列型空間

最初の包含のうち左側は定値点列から従う。$A$ 内の点列 $(a_n)$ が $x$ に収束するとき、もし $x\notin\overline A$ なら、開近傍 $X\setminus\overline A$ に $(a_n)$ が最終的に入ることになり、$a_n\in A$ に矛盾する。よって右側も成り立つ。空集合に値を取る点列はないので $\operatorname{scl}_X(\emptyset)=\emptyset$ である。
$x\in\operatorname{scl}_X(A\cup B)$ とし、$A\cup B$ 内の点列 $(x_n)$ が $x$ に収束するとする。集合 $\{n\mid x_n\in A\}$ と $\{n\mid x_n\in B\}$ の少なくとも一方は無限である。前者が無限なら、$A$ に値を取る部分列を選べる。収束列の部分列は同じ $x$ に収束するので $x\in\operatorname{scl}_X(A)$ である。後者の場合も同様である。これで左辺が右辺に含まれる。逆の包含は $A,B\subset A\cup B$ から直ちに従う。

$X$ を第1可算空間、$A\subset X$、$x\in\overline A$ とする。$x$ の可算近傍基を $(U_n)$ とし、
$$ V_n=U_0\cap\cdots\cap U_n $$
とおけば、$(V_n)$ は減少する近傍基である。各 $V_n\cap A$ は空でないから $a_n\in V_n\cap A$ を選ぶ。$x$ の任意の近傍 $W$ に対し、ある $N$ で $V_N\subset W$ となる。$n\ge N$ なら $a_n\in V_n\subset V_N\subset W$ なので $a_n\to x$ である。ゆえに $\overline A\subset\operatorname{scl}_X(A)$ であり、逆の包含は前命題から従う。
次に $X$ をFréchet–Urysohn空間とする。$\operatorname{scl}_X(A)=A$ なら
$$ \overline A=\operatorname{scl}_X(A)=A $$
なので $A$ は閉じている。よって $X$ は列型空間である。距離空間は第1可算なので最後の主張も従う。

1を仮定し、$Y\subset X$、$A\subset Y$ とする。$y\in\overline A^{\,Y}$ なら $y\in\overline A^{\,X}$ なので、$A$ 内の点列で $X$ において $y$ へ収束するものがある。同じ点列は部分空間 $Y$ でも $y$ に収束する。したがって $Y$ はFréchet–Urysohn、特に列型である。
逆に2を仮定する。$A\subset X$、$x\in\overline A$ とし、$Y=A\cup\{x\}$ を部分空間とする。もし $x\notin\operatorname{scl}_X(A)$ なら、$A$ は $Y$ で点列閉である。しかし $x\in\overline A^{\,Y}$ なので $A$ は $Y$ で閉じておらず、$Y$ の列型性に反する。よって $x\in\operatorname{scl}_X(A)$ であり、$X$ はFréchet–Urysohnである。

$B\subset Y$ を点列閉集合とする。$q^{-1}(B)$ 内の点列 $(x_n)$ が $x\in X$ に収束すれば、連続性により $q(x_n)\to q(x)$ である。$q(x_n)\in B$ と $B$ の点列閉性から $q(x)\in B$、したがって $x\in q^{-1}(B)$ である。ゆえに $q^{-1}(B)$ は点列閉であり、$X$ の列型性から閉集合である。商位相の定義により $B$ は $Y$ で閉じている。よって $Y$ は列型である。

$X=\coprod_iX_i$ とし、$A\subset X$ を点列閉とする。各成分 $X_i$ は開かつ閉である。$A\cap X_i$ 内の点列が $X_i$ で収束すれば $X$ でも収束するので、$A\cap X_i$ は $X_i$ で点列閉、したがって閉である。直和位相の定義から $A$ は $X$ で閉じており、$X$ は列型である。
位相空間における余極限は、対象の直和のある商空間として構成される。直和での保存と prop-sequential-space-quotient を順に適用すれば、後半が従う。

3から2は明らかであり、2から1は prop-sequential-space-hierarchy と prop-sequential-space-quotient から従う。
1から3を示す。$X$ で収束する点列 $(x_n)$ とその極限 $x$ の組すべてを添字集合 $\mathcal S$ とする。各 $s=((x_n),x)\in\mathcal S$ に対して収束列の模型
$$ C_s=\mathbb N\cup\{\infty\} $$
を取り、自然数を孤立点、$\infty$ の近傍を $\{\infty\}\cup\{n\ge N\}$ の形として位相を入れる。各 $C_s$ は距離化可能であり、その任意直和
$$ M=\coprod_{s\in\mathcal S}C_s $$
も距離化可能である。
各成分上で $q(n)=x_n$、$q(\infty)=x$ と定めると、収束の定義により全射な連続写像 $q\colon M\to X$ を得る。定値点列も $\mathcal S$ に含めたので全射である。
$q^{-1}(B)$ が $M$ で閉じているとする。$B$ 内の点列 $(b_n)$ が $b$ に収束すれば、この組に対応する成分 $C_s$ ではすべての自然数が $q^{-1}(B)$ に属する。$\mathbb N$ は $C_s$ で稠密であり、$q^{-1}(B)\cap C_s$ は閉じているから $\infty$ も属する。従って $b\in B$ であり、$B$ は点列閉である。$X$ は列型なので $B$ は閉じている。よって $q$ は商写像であり、3を得る。Fra65 Proposition 1.2