普遍同相写像

同義語：普遍同相universal homeomorphism

概要

前提知識: スキーム, ファイバー積, 整拡大, 純非分離拡大

スキームの射 $f\colon X\to Y$ が位相空間の同相写像であっても、底変換すると同相でなくなることがある。たとえば $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ は 1 点から 1 点への写像だが、$\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ で底変換すると 2 点が 1 点に潰れる。どんな底変換をしても同相写像であり続ける射を普遍同相写像という。標数 $p$ の Frobenius 写像、被約化 $X_{\mathrm{red}}\to X$、尖点をもつ曲線の正規化がその代表例で、一般には同型ではないのに「位相的には見分けがつかない」。この記事では、普遍同相写像が「整射で、普遍的に単射で、全射な射」とちょうど一致することを証明する（主定理）。その途中で、普遍的な単射性を剰余体の拡大で判定する方法と、整射を「アフィンかつ普遍的に閉」と特徴づける方法を示す。

定義

以下、スキームの射 $f\colon X\to Y$ と射 $Y'\to Y$ について、ファイバー積 $X':=X\times_YY'$ からの射影 $f'\colon X'\to Y'$ を $f$ の底変換という。

普遍同相写像

$f\colon X\to Y$ をスキームの射とする。

任意の射 $Y'\to Y$ について底変換 $f'$ が位相空間の写像として単射であるとき、$f$ は普遍的に単射（universally injective）であるという。同様に、底変換がつねに閉写像であるとき普遍的に閉であるという。
任意の射 $Y'\to Y$ について底変換 $f'$ が位相空間の同相写像であるとき、$f$ を普遍同相写像（universal homeomorphism）という。
$f$ が整射（integral morphism）であるとは、$Y$ の任意のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}R$ について $f^{-1}(V)$ がアフィンスキーム $\operatorname{Spec}B$ であり、$R\to B$ が整拡大の意味で整である（$B$ のどの元も $R$ 係数のモニック多項式の根である）ことをいう。

整射であることは、$Y$ のあるアフィン開被覆の各開集合で 3 の条件が成り立てば従う（Stacks Morphisms of Schemes, Lemma 29.45.2、Tag 02K8。この記事では証明しない）。有限射は整射である。
定義から、底変換の底変換はまた底変換なので、普遍同相写像（普遍的に単射な射、普遍的に閉な射）の底変換はまた普遍同相写像（それぞれ同じ性質の射）である。また $(g\circ f)'=g'\circ f'$ なので、普遍同相写像の合成は普遍同相写像である。
ファイバー積の点については次の記述を使う。$x\in X$、$y'\in Y'$ が $Y$ の同じ点 $y$ の上にあるとき、$X'$ の点で $x$ と $y'$ に写るものは、環 $\kappa(x)\otimes_{\kappa(y)}\kappa(y')$ の素イデアルと一対一に対応する（Stacks Schemes, Lemma 26.17.5、Tag 01JT）。ここで $\kappa(\cdot)$ は剰余体である。体上の 0 でないベクトル空間のテンソル積は 0 でないので、この環には素イデアルが少なくとも一つある。とくに全射な射の底変換は全射である（$y'$ の像 $y$ の上に $x$ をとればよい）。

普遍的な単射性の剰余体による判定

剰余体による判定

$f\colon X\to Y$ をスキームの射とする。$f$ が普遍的に単射であるのは、$f$ が点の上で単射であり、かつ各点 $x\in X$ について剰余体の拡大 $\kappa(x)/\kappa(f(x))$ が純非分離拡大であるときであり、そのときに限る。

要点：ファイバー積の点はテンソル積 $\kappa(x)\otimes_{\kappa(y)}\kappa(y')$ の素イデアルなので、この環の素イデアルがただ一つであることと剰余体の純非分離性を結びつける。

詳しい証明を開く

$y:=f(x)$ と書く。

十分性。 射 $Y'\to Y$ をとり、$X'$ の 2 点 $x'_1,x'_2$ が $Y'$ の同じ点 $y'$ に写るとする。それらの $X$ での像は $Y$ の同じ点の上にあるので、$f$ の単射性から同じ点 $x$ である。$x$ と $y'$ に写る $X'$ の点は $T:=\kappa(x)\otimes_{\kappa(y)}\kappa(y')$ の素イデアルと対応するので、$T$ の素イデアルがただ一つであることを示せばよい。標数 0 では $\kappa(x)=\kappa(y)$ なので $T=\kappa(y')$ である。標数 $p>0$ とする。$T$ の元 $z=\sum_ia_i\otimes b_i$ について、$n$ を大きくとって $a_i^{p^n}\in\kappa(y)$ とすると、標数 $p$ の可換環では $p^n$ 乗が加法的なので $z^{p^n}=\sum_ia_i^{p^n}\otimes b_i^{p^n}\in1\otimes\kappa(y')$ である。$\kappa(y')\to T$ は単射で像は体なので、$T$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ との共通部分は $0$ である。よって $z\in\mathfrak{P}$ と $z^{p^n}=0$ は同値であり、$\mathfrak{P}$ は $T$ の冪零元の全体に一致する。したがって素イデアルはただ一つである。

必要性。 $Y'=Y$ とすれば $f$ は単射である。点 $x$ をとり、$K:=\kappa(x)$、$k:=\kappa(y)$ とおく。射 $\operatorname{Spec}K\to X\to Y$ で底変換すると、$x$ と $\operatorname{Spec}K$ の唯一の点に写る $X'$ の点は $K\otimes_kK$ の素イデアルと対応し、それらはすべて $Y'=\operatorname{Spec}K$ の 1 点に写る。普遍的な単射性からこの素イデアルはただ一つで、乗法 $\mu\colon K\otimes_kK\to K$ の核（体への全射の核なので極大イデアル）に等しい。よって $\operatorname{Ker}\mu$ は冪零元の全体であり、各 $a\in K$ について $a\otimes1-1\otimes a$ は冪零である。$K_0:=k(a)$ とおくと $K_0\otimes_kK_0\to K\otimes_kK$ は単射なので、$a\otimes1-1\otimes a$ は $K_0\otimes_kK_0$ でも冪零である。$a$ が $k$ 上超越的なら、$K_0\otimes_kK_0$ は多項式環 $k[u,v]$（$u=a\otimes1$、$v=1\otimes a$）を部分環に含み、$u-v$ は整域 $k[u,v]$ の 0 でない元なので冪零でない。よって $a$ は代数的であり、最小多項式を $m$ とすると $K_0\otimes_kK_0\cong K_0[v]/(m(v))$（$a\otimes1\mapsto a$、$1\otimes a\mapsto v$）で、$(a-v)^N\in(m(v))$ となる。$K_0[v]$ で $v-a$ は既約なので、モニックな $m$ は $(v-a)^d$ の形である。標数 0 では既約多項式は重根をもたないので $d=1$、すなわち $a\in k$ である。標数 $p$ では $d=p^ed'$（$p\nmid d'$）と書くと $(v-a)^d=(v^{p^e}-a^{p^e})^{d'}$ で、$v^{p^e(d'-1)}$ の係数 $-d'a^{p^e}$ が $k$ に属するので $a^{p^e}\in k$ である。よって $K/k$ は純非分離拡大である。$\square$

この判定は Stacks Morphisms of Schemes, Lemma 29.10.2（Tag 01S4）にある。そこでは剰余体への埋め込みの個数を数える方法で示されている。

整射の特徴づけ

閉集合の上への同相写像はアフィン射

スキームの射 $f\colon X\to Y$ が、位相空間として $X$ から $Y$ の閉集合 $Z:=f(X)$ への同相写像ならば、$f$ はアフィン射である。

$Y$ の各点 $y$ が、逆像がアフィンな開近傍をもつことを示せばよい（アフィン射の命題「アフィン性は終域上の局所的性質」）。$y\notin Z$ なら、$Z$ が閉なので $Z$ と交わらないアフィン開近傍があり、その逆像は空集合である。$y\in Z$ とし、$x$ をその唯一の逆像、$V=\operatorname{Spec}R$ を $y$ のアフィン開近傍、$U\subset f^{-1}(V)$ を $x$ のアフィン開近傍とする。$f$ は $Z$ への同相写像なので $f(U)$ は $Z$ の開集合であり、$Y$ の開集合 $O$ によって $f(U)=Z\cap O$ と書ける。$h\in R$ を $y\in D(h)\subset V\cap O$ となるようにとる。$f$ は単射なので
$$ f^{-1}(D(h))=f^{-1}(D(h)\cap Z)\subset f^{-1}(f(U))=U $$
であり、$f^{-1}(D(h))=U\cap f^{-1}(D(h))$ は、$h$ の $\mathcal{O}(U)$ での像 $h'$ の定める主開集合 $D(h')\subset U$ に等しい。アフィンスキームの主開集合はアフィンなので、$f^{-1}(D(h))$ はアフィンである。$\square$

整射の特徴づけ

スキームの射 $f\colon X\to Y$ について、次は同値である。

$f$ は整射である。
$f$ はアフィン射で、普遍的に閉である。
とくに整射の底変換は整射で、整射は閉写像である。

1 ならば 2。 整射はアフィン射である。整射の底変換は整射である：$Y'\to Y$ と、アフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}R\subset Y$、$V'=\operatorname{Spec}R'\subset Y'$ で $V'$ が $V$ に写るものをとると、$f'^{-1}(V')=\operatorname{Spec}(B\otimes_RR')$ であり、$B\otimes_RR'$ は整な元 $b\otimes1$ で $R'$ 上生成されるので $R'$ 上整である（整拡大の命題「整な元の和と積」）。このような $V'$ は $Y'$ を覆うので $f'$ は整射である。したがって、整射が閉写像であることを示せば十分である。閉写像であることは $Y$ 上局所的なので $Y=\operatorname{Spec}R$、$X=\operatorname{Spec}B$ としてよい。$B$ の閉集合 $V(\mathfrak{J})$ の像が $V(\mathfrak{J}\cap R)$ に等しいことを示す。像が含まれることは明らかである。$R/(\mathfrak{J}\cap R)\to B/\mathfrak{J}$ は単射で整なので、lying over の定理（整拡大の定理「lying over と going up」）により、$\mathfrak{J}\cap R$ を含む素イデアル $\mathfrak{q}$ に対し $\mathfrak{J}$ を含む素イデアル $\mathfrak{p}$ で $\mathfrak{p}\cap R=\mathfrak{q}$ となるものがある。
2 ならば 1。 $Y$ のアフィン開集合 $V$ について、$f^{-1}(V)$ はアフィンであり、$f^{-1}(V)\to V$ も普遍的に閉である（$V$ 上のスキーム $T\to V$ による底変換は、$T\to V\subset Y$ による $f$ の底変換である）。よって $Y=\operatorname{Spec}R$、$X=\operatorname{Spec}A$ としてよい。$a\in A$ をとり、$a$ が $R$ 上整であることを示す。$C:=A[x]/(ax-1)$ とし、$\mathfrak{J}$ を合成 $R[x]\to A[x]\to C$ の核とする。
(i) $\mathfrak{J}$ が定数項 $1$ の多項式 $F=\sum_{i=0}^dF_ix^i$（$F_0=1$）を含めば $a$ は整である。実際、$A[x]$ の中で $F=(ax-1)Q$（$Q=\sum_iq_ix^i\in A[x]$）と書けるので、$n\ge\max(d,\deg Q+1)$ をとると
$$ G(x):=x^nF(1/x)=\sum_{i=0}^{n}F_ix^{n-i}=(a-x)\,x^{n-1}Q(1/x) $$
であり、$x^{n-1}Q(1/x)$ は多項式なので $G(a)=0$ である。$G$ は $R$ 係数で最高次の係数が $F_0=1$ のモニック多項式である。
(ii) $\mathfrak{J}$ は定数項 $1$ の多項式を含む。仮定により底変換 $\operatorname{Spec}A[x]\to\operatorname{Spec}R[x]$（$A[x]=A\otimes_RR[x]$）は閉写像なので、閉部分スキーム $\operatorname{Spec}C\subset\operatorname{Spec}A[x]$ の像は閉集合である。$R[x]/\mathfrak{J}\to C$ は単射なので、$\operatorname{Spec}C\to\operatorname{Spec}R[x]/\mathfrak{J}$ の像は稠密であり（Har77 II Ex. 2.18 (b)）、閉でもあるので全射である。$R[x]$ の素イデアル $\mathfrak{q}\supset\mathfrak{J}+(x)$ があったとすると、全射性から $C$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ で $R[x]$ への引き戻しが $\mathfrak{q}$ であるものがあり、$x\in\mathfrak{q}$ なので $x$ の $C$ での像は $\mathfrak{P}$ に属する。しかし $C$ では $x$ の像は可逆（$ax=1$）なので、これは起こらない。よって $\mathfrak{J}+(x)=R[x]$ であり、$1=F+xH$（$F\in\mathfrak{J}$、$H\in R[x]$）と書けて $F$ の定数項は $1$ である。$\square$

この命題と証明は Stacks Morphisms of Schemes, Lemma 29.45.7（Tag 01WM）による。

主定理

普遍同相写像の特徴づけ

スキームの射 $f\colon X\to Y$ について、次は同値である。

$f$ は普遍同相写像である。
$f$ は整射で、普遍的に単射で、全射である。
とくに（lem-universal-homeomorphism-radicial により）$f$ が普遍同相写像であるのは、$f$ が整射で、点の上で全単射で、各点の剰余体の拡大が純非分離であるときであり、そのときに限る。

1 ならば 2。 $f$ 自身が同相写像なので、$X$ から閉集合 $Y$ への同相写像であり、lem-universal-homeomorphism-affine により $f$ はアフィン射である。任意の底変換は同相写像なので閉写像であり、$f$ は普遍的に閉である。prop-universal-homeomorphism-integral により $f$ は整射である。底変換がつねに全単射なので、$f$ は普遍的に単射で、全射である。
2 ならば 1。 射 $Y'\to Y$ をとる。prop-universal-homeomorphism-integral により底変換 $f'$ は整射なので閉写像である。$f'$ は普遍的な単射性により単射であり、全射の底変換なので全射である（「定義」の節の注意）。連続な全単射で閉写像であるものは同相写像なので、$f'$ は同相写像である。$\square$

この同値は Stacks Morphisms of Schemes, Lemma 29.46.5（Tag 04DF）にあり、上の証明はその筋に従った。

例

尖点の正規化

$k$ を体とし、$A:=k[t^2,t^3]\subset B:=k[t]$ とおく。$\operatorname{Spec}A$ は尖点 $y^2=x^3$ をもつ曲線（$x=t^2$、$y=t^3$）であり、$f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ はその正規化である。$f$ は普遍同相写像だが同型でない。

整射：$t$ は $A$ 係数のモニック多項式 $T^2-t^2$ の根であり、$B=A+At$ は $A$ 上有限生成な加群である。
$D(t^2)$ の上：$t=t^3/t^2\in A_{t^2}$ なので $A_{t^2}=B_{t^2}$ であり、$f$ は $f^{-1}(D(t^2))=D(t^2)\subset\operatorname{Spec}B$ から $D(t^2)\subset\operatorname{Spec}A$ への同型である。
$V(t^2)$ の上：$(t^3)^2=(t^2)^3$ なので $t^2$ を含む $A$ の素イデアルは $t^3$ も含み、極大イデアル $\mathfrak{m}_0:=(t^2,t^3)$（$A/\mathfrak{m}_0=k$）に限る。$t^2$ を含む $B$ の素イデアルは $(t)$ だけで、$B/(t)=k$ である。
よって $f$ は点の上で全単射で、剰余体の拡大はすべて自明である。thm-universal-homeomorphism-characterization により $f$ は普遍同相写像である。$t\notin A$ なので $A\neq B$ で、$f$ は同型でない。

被約化と純非分離拡大

スキーム $X$ の被約化 $X_{\mathrm{red}}\to X$（被約スキーム）は普遍同相写像である。アフィン開集合 $\operatorname{Spec}R$ の上で $\operatorname{Spec}R/\mathfrak{N}\to\operatorname{Spec}R$（$\mathfrak{N}$ は冪零根基）であり、$R\to R/\mathfrak{N}$ は全射なので整で、素イデアルはすべて $\mathfrak{N}$ を含むので点の上で全単射、剰余体は等しい。
体の拡大 $L/K$ について、$\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K$ が普遍同相写像であるのは $L/K$ が純非分離拡大のときに限る（lem-universal-homeomorphism-radicial。純非分離な元は $X^{p^n}-a$ の根なので整である）。たとえば $K=\mathbb{F}_p(s)$ と $L=K(s^{1/p},s^{1/p^2},\dots)$ では $L/K$ は無限次の純非分離拡大で、$\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K$ は有限射でない普遍同相写像である。
標数 $p$ のスキームの絶対 Frobenius と相対 Frobenius は普遍同相写像である（Frobenius写像の命題「絶対 Frobenius はスキームの射で普遍同相写像である」「相対 Frobenius は有限な普遍同相写像である」。どちらも、整射で全射で普遍的に単射であることを確かめ、主定理の 2 ならば 1 に当てて示されている）。

条件を外したときの反例

主定理の 2 の三つの条件は、どれも外せない。$k$ を体とする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
整射	$(\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\})\sqcup\operatorname{Spec}k\to\mathbb{A}^1_k$（包含と原点）	同相写像にならない
普遍的に単射	$\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}$	同相写像だが、$\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ で底変換すると単射でない
全射	原点の閉埋め込み $\operatorname{Spec}k\to\mathbb{A}^1_k$	同相写像にならない

反例の確かめ

確かめを開く

1 行目：点の上で全単射で、各点の剰余体の写像は同型なので、lem-universal-homeomorphism-radicial により普遍的に単射であり、全射である。しかし定義域の閉集合 $\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\}$（直和の成分なので閉）の像は $\mathbb{A}^1_k$ で閉でないので、閉写像でなく同相写像でない。主定理により整射でもない（直接には、$\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\}=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ の $t^{-1}$ が $k[t]$ 上整でない）。

2 行目：$\mathbb{C}=\mathbb{R}+\mathbb{R}i$ は $\mathbb{R}$ 上有限なので整射で、1 点から 1 点への写像なので全単射である。しかし $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}$（$z\otimes w\mapsto(zw,\bar zw)$）は 2 点のスペクトルをもち、$\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ での底変換は 2 点を 1 点に写す。剰余体の拡大 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ は純非分離でない。

3 行目：整射（閉埋め込み）で普遍的に単射（剰余体は $k$ どうし）だが、像は 1 点で全射でない。

補足

位相的な不変性：普遍同相写像 $f\colon X\to Y$ による底変換 $V\mapsto V\times_YX$ は、$Y$ 上の有限エタールなスキームの圏と $X$ 上のそれとの圏同値を与える。とくに $X,Y$ が連結なら $f$ はエタール基本群の同型を引き起こす（Stacks Fundamental Groups of Schemes, Proposition 58.8.4、Tag 0BQN。この記事では証明しない）。標数 $p$ では Frobenius が普遍同相写像なので、この性質は Frobenius で引き戻しても有限エタール被覆の情報が失われないことを意味する。
同型との違い：普遍同相写像は、底変換したあとの位相空間を変えないが、構造層は変えうる。尖点の正規化（ex-universal-homeomorphism-cusp）では関数 $t$ が増え、被約化では冪零元が消える。