\mathfrak{g}^{(k)},\mathfrak{g}^{(k)}]$ がいつか $0$ になるとき $\mathfrak{g}$ は可解である。可解な Lie 環の部分 Lie 環と準同型像は可解である（半単純Lie環 の補題「可解性の基本性質と根基の存在」の 1）。
$K$ を体、$V$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間とし、$V$ の線形変換の全体を $\mathfrak{gl}(V)$ と書く。$\mathfrak{gl}(V)$ は交換子 $[a,b]=ab-ba$ で Lie 環になる。Lie 環 $\mathfrak{g}$ の表現とは、Lie 環の準同型 $\rho\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ のことで、このとき $x\in\mathfrak{g}$、$v\in V$ に対し $xv:=\rho(x)v$ と書く。部分空間 $W\subset V$ が $\mathfrak{g}W\subset W$ を満たすとき $\mathfrak{g}$ で保たれるという。$V\neq0$ で、$0$ と $V$ 以外に保たれる部分空間がないとき、表現は既約であるという。
$\mathfrak{g}$ の表現 $V$ の $0$ でないベクトル $v$ が、すべての $x\in\mathfrak{g}$ について $xv\in Kv$ を満たすとき、$v$ を同時固有ベクトルという。このとき $xv=\lambda(x)v$ で定まる写像 $\lambda\colon\mathfrak{g}\to K$ は線形であり、$v$ のウェイトという。線形写像 $\lambda\colon\mathfrak{g}\to K$ に対し
$$
V_\lambda:=\{v\in V\mid \text{すべての }x\in\mathfrak{g}\text{ について }xv=\lambda(x)v\}
$$
をウェイト空間という。
$\lambda$ が線形であることは、$(x+y)v=xv+yv$ の両辺を比べれば分かる。ウェイト $\lambda$ の同時固有ベクトル $v$ について、$[x,y]v=x(yv)-y(xv)=\lambda(x)\lambda(y)v-\lambda(y)\lambda(x)v=0$ なので、$\lambda$ はいつも導来環 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ の上で $0$ である。
不変性の補題
$K$ の標数を $0$ とする。$\mathfrak{g}$ を $K$ 上の Lie 環、$V$ を有限次元の表現、$\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ をイデアル、$\lambda\colon\mathfrak{h}\to K$ を線形写像とし、
$$
W:=\{v\in V\mid \text{すべての }h\in\mathfrak{h}\text{ について }hv=\lambda(h)v\}
$$
とおく。このとき、すべての $y\in\mathfrak{g}$ について $yW\subset W$ である。
$w\in W$、$y\in\mathfrak{g}$、$h\in\mathfrak{h}$ とする。$\mathfrak{h}$ はイデアルなので $[h,y]\in\mathfrak{h}$ であり、
$$
h(yw)=y(hw)+[h,y]w=\lambda(h)\,yw+\lambda([h,y])\,w
$$
である。したがって、すべての $h\in\mathfrak{h}$ について $\lambda([h,y])=0$ を示せば $yw\in W$ となる。$w=0$ なら明らかなので $w\neq0$ とする。
段 1（反復像の空間）：$k\ge1$ について $U_k:=\langle w,yw,\dots,y^{k-1}w\rangle$ とおき、$U_0:=0$ とする。$V$ は有限次元なので、$y^nw\in U_n$ となる最小の $n\ge1$ がある。このとき $w,yw,\dots,y^{n-1}w$ は一次独立で、$U:=U_n$ は $y$ で保たれ、$U_k=U$（$k\ge n$）である。
段 2（$\mathfrak{h}$ は $U$ を三角に保つ）：すべての $h\in\mathfrak{h}$ と $k\ge0$ について
$$
h\,y^kw\in\lambda(h)\,y^kw+U_k
$$
を $k$ についての帰納法で示す。$k=0$ は $w\in W$ による。$k\ge1$ のとき
$$
h\,y^kw=y\bigl(h\,y^{k-1}w\bigr)+[h,y]\,y^{k-1}w
$$
であり、帰納法の仮定から $h\,y^{k-1}w=\lambda(h)y^{k-1}w+u$（$u\in U_{k-1}$）なので、第 1 項は $\lambda(h)y^kw+yu$ で $yu\in U_k$ である。第 2 項は、$[h,y]\in\mathfrak{h}$ に帰納法の仮定を当てると $\lambda([h,y])y^{k-1}w+U_{k-1}\subset U_k$ に入る。よって主張が成り立つ。とくに $U$ は $\mathfrak{h}$ で保たれ、基底 $w,yw,\dots,y^{n-1}w$ について $h|_U$ の行列は対角成分がすべて $\lambda(h)$ の上三角行列である。したがって $\operatorname{tr}(h|_U)=n\,\lambda(h)$ である。
段 3（跡の比較）：$h\in\mathfrak{h}$ について $[h,y]\in\mathfrak{h}$ なので、段 2 から $\operatorname{tr}([h,y]|_U)=n\,\lambda([h,y])$ である。一方、$U$ は $h$ と $y$ の両方で保たれるので $[h,y]|_U=h|_U\,y|_U-y|_U\,h|_U$ であり、その跡は $0$ である。よって $n\,\lambda([h,y])=0$ で、標数が $0$ なので $n\neq0$ で割れて $\lambda([h,y])=0$ である。$\square$
標数 $0$ を使ったのは段 3 の最後の割り算だけである。標数 $p>0$ では $n$ が $p$ の倍数のときこの割り算ができず、実際に補題も主定理も成り立たなくなる（ex-lie-char-p）。
主定理
$K$ を標数 $0$ の代数閉体、$V\neq0$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間、$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ を可解な部分 Lie 環とする。このとき、すべての $x\in\mathfrak{g}$ に共通の固有ベクトル $v\in V$ がある。
$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ は有限次元なので、$\dim\mathfrak{g}$ についての帰納法で示す。$\mathfrak{g}=0$ なら $V$ の $0$ でない任意のベクトルでよい。
段 1（余次元 1 のイデアル）：$\mathfrak{g}\neq0$ とする。$\mathfrak{g}$ は可解なので $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\neq\mathfrak{g}$ である（等しければ導来列はずっと $\mathfrak{g}$ で $0$ にならない）。そこで $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ を含む余次元 $1$ の部分空間 $\mathfrak{h}$ をとる。$[\mathfrak{g},\mathfrak{h}]\subset[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\subset\mathfrak{h}$ なので $\mathfrak{h}$ はイデアルであり、$y\in\mathfrak{g}\setminus\mathfrak{h}$ をとると $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus Ky$ である。
段 2（帰納法の仮定）：$\mathfrak{h}$ は可解な Lie 環の部分 Lie 環なので可解で、$\dim\mathfrak{h}<\dim\mathfrak{g}$ である。帰納法の仮定から $\mathfrak{h}$ の同時固有ベクトル $v_0$ があり、そのウェイトを $\lambda\colon\mathfrak{h}\to K$ とする。$W:=\{v\in V\mid hv=\lambda(h)v\ (h\in\mathfrak{h})\}$ は $v_0$ を含むので $0$ でない。
段 3（$y$ の固有ベクトル）：lem-lie-invariance により $yW\subset W$ である。$K$ は代数閉体で $W$ は $0$ でない有限次元空間なので、$y|_W$ は固有ベクトル $v\in W$ をもつ。$v$ は $\mathfrak{h}$ のすべての元と $y$ の固有ベクトルであり、$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus Ky$ なので $\mathfrak{g}$ のすべての元の固有ベクトルである。$\square$
$\mathfrak{g}$ が可換なら lem-lie-invariance の段 3 の割り算は要らない（$[h,y]=0$ だから $\lambda([h,y])=0$ は最初から成り立つ）。その場合は、代数閉体の代わりに「各元の固有多項式が 1 次式の積に分解する」ことを仮定すれば標数によらず結論が成り立ち、それが 三角化 の補題「共通の固有ベクトル」である。Lie の定理はこれを可解な場合へ広げたものだが、そのぶん標数 $0$ が要る。
同時三角化
thm-lie-main の仮定のもとで、$n=\dim V$ とすると、$\mathfrak{g}$ で保たれる部分空間の列
$$
0=V_0\subset V_1\subset\cdots\subset V_n=V,\qquad \dim V_i=i
$$
がある。同じことだが、$V$ の基底をうまくとると、すべての $x\in\mathfrak{g}$ の行列が上三角行列になる。
要点：同時固有ベクトル $v$ で $V_1=Kv$ をとり、商 $V/V_1$ に帰納法を使って引き戻す。
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$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ なら $0\subset V$ でよい。$n\ge2$ のとき、thm-lie-main の同時固有ベクトル $v$ をとり $V_1:=Kv$ とおく。$V_1$ は $\mathfrak{g}$ で保たれるので、$\mathfrak{g}$ は商 $\bar V:=V/V_1$ に作用し、表現 $\bar\rho\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\bar V)$ を与える。その像 $\bar\rho(\mathfrak{g})$ は可解な Lie 環の準同型像なので可解であり、$\dim\bar V=n-1$ だから、帰納法の仮定により $\bar\rho(\mathfrak{g})$ で保たれる列 $0=\bar V_0\subset\cdots\subset\bar V_{n-1}=\bar V$（$\dim\bar V_j=j$）がある。$V_{j+1}$ を $\bar V_j$ の $V$ での逆像とすれば、$V_{j+1}$ は $\mathfrak{g}$ で保たれ $\dim V_{j+1}=j+1$ である。基底との言い換えは 三角化 の補題「上三角になる基底と不変部分空間の列」による。$\square$
逆向きは体によらない。
$K$ を任意の体、$n\ge1$ とし、$\mathfrak{b}_n\subset\mathfrak{gl}_n(K)$ を上三角行列の全体とする。$\mathfrak{b}_n$ は部分 Lie 環で可解である。したがって、ある基底ですべての元が上三角行列になる $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ は可解である。
要点：交換子をとるたびに、0 でない成分が対角線から離れていく。
詳しい証明を開く
$k\ge0$ について、$\mathfrak{n}_k$ を「$j-i< k$ なら $(i,j)$ 成分が $0$」である行列の全体とする（$\mathfrak{n}_0=\mathfrak{b}_n$、$\mathfrak{n}_1$ は狭義上三角行列の全体、$k\ge n$ なら $\mathfrak{n}_k=0$）。行列単位で $E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$ なので、$a\in\mathfrak{n}_k$、$b\in\mathfrak{n}_l$ の積 $ab$ の $(i,m)$ 成分は $j-i\ge k$ かつ $m-j\ge l$ となる $j$ の項の和で、$m-i\ge k+l$ でなければ $0$ である。よって $\mathfrak{n}_k\mathfrak{n}_l\subset\mathfrak{n}_{k+l}$ であり、$[\mathfrak{n}_k,\mathfrak{n}_l]\subset\mathfrak{n}_{k+l}$ である。とくに $\mathfrak{b}_n$ は部分 Lie 環である。
さらに $a,b\in\mathfrak{b}_n$ の積 $ab$ と $ba$ の対角成分はどちらも $a_{ii}b_{ii}$ なので、$[\mathfrak{b}_n,\mathfrak{b}_n]\subset\mathfrak{n}_1$ である。帰納法で $\mathfrak{b}_n^{(j)}\subset\mathfrak{n}_{2^{j-1}}$（$j\ge1$）が分かる：$\mathfrak{b}_n^{(j+1)}=[\mathfrak{b}_n^{(j)},\mathfrak{b}_n^{(j)}]\subset[\mathfrak{n}_{2^{j-1}},\mathfrak{n}_{2^{j-1}}]\subset\mathfrak{n}_{2^j}$。$2^{j-1}\ge n$ となる $j$ で $\mathfrak{b}_n^{(j)}=0$ である。後半は、基底をとって $\mathfrak{g}$ を $\mathfrak{b}_n$ の部分 Lie 環とみなせば、可解な Lie 環の部分 Lie 環だからである。$\square$
cor-lie-flag と prop-lie-borel-solvable を合わせると、次の同値が得られる。
$K$ を標数 $0$ の代数閉体、$V$ を有限次元とする。部分 Lie 環 $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ について、次は同値である。
- $\mathfrak{g}$ は可解である。
- $V$ のある基底について、すべての $x\in\mathfrak{g}$ の行列が上三角行列である。
1 から 2 は cor-lie-flag（$V=0$ なら自明）、2 から 1 は prop-lie-borel-solvable である。$\square$
応用
以下この節では、$K$ を標数 $0$ の代数閉体とし、Lie 環 $\mathfrak{g}$ は有限次元とする。表現 $\rho\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ の像 $\rho(\mathfrak{g})$ は、$\mathfrak{g}$ が可解なら可解なので、thm-lie-main と cor-lie-flag は表現についてもそのまま使える。
$\mathfrak{g}$ が可解なら、$\mathfrak{g}$ の有限次元の既約表現 $V$ は $1$ 次元であり、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ は $V$ に $0$ で作用する。
thm-lie-main を $\rho(\mathfrak{g})\subset\mathfrak{gl}(V)$ に当てると同時固有ベクトル $v$ があり、$Kv$ は $0$ でない保たれる部分空間なので、既約性から $V=Kv$ である。$1$ 次元の表現では $\rho(x)$ はスカラー倍で互いに可換なので、$\rho([x,y])=[\rho(x),\rho(y)]=0$ である。$\square$
$\mathfrak{g}$ が可解で $\rho\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ が有限次元の表現なら、すべての $x\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ について $\rho(x)$ は冪零である。とくに $\rho=\operatorname{ad}$ ととると、$x\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ の $\operatorname{ad}x\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ は冪零である。
cor-lie-flag により、ある基底で $\rho(\mathfrak{g})$ の元はすべて上三角行列である。prop-lie-borel-solvable の証明で見たように、上三角行列どうしの交換子は狭義上三角行列である。$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ の元は交換子 $[a,b]$ の和なので、その像は狭義上三角行列の和、すなわち狭義上三角行列であり、冪零である（冪零行列）。随伴写像 $\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ は表現である（Lie環 の系「随伴表現と内部導分」）。$\square$
Engel の定理（FH91 Theorem 9.9、p. 125：冪零な変換からなる $\mathfrak{gl}(V)$ の部分 Lie 環は $0$ でない共通の零化ベクトルをもつ）と合わせると、$\mathfrak{g}$ が可解なら、cor-lie-derived-nilpotent から $\mathfrak{a}:=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ が冪零 Lie 環であることが分かる。実際、$x\in\mathfrak{a}$ の $\operatorname{ad}x$ は冪零で $\mathfrak{a}$ を保つので、$\operatorname{ad}(\mathfrak{a})$ の $\mathfrak{a}$ への制限に Engel の定理を商へくり返し当てると、部分空間の列 $0=A_0\subset A_1\subset\cdots\subset A_m=\mathfrak{a}$（$\dim A_i=i$）で $[\mathfrak{a},A_i]\subset A_{i-1}$ となるものがあり、$\mathfrak{a}$ の降中心列は $m$ 段以内で $0$ になる。この記事では Engel の定理を証明しない。
一般の Lie 環の既約表現についても、可解な部分が何をするかが分かる。
$\mathfrak{g}$ を有限次元の Lie 環、$\mathfrak{r}=\operatorname{rad}\mathfrak{g}$ をその根基（半単純Lie環 の定義「可解 Lie 環と根基」）、$V$ を有限次元の既約表現とする。このとき線形写像 $\lambda\colon\mathfrak{r}\to K$ で、すべての $x\in\mathfrak{r}$ について $x$ が $V$ に $\lambda(x)$ 倍で作用するものがあり、$\lambda$ は $\mathfrak{r}\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ の上で $0$ である。
$\rho(\mathfrak{r})\subset\mathfrak{gl}(V)$ は可解なので、thm-lie-main により $\mathfrak{r}$ の同時固有ベクトルがあり、そのウェイトを $\lambda$ とする。$W:=\{v\mid xv=\lambda(x)v\ (x\in\mathfrak{r})\}\neq0$ は、$\mathfrak{r}$ がイデアルなので lem-lie-invariance により $\mathfrak{g}$ で保たれる。既約性から $W=V$ である。すると $x\in\mathfrak{r}$ について $\operatorname{tr}\rho(x)=(\dim V)\lambda(x)$ である。$x\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ なら $\rho(x)$ は交換子の和なので跡が $0$ であり、$\dim V\neq0$ で割って $\lambda(x)=0$ を得る。$\square$
$\lambda$ を $\mathfrak{r}+[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ の上へ「$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ では $0$」として延ばし（$\mathfrak{r}\cap[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ で $0$ なので矛盾なく定まる）、さらに $\mathfrak{g}$ 全体の線形写像 $\tilde\lambda$ に延ばすと、$\tilde\lambda$ は $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ で $0$ なので $1$ 次元表現 $L$ を定める。$V\otimes L^{*}$ では $\mathfrak{r}$ が $0$ で作用するので、$V$ は「半単純 Lie 環 $\mathfrak{g}/\mathfrak{r}$ の既約表現と $1$ 次元表現のテンソル積」になる（FH91 Proposition 9.17、pp. 127–128）。
例
$\mathfrak{g}=Kx\oplus Ky$、$[x,y]=y$ とする（Lie環 の定理「2 次元の Lie 環の分類」の可換でない方）。$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=Ky$ は可換なので $\mathfrak{g}$ は可解である。表現
$$
x\mapsto\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad y\mapsto\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
$$
では $[x,y]$ の像が $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ で $y$ の像に等しい。同時固有ベクトルは第 1 基底ベクトル $e_1$ で、ウェイトは $\lambda(x)=1$、$\lambda(y)=0$ である。$\lambda(y)=0$ は、ウェイトが導来環 $Ky$ で $0$ になることの例である。$e_2$ は $y$ の固有ベクトルでないので、同時固有ベクトルはここでは $e_1$ の定数倍に限る。
$\mathfrak{b}_2$（$2$ 次の上三角行列）の基底 $a=E_{11}$、$b=E_{22}$、$c=E_{12}$ をとると、$[a,b]=0$、$[a,c]=c$、$[b,c]=-c$ である。随伴表現では $\operatorname{ad}a$、$\operatorname{ad}b$ のどちらも $c$ を $c$ の定数倍へ、$a,b$ を $Kc$ の中へ送る。よって $c$ は同時固有ベクトルであり（中心の元 $a+b$ も同時固有ベクトルである）、基底を $c,a,b$ の順に並べると
$$
\operatorname{ad}a=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad
\operatorname{ad}b=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad
\operatorname{ad}c=\begin{pmatrix}0&-1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
$$
はどれも上三角行列である。導来環 $[\mathfrak{b}_2,\mathfrak{b}_2]=Kc$ の元 $\operatorname{ad}c$ は狭義上三角行列で、cor-lie-derived-nilpotent のとおり冪零である。
反例：条件を外すと崩れること
thm-lie-main の 4 つの仮定を 1 つずつ外す。各行で、外した仮定以外はすべて満たされている。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 標数 $0$ | 標数 $p$ の代数閉体の上の $\mathfrak{g}=Kx\oplus Ky\subset\mathfrak{gl}_p(K)$（$x$ は巡回ずらし、$y=\operatorname{diag}(0,1,\dots,p-1)$） | 可解なのに同時固有ベクトルがない（lem-lie-invariance も崩れる） |
| 代数閉体 | $K=\mathbb{R}$、$\mathfrak{g}=\mathbb{R}J\subset\mathfrak{gl}_2(\mathbb{R})$、$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ | 可換（とくに可解）なのに実の固有ベクトルがない |
| 可解 | $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\subset\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})$ | 同時固有ベクトルがなく、同時に三角化できない |
| $V$ が有限次元 | $V=\mathbb{C}[t]$、$\mathfrak{g}=\mathbb{C}\,m_t$（$m_t$ は $t$ を掛ける写像） | $1$ 次元の可換 Lie 環なのに固有ベクトルが 1 つもない |
$K$ を標数 $p>0$ の代数閉体、$V=K^p$ とし、基底 $e_0,\dots,e_{p-1}$ の添字を $p$ を法として読む。$x e_i=e_{i+1}$、$ye_i=ie_i$ で $x,y\in\mathfrak{gl}(V)$ を定める（$i$ は $K$ の元 $i\cdot1$ とみる）。すると
$$
[y,x]e_i=y e_{i+1}-x(ie_i)=(i+1)e_{i+1}-ie_{i+1}=e_{i+1}=xe_i
$$
である。$i=p-1$ のときも $i+1=p=0$ が $K$ で成り立つので同じ式でよい。よって $[y,x]=x$ で、$\mathfrak{g}=Kx\oplus Ky$ は部分 Lie 環であり、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=Kx$ は可換なので $\mathfrak{g}$ は可解である。
$y$ の固有値 $0,1,\dots,p-1$ は $K$ の中で相異なるので、$y$ の固有ベクトルは $e_i$ の定数倍に限る。しかし $xe_i=e_{i+1}$ は $e_i$ の定数倍でないので、同時固有ベクトルはない。とくに同時に三角化することもできない。lem-lie-invariance も成り立たない：イデアル $\mathfrak{h}=Kx$ と $\lambda(x)=1$ について、$W$ は $w=\sum_ie_i$ で張られる（$x$ の固有ベクトルは、$x^p=1$ と $t^p-1=(t-1)^p$ から固有値 $1$ のものだけで、$xv=v$ を解くと係数がすべて等しい）。ところが $yw=\sum_i ie_i\notin Kw$ である。証明の段 3 では $n=\dim U=p$ となり、$p$ で割ることができない。
どれも固有多項式・次数・単純性の確認で済む。
確かめを開く
2 行目：$J$ の固有多項式は $t^2+1$ で実根をもたないので、$\mathbb{R}^2$ に $J$ の固有ベクトルはない。$\mathbb{C}$ 上では $(1,\mp i)$ が固有ベクトルになり、thm-lie-main の結論が戻る。
3 行目：$e,f,h$ を Lie環 の命題「$\mathfrak{sl}_2$ の構造」の基底とする。$e$ の固有ベクトルは $e_1$ の定数倍に限るが、$fe_1=e_2$ は $e_1$ の定数倍でない。$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ は単純なので（同じ命題）可解でなく、thm-lie-equivalence とも整合する。
4 行目：$f\neq0$ について $tf=cf$ とすると、両辺の次数が $\deg f+1$ と $\deg f$（$c\neq0$ のとき）または $-\infty$（$c=0$ のとき）で一致しない。よって固有ベクトルはない。$\mathbb{C}[t]$ の有限次元部分空間で $m_t$ に保たれるものは $0$ だけなので、有限次元への制限で救うこともできない。
補足
- thm-lie-main は $\mathfrak{g}$ の元を $1$ つずつ固有ベクトルの言葉で扱う定理であり、「冪零な変換だけからなる Lie 環には共通の零化ベクトルがある」という Engel の定理（FH91 Theorem 9.9、p. 125）と対をなす。Engel の定理は標数や代数閉性を仮定しない。
- 主定理、lem-lie-invariance、prop-lie-radical-scalar は $K=\mathbb{C}$ の場合に FH91 Theorem 9.11（p. 126）、Lemma 9.13（p. 127）、Proposition 9.17（pp. 127–128）にある。この記事の証明は同書の筋に沿い、跡の比較で標数 $0$ だけを使うことを明示した。
- thm-lie-equivalence により、標数 $0$ の代数閉体の上では、有限次元の表現をもつ可解 Lie 環の像は、基底のとり方を除いて $\mathfrak{b}_n$ の部分 Lie 環に限られる。
関連項目
参考文献
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