Banach–Alaogluの定理

同義語：バナッハ・アラオグルの定理Banach–Alaoglu theorem

概要

前提知識: ノルム空間, コンパクト空間, 直積位相

無限次元でも取り出せる極限

有限次元では、有界な列から収束部分列を取り出せる。しかし無限次元のノルム空間では、閉単位球をノルムの距離で見ても一般にはコンパクトでない。Banach–Alaoglu の定理は、連続線形汎関数の値を各点で観察する弱い位相を使えば、双対空間の閉単位球がコンパクトになると述べる。極限を扱う関数解析で、位相の選び方が結論を変える典型例である。
この定理の「コンパクト」は、一般には任意の列から収束部分列が取れるという意味ではない。任意のネットに収束部分ネットがあるという位相的な意味である。この区別は、非可分な空間で特に重要になる。

弱スター位相と定理

以下、$X$ を実数体または複素数体 $\mathbb F$ 上のノルム空間、$X^*$ を $X$ 上の連続線形汎関数全体とする。$X$ 自身が完備である必要はない。$f\in X^*$ のノルムは
$$ \|f\|=\sup_{\|x\|\leq1}|f(x)| $$
であり、閉単位球を $B_{X^*}=\{f\in X^*: \|f\|\leq1\}$ と書く。

弱スター位相

$X^*$ 上の弱スター位相 $\sigma(X^*,X)$ とは、各 $x\in X$ に対する評価写像 $f\mapsto f(x)$ をすべて連続にする最も粗い位相である。したがってネット $(f_i)$ が $f$ に弱スター収束することは、すべての $x\in X$ について $f_i(x)\to f(x)$ となることと同値である。

有限個の点 $x_1,\ldots,x_m$ での値だけを指定する条件
$$ |g(x_j)-f(x_j)|<\varepsilon\qquad(1\leq j\leq m) $$
が、$f$ の基本近傍を与える。この位相では、無限個の $x$ における値を一度に近づける必要はない。
弱スター位相は、各 $f\in X^*$ を関数 $X\to\mathbb F$ として見たときの点ごとの収束の位相である。ただし極限は任意の関数ではなく、連続線形汎関数でなければならない。ノルム有界性を保った点ごとの極限では、その連続性も保たれることを後の証明で確かめる。
弱スター位相はノルム位相より粗い。実際、$|f(x)-g(x)|\leq\|f-g\|\,\|x\|$ だから、ノルムで近い二つの汎関数は、どの固定した $x$ で評価しても近い。一方、有限個の $x$ に対する値が近いだけでは、全ての単位ベクトル上での最大誤差 $\|f-g\|$ を制御できない。

Banach–Alaoglu の定理

$X$ がノルム空間なら、$X^*$ の閉単位球 $B_{X^*}$ は弱スター位相 $\sigma(X^*,X)$ でコンパクトである。一般に $R>0$ に対し、$\{f\in X^*: \|f\|\leq R\}$ も弱スターコンパクトである。

各 $x\in X$ について $D_x=\{z\in\mathbb F:|z|\leq\|x\|\}$ と置く。これはコンパクトである。$f\in B_{X^*}$ に値の族 $(f(x))_{x\in X}$ を対応させると、$B_{X^*}$ は Tychonoffの定理によってコンパクトな直積 $P=\prod_{x\in X}D_x$ に埋め込まれる。
この像が $P$ で閉じていることを確かめる。族 $(z_x)_{x\in X}\in P$ がある線形汎関数の値である条件は、すべての $x,y\in X$ と $a,b\in\mathbb F$ に対する
$$ z_{ax+by}=az_x+bz_y $$
である。各等式は有限個の座標だけに関する閉条件なので、その全体の共通部分は $P$ で閉じている。この条件を満たす族が定める線形写像 $f(x)=z_x$ は $|f(x)|\leq\|x\|$ を満たし、連続かつ $\|f\|\leq1$ である。よって閉集合はちょうど $B_{X^*}$ の像である。
直積から誘導される位相は、各 $x$ での評価による弱スター位相そのものだから、$B_{X^*}$ はコンパクトである。半径 $R$ の場合はスカラー倍で従う。$\square$

証明の要点は、ノルム有界性を各座標のコンパクトな円板に変え、線形性を閉条件として表したことである。Tychonoffの定理を用いる一般形の証明には、通常の選択公理を含む集合論の枠組みを使う。

何が収束するのか

$c_0$ の双対での標準基底

$X=c_0$ を零へ収束する数列全体に上限ノルムを入れた空間とする。$X^*$ は $\ell^1$ と同一視でき、$\ell^1$ の標準基底 $e_n$ は $\|e_n\|_1=1$ を満たす。任意の $x=(x_k)\in c_0$ に対し
$$ e_n(x)=x_n\longrightarrow0 $$
だから、$e_n$ は $\sigma(\ell^1,c_0)$ で $0$ に収束する。一方で $\|e_n-0\|_1=1$ なのでノルム収束しない。弱スター収束は、各入力 $x$ に対する数値が収束することを意味する。

この例では「どの位相の収束か」を明記しないと結論が変わる。$\ell^1$ 自身の弱位相 $\sigma(\ell^1,(\ell^1)^*)$ は、$c_0$ から来る弱スター位相より細かい。たとえば $\ell^\infty$ の定数列 $(1,1,\ldots)$ を $\ell^1$ 上の汎関数と見ると、その $e_n$ での値は常に $1$ だから、$e_n$ は弱位相では $0$ に収束しない。

$\ell^\infty$ の有界列

$X=\ell^1$ とすると、その連続双対は $\ell^\infty$ である。$\ell^\infty$ の閉単位球では、弱スター収束と座標ごとの収束が一致する。実際、弱スター収束なら $\ell^1$ の第 $k$ 標準基底で評価して第 $k$ 座標の収束が分かる。逆に $a^{(i)}=(a_k^{(i)})$ が各座標で $a_k^{(i)}\to a_k$ となり、$|a_k^{(i)}|\leq1$ なら、任意の $x=(x_k)\in\ell^1$ に対して
$$ \sum_{k=1}^{\infty}a_k^{(i)}x_k\longrightarrow\sum_{k=1}^{\infty}a_kx_k $$
となる。尾部 $k>N$ の絶対値は一様に $\sum_{k>N}|x_k|$ 以下であり、有限個の先頭項は座標ごとの収束で処理できるからである。この例では閉単位球が、実数体なら $[-1,1]^{\mathbb N}$、複素数体なら閉単位円板の可算直積と同じ位相をもつ。

この具体例は、直積位相による定理の証明を可算個の座標で見せる。ただし $X=\ell^1$ が可分だから可算個の座標で足りるのであり、一般の $X$ に同じ議論をそのまま移すことはできない。

有界ネットには弱スター収束部分ネットがある

$(f_i)$ が $X^*$ のノルム有界なネットなら、弱スター収束する部分ネットをもつ。特に、任意の $x\in X$ について $f_i(x)$ が収束するような部分ネットを選べる。

ある $R$ についてすべての $f_i$ は半径 $R$ の閉球に属する。定理によりこの球は弱スターコンパクトなので、ネットのコンパクト性による特徴づけから収束部分ネットがある。収束先も閉球に属し、弱スター収束の定義から各点での収束が従う。$\square$

列について部分列まで保証したいときには条件が増える。$X$ が可分なら、閉球上の弱スター位相は距離化できる。実際、稠密列 $(x_k)$ における値が閉球上の収束を決める。コンパクト距離空間は列コンパクトだから、この場合はノルム有界な $X^*$ の列から弱スター収束部分列を取れる。一般の $X$ では、定理からこの列の結論を直接読み取ってはいけない。

可分な場合の部分列

$X$ が可分なら、$X^*$ の任意のノルム有界な列 $(f_n)$ は弱スター収束部分列をもつ。

この証明は、可分性があれば稠密列を使って直接対角化できることを示す。定理の一般形は $X$ が可分でなくても成り立つが、その結論はネットの言葉で述べるのが正確である。

可分な場合の距離

可分性から「閉球上では弱スター位相が距離化できる」と述べた内容を具体的に確かめる。$X$ の閉単位球に稠密な列 $(x_k)_{k\geq1}$ を取る。半径 $R$ の双対閉球 $B_R$ 上で
$$ d(f,g)=\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}\min\{1,|f(x_k)-g(x_k)|\} $$
と定める。各項は $2^{-k}$ 以下なので、この級数は収束する。三角不等式は $\min\{1,a+b\}\leq\min\{1,a\}+\min\{1,b\}$ から従う。$d(f,g)=0$ なら全ての $k$ で $f(x_k)=g(x_k)$ である。$f-g$ は連続で、$(x_k)$ は閉単位球で稠密だから、単位球上で $f=g$、線形性から $X$ 全体で $f=g$ となる。従って $d$ は本当に距離である。
この距離による収束は、$B_R$ 上で弱スター収束と一致する。弱スター収束なら各 $x_k$ で値が収束する。和の尾部は一様に $\sum_{k>N}2^{-k}$ 以下だから、有限個の先頭項の収束と合わせて $d$ も零へ近づく。逆に $d(f_i,f)\to0$ なら、どの固定した $k$ についてもその項が零へ近づき、$f_i(x_k)\to f(x_k)$ となる。任意の $x$ を単位球内で $x_k$ に近づければ、
$$ |f_i(x)-f(x)|\leq2R\|x-x_k\|+|f_i(x_k)-f(x_k)| $$
であるから、$f_i(x)\to f(x)$ も従う。単位球外の $x$ はスカラー倍して同じ結論を得る。
より正確には、収束だけでなく位相そのものが一致する。$d$ の小さい開球を指定すると、級数の尾部を先に小さくし、有限個の $x_k$ での値を制限する弱スター近傍をその中に入れられる。逆向きには、任意の評価 $f\mapsto f(x)$ は上の不等式により $d$ に関して連続である。この確認によって、可分な場合にコンパクト性から部分列を選べる理由が明確になる。
ただしこの距離は $B_R$ の上だけで使っている。$X^*$ 全体では $\|f_i\|$ に共通の上界がないため、稠密列での評価の収束から任意の $x$ での評価の収束へ移る上の $2R\|x-x_k\|$ という見積もりが使えない。可分性だけで双対空間全体の弱スター位相が距離化できると結論してはならない。
有限次元の $X$ ではもっと単純である。基底 $x_1,\ldots,x_n$ を固定すると、$f\in X^*$ は有限個の値 $(f(x_1),\ldots,f(x_n))$ で一意に決まる。弱スター位相はこの座標の通常の位相になり、ノルム位相とも一致する。Banach–Alaoglu の定理は、この有限次元の閉有界集合のコンパクト性を、無限次元で弱スター位相を用いて拡張したものと見られる。

対比と使いどころ

Hilbert空間をはじめ、無限次元のノルム空間では閉単位球はノルム位相ではコンパクトでない。例えば互いに直交する単位ベクトルの列は各項の距離が $\sqrt2$ なので、ノルム収束部分列をもたない。Banach–Alaoglu の定理は、双対空間の同じ球に弱スター位相を入れてコンパクト性を得る。
この定理は、有界な汎関数の族から各点での極限を取り出すときに使う。最適化では、弱スター連続な量をノルム有界な閉集合上で極値化する際の出発点となる。ただし部分集合のコンパクト性には、その集合が弱スター閉であることも必要である。

閉集合と極値への応用

弱スターコンパクトな閉球の弱スター閉部分集合はコンパクトである。したがって、汎関数 $f$ に課す条件が有限個または無限個の評価値 $f(x)$ に関する閉条件なら、それらを満たす有界な汎関数の集合からも収束部分ネットを取れる。例えば $f(x_0)=1$ や $\operatorname{Re}f(x_1)\geq0$ は評価写像の連続性から弱スター閉条件である。こうした条件をいくつ交差しても、閉球の中では閉集合となる。

弱スター閉な制約集合の極値

$C\subseteq X^*$ を空でない弱スター閉集合とし、ある $R$ について $\|f\|\leq R$ が全ての $f\in C$ で成り立つとする。このとき各 $x\in X$ に対し、実数体では $f\mapsto f(x)$、複素数体では $f\mapsto\operatorname{Re}f(x)$ は $C$ 上で最大値と最小値を取る。

$C$ は半径 $R$ の弱スターコンパクトな閉球の閉部分集合なのでコンパクトである。評価写像 $f\mapsto f(x)$ は弱スター位相の定義から連続であり、複素数体でその実部を取る写像も連続である。コンパクト空間の実数値連続関数は最大値と最小値を取る。$\square$

ここで「ノルム有界かつノルム閉」と「ノルム有界かつ弱スター閉」を取り違えてはならない。弱スター位相はノルム位相より粗いため、ノルム閉集合が弱スター閉とは限らない。例えば $c_0^*=\ell^1$ で、標準基底の集合 $\{e_n:n\geq1\}$ はノルム位相では閉じているが、先の例のように弱スター位相では $0$ がその閉包に入る。この集合そのものは Banach–Alaoglu の定理からコンパクトとは結論できない。

単位球の閉性とノルム

ノルム $\|f\|$ は弱スター位相で一般に連続ではない。しかし、各 $x\in X$ に対する $f\mapsto|f(x)|$ は連続であり、
$$ \|f\|=\sup_{\|x\|\leq1}|f(x)| $$
は連続関数の上限として下半連続である。直接には、任意の $R\geq0$ について
$$ \{f\in X^*: \|f\|\leq R\} =\bigcap_{\|x\|\leq1}\{f\in X^*:|f(x)|\leq R\} $$
と書け、右辺の各集合は弱スター閉である。この閉性は、定理の証明で閉球の像を閉集合として表したこととも整合する。
一方、ノルムが弱スター連続でないことは $c_0^*=\ell^1$ の例から分かる。$e_n\to0$ は弱スター収束だが、$\|e_n\|=1$ は $\|0\|=0$ に収束しない。下半連続性だけなら $\|0\|\leq\liminf_n\|e_n\|$ と矛盾しない。この違いは、弱い位相で極限を取る際にノルムの値が落ちることはあっても、上へ跳ね上がれないことを表す。
「有界集合は全て弱スターコンパクト」という言い方も正しくない。例えば $X\ne\{0\}$ とし、ノルム $1$ の汎関数 $f$ を一つ取る。列 $(1-1/n)f$ は開単位球に属するが、弱スター位相で $f$ に収束し、$f$ は開単位球に属さない。弱スター位相は Hausdorff なので、コンパクトな集合なら閉じている。従って開単位球はコンパクトではない。定理の「閉」には意味がある。

反例の表

thm-baa と prop-baa-separable の仮定を一つずつ外すと結論が崩れることを、具体的な数列空間で確かめる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
弱スター位相（ノルム位相に取り替える）	$X=c_0$、$X^*=\ell^1$ の標準基底 $e_n$	閉単位球のコンパクト性
弱スター位相（$X^*$ 自身の弱位相に取り替える）	同じ $e_n$ と $\ell^\infty$ の定数列 $\mathbf 1$	閉単位球のコンパクト性
球が閉であること	開単位球と列 $(1-1/n)f$	コンパクト性（「単位球の閉性とノルム」の節）
ノルム有界であること	$\{nf:n\ge1\}$（$\\|f\\|=1$）	コンパクト性
$X$ が可分であること（部分列）	$X=\ell^\infty$ の座標評価 $\delta_n$	有界列が弱スター収束部分列をもつこと

反例：ノルム位相では双対の閉単位球はコンパクトでない

$X=c_0$、$X^*=\ell^1$ とし、標準基底 $e_n$ をとる。$n\ne m$ なら $\|e_n-e_m\|_1=2$ なので、$(e_n)$ のどの部分列もノルムで Cauchy 列でなく、ノルム収束しない。距離空間ではコンパクトと点列コンパクトが同値だから、$B_{\ell^1}$ はノルム位相でコンパクトでない。破るのは「弱スター位相で見る」という仮定である。ex-baa-c0 のとおり、同じ列は弱スター位相では $0$ に収束する。

反例：$X^*$ 自身の弱位相では閉単位球はコンパクトでない

同じ $X=c_0$ で、$\ell^1$ に弱位相 $\sigma(\ell^1,\ell^\infty)$ を入れる。この位相は弱スター位相 $\sigma(\ell^1,c_0)$ より細かい（評価する汎関数が $c_0$ から $\ell^\infty$ に増える）。列 $(e_n)$ が弱位相で集積点 $g\in B_{\ell^1}$ をもつとすると、$g$ は弱スター位相でも集積点である。弱スター位相は Hausdorff で $e_n\to0$ だから、弱スター位相での集積点は $0$ だけであり、$g=0$ となる。ところが $\ell^\infty$ の定数列 $\mathbf 1=(1,1,\ldots)$ による評価は $\mathbf 1(e_n)=1$、$\mathbf 1(0)=0$ なので、$0$ の弱近傍 $\{h:\lvert\mathbf 1(h)\rvert<1/2\}$ はどの $e_n$ も含まない。したがって $(e_n)$ は弱位相で集積点をもたない。コンパクト空間ではどの列も集積点をもつので、$B_{\ell^1}$ は弱位相でコンパクトでない。破るのは「位相を $X$ の元による評価で定める」という仮定である。

反例：有界でなければコンパクトでない

$X\ne\{0\}$ とし、$\|f\|=1$ の $f\in X^*$ と $f(x_0)=1$ を満たす $x_0$ をとる（$\lvert f(x)\rvert$ が $1/2$ 以上の $x$ をスカラー倍すればよい）。集合 $K=\{nf:n\ge1\}$ の上で評価 $h\mapsto h(x_0)$ は弱スター連続で、値 $n$ は有界でない。コンパクト集合上の実数値連続関数は有界だから、$K$ も、$K$ を含む $X^*$ のどの弱スター閉集合もコンパクトでない。破るのはノルム有界性である。

反例：可分でない $X$ では有界列が弱スター収束部分列をもたない

$X=\ell^\infty$ とし、$\delta_n\in X^*$ を第 $n$ 座標をとる汎関数 $\delta_n(x)=x_n$ とする。$\|\delta_n\|=1$ である。任意の部分列 $(\delta_{n_k})$ に対し、$x\in\ell^\infty$ を $x_{n_k}=(-1)^k$、それ以外の座標を $0$ と定めると、$\delta_{n_k}(x)=(-1)^k$ は収束しない。したがって $(\delta_n)$ のどの部分列も弱スター収束しない。thm-baa により $(\delta_n)$ は弱スター収束する部分ネットをもつが、部分列はもたない。$\ell^\infty$ は可分でなく（$\{0,1\}$ 値の数列全体は非可算個で互いの距離が $1$）、prop-baa-separable の仮定を破る。

使うときの確認順

具体的な問題で定理を使うには、まず対象がどの空間の双対 $X^*$ にあるかを決める。次に汎関数のノルムに共通の上界を与える。その後、極限後にも残したい条件が各点での評価に関して閉じているかを調べる。最後に、結論がネットの収束で十分か、列から部分列を取りたいなら $X$ の可分性などを使えるかを確認する。
例えば $X=\ell^1$ で、各 $n$ について $a_n\in[-1,1]$ という条件を満たす実数列の族を考えると、これを $X^*=\ell^\infty$ の閉単位球として扱える。有限個の座標に課した閉条件を追加しても、その条件は弱スター閉であり、解が存在するかをコンパクト性で調べられる。単なる実数列の議論に見えても、$\ell^1$ の元に対する和 $\sum_n a_nx_n$ の収束を同時に扱える点が双対空間の定式化の利点である。
刊行書 GvR16 第4章は弱位相と Alaoglu の定理を扱う。本記事では、弱スターと弱位相、ネットと列、ノルム位相の違いを具体例で区別した。