Gabrielの定理(箙)

1：$2q_Q(x)={}^t\!xA_\Gamma x$ であり、Du Val特異点 の定理「正定値な Cartan 行列をもつグラフ」により $A_\Gamma$ は正定値である。

2：単位球面はコンパクトなので、$q_Q$ はその上で正の最小値 $\lambda$ をとり、$q_Q(x)\ge\lambda\lvert x\rvert^2$ である。ルートは $\lvert x\rvert^2\le1/\lambda$ を満たす整数点なので有限個である。$q_Q(\varepsilon_i)=1$ である。

3：ルート $x$ を、正の成分を集めた $x^+\ge0$ と負の成分の符号を変えて集めた $x^-\ge0$ で $x=x^+-x^-$ と書く。台が交わらず、$i\neq j$ では $(\varepsilon_i,\varepsilon_j)_Q\le0$ なので $(x^+,x^-)_Q\le0$ であり、$2=(x,x)_Q=(x^+,x^+)_Q+(x^-,x^-)_Q-2(x^+,x^-)_Q\ge(x^+,x^+)_Q+(x^-,x^-)_Q$ である。$0$ でない整数ベクトル $z$ では $(z,z)_Q=2q_Q(z)$ は正の偶数なので $2$ 以上である。$x^+$ と $x^-$ がともに $0$ でなければ右辺は $4$ 以上となり矛盾する。

4：$(s_ix,s_iy)_Q=(x,y)_Q-2(x,\varepsilon_i)_Q(y,\varepsilon_i)_Q+(x,\varepsilon_i)_Q(y,\varepsilon_i)_Q(\varepsilon_i,\varepsilon_i)_Q=(x,y)_Q$ である。$s_i(\varepsilon_i)=\varepsilon_i-2\varepsilon_i=-\varepsilon_i$ である。$(s_ix,\varepsilon_i)_Q=(x,\varepsilon_i)_Q-2(x,\varepsilon_i)_Q=-(x,\varepsilon_i)_Q$ なので $s_i(s_ix)=s_ix+(x,\varepsilon_i)_Q\varepsilon_i=x$、すなわち $s_i^2=\mathrm{id}$ である。$s_i$ は整数係数の行列なので $\mathbb{Z}^n$ を $\mathbb{Z}^n$ に移し、$q_Q$ を保つので $\Phi_Q$ を $\Phi_Q$ に移す。$s_i^2=\mathrm{id}$ によりこれは全単射である。

5：4 により $W$ の各元は有限集合 $\Phi_Q$ の置換を引き起こす。$\Phi_Q$ のすべての元を固定する元は基底 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ を固定するので恒等写像である。よって $W$ は $\Phi_Q$ の置換群に単射に写り、有限群である。$\square$

1：$cv=v$ なら $s_2\cdots s_nv=s_1v$ である。左辺と $v$ の差は第 $2$〜$n$ 成分にしかなく、右辺と $v$ の差は第 $1$ 成分にしかないので、両辺は $v$ に等しい。よって $s_1v=v$ かつ $s_2\cdots s_nv=v$ であり、同じ議論を繰り返すとすべての $i$ で $s_iv=v$、すなわち $(v,\varepsilon_i)_Q=0$ である。lem-gab-roots の 1 により $(\cdot,\cdot)_Q$ は非退化なので $v=0$ である。

2：lem-gab-roots の 5 により、ある $M\ge1$ で $c^M=\mathrm{id}$ である。$T:=\sum_{m=0}^{M-1}c^m$ とおくと $cT=T$ なので、各 $Tx$ は $c$ で固定され、1 により $Tx=0$ である。$1\le m\le M-1$ のすべてで $c^mx\ge0$ なら、$Tx=x+\sum_{m=1}^{M-1}c^mx$ の各成分は $x$ の成分以上であり、$x$ には正の成分があるので $Tx\neq0$ となって矛盾する。よってある $1\le m\le M-1$ で $c^mx$ は負の成分をもつ。$\square$

1：$F_i^+V$ の $\psi$ は、成分が $a$ ごとの射影である写像 $\ker\varphi_V\to\bigoplus_aV_{s(a)}$、すなわち包含なので単射である。

2：$(F_i^-F_i^+V)_i=\bigl(\bigoplus_aV_{s(a)}\bigr)/\ker\varphi_V$ であり、$\varphi_V$ は全射なので、これは $\varphi_V$ が引き起こす同型 $\bar\varphi$ で $V_i$ に移る。$j\neq i$ では恒等写像、$i$ では $\bar\varphi$ をとった族を $g$ とする。$a\in Q_1^{\to i}$ に対する $F_i^-F_i^+V$ の写像は、$a$ の成分への包含と商写像の合成であり、$\bar\varphi$ と合成すると $\varphi_V$ を $a$ の成分に制限したもの、すなわち $V_a$ になる。ほかの矢の写像は変わらないので、$g$ は表現の同型である。次元は $\dim\ker\varphi_V=\sum_{a\in Q_1^{\to i}}\dim V_{s(a)}-\dim V_i$ であり、$i$ に接する矢はすべて $Q_1^{\to i}$ に入るので、これは $s_i(\underline{\dim}\,V)_i$ に等しい。ほかの成分は変わらない。

3：$F_i^-U$ の $\varphi$ は商写像 $\bigoplus_aU_{t(a)}\to\operatorname{coker}\psi_U$ なので全射である。$U$ が単射的なら、$(F_i^+F_i^-U)_i$ はこの商写像の核、すなわち $\psi_U$ の像であり、$\psi_U$ は $U_i$ からその像への同型である。$j\neq i$ で恒等写像、$i$ で $\psi_U$ をとった族は、各矢 $a\in Q_1^{i\to}$ について $a$ の成分への射影と $\psi_U$ の合成が $U_a$ になるので、表現の同型 $U\cong F_i^+F_i^-U$ である。次元は $\dim\operatorname{coker}\psi_U=\sum_a\dim U_{t(a)}-\dim U_i$ から従う。$\square$

1：lem-gab-split により $V$ は $i$ で全射的であり、lem-gab-inverse の 2 により $F_i^-F_i^+V\cong V$ と次元の式が成り立つ。$V\neq0$ なので $F_i^+V\neq0$ である。$F_i^+V\cong X\oplus Y$ とする。$F_i^+V$ は $i$ で単射的で（lem-gab-inverse の 1）、直和の $\psi$ は成分の $\psi$ の直和なので、$X$ と $Y$ も $i$ で単射的である。lem-gab-inverse の 3 により $X\cong F_i^+F_i^-X$、$Y\cong F_i^+F_i^-Y$ である。$F_i^-$ は直和を保つので $V\cong F_i^-X\oplus F_i^-Y$ であり、$V$ は直既約なので、たとえば $F_i^-Y=0$ である。すると $Y\cong F_i^+(0)=0$ となる。よって $F_i^+V$ は直既約である。$S_i$ では $\varphi$ は $0\to K$ でその核は $0$ なので、$F_i^+S_i=0$ である。

2：1 の議論で沈点と湧点、全射的と単射的、$F_i^+$ と $F_i^-$ を入れ替え、lem-gab-split の 2 と lem-gab-inverse の 3・1・2 を使えばよい。$\square$

(a) 次元ベクトルは正ルート。$V$ を直既約な表現、$x:=\underline{\dim}\,V$ とする。$V^{(0)}:=V$ とし、$V^{(m)}\not\cong S_{k(m)}$ である限り $V^{(m+1)}:=F_{k(m)}^+V^{(m)}$（$Q^{(m+1)}$ の表現）と定める。lem-gab-indec の 1 により、定まった $V^{(m)}$ はどれも直既約で、$\underline{\dim}\,V^{(m)}=y_m(x)\ge0$ である。この操作が止まらなければ、すべての $\ell$ で $c^\ell x=y_{\ell n}(x)\ge0$ となり、lem-gab-coxeter の 2 に反する。よって $V^{(m_0)}\cong S_{k(m_0)}$ となる最小の $m_0$ がある。このとき $\varepsilon_{k(m_0)}=y_{m_0}(x)$ なので、$s_i^2=\mathrm{id}$ により $x=s_{k(0)}s_{k(1)}\cdots s_{k(m_0-1)}\varepsilon_{k(m_0)}$ であり、lem-gab-roots の 2・4 により $x\in\Phi_Q$ である。$x\ge0$ なので $x\in\Phi_Q^+$ である。

(b) 次元ベクトルで決まる。$m< m_0$ では $V^{(m)}$ は直既約で $S_{k(m)}$ と同型でないので、def-gab-indecomposable の 2 により $y_m(x)\neq\varepsilon_{k(m)}$ である。よって $m_0$ は「$y_m(x)=\varepsilon_{k(m)}$ となる最小の $m$」であり、$x$ だけで決まる。lem-gab-indec の 1 により $F_{k(m)}^-V^{(m+1)}\cong V^{(m)}$（$m< m_0$）なので $V\cong F_{k(0)}^-F_{k(1)}^-\cdots F_{k(m_0-1)}^-S_{k(m_0)}$ であり、右辺は $x$ だけで決まる。したがって次元ベクトルの等しい直既約な表現は同型である。

(c) どの正ルートも現れる。$\alpha\in\Phi_Q^+$ とし、$y_m:=y_m(\alpha)$ とおく。lem-gab-coxeter の 2 により負の成分をもつ $y_m$ があり、その最小の番号を $p$ とする。$y_0=\alpha\ge0$ なので $p\ge1$ である。lem-gab-roots の 4 により $y_m\in\Phi_Q$ であり、$m< p$ では $y_m\in\Phi_Q^+$、$y_p$ は lem-gab-roots の 3 により成分がすべて $0$ 以下である。$k:=k(p-1)$ とすると、$s_k$ は第 $k$ 成分しか変えないので、$y_{p-1}$ の第 $k$ 成分以外は $0$ 以上かつ $0$ 以下、すなわち $0$ である。$y_{p-1}=r\varepsilon_k$、$q_Q(y_{p-1})=r^2=1$、$r>0$ から $y_{p-1}=\varepsilon_k$ である。また $j< p-1$ で $y_{j+1}=\varepsilon_{k(j)}$ なら $y_j=s_{k(j)}\varepsilon_{k(j)}=-\varepsilon_{k(j)}$ となって $p$ の最小性に反するので、$y_{j+1}\neq\varepsilon_{k(j)}$ である。

$U_{p-1}:=S_k$（$Q^{(p-1)}$ の表現）とし、$j=p-2,\dots,0$ の順に $U_j:=F_{k(j)}^-U_{j+1}$ とおく。$U_{j+1}$ が直既約で次元ベクトル $y_{j+1}$ をもつとすると、$k(j)$ は $Q^{(j+1)}=\sigma_{k(j)}Q^{(j)}$ の湧点で、$y_{j+1}\neq\varepsilon_{k(j)}$ から $U_{j+1}\not\cong S_{k(j)}$ なので、lem-gab-indec の 2 により $U_j$ は直既約で次元ベクトル $s_{k(j)}y_{j+1}=y_j$ をもつ。よって $U_0$ は $Q$ の直既約な表現で $\underline{\dim}\,U_0=\alpha$ である。

(d) 結論。(a)〜(c) により $V\mapsto\underline{\dim}\,V$ は直既約な表現の同型類から $\Phi_Q^+$ への全単射であり、lem-gab-roots の 2 により $\Phi_Q^+$ は有限集合なので、$Q$ は有限表現型である。$\square$

$N\ge D$ と仮定して矛盾を導く。$d_{i_0}\ge1$ となる $i_0$ を固定する。$1\le p,r\le d_{i_0}$ について $H_{pr}:=\{g\in G_d\mid(g_{i_0})_{pr}=1\}$ とおく。$g\in G_d$ の $g_{i_0}$ は可逆なので $0$ でない成分 $\lambda=(g_{i_0})_{pr}$ をもち、$\lambda^{-1}g\in H_{pr}$ であり、$(\lambda^{-1}g)\cdot x=g\cdot x$ である。よって各軌道は $\bigcup_{p,r}H_{pr}\cdot x$ である。

$p,r$ と $x\in\operatorname{Rep}_d$ を固定する。$(g_{i_0})_{pr}$ 以外の $g$ の $D-1$ 個の成分を不定元 $t=(t_1,\dots,t_{D-1})$ とし、$(g_{i_0})_{pr}=1$ とした行列の組を $g(t)$ とする。$(p,r)$ 成分が $1$ の可逆行列があるので、$\Delta:=\prod_i\det g_i(t)$ は $0$ でない多項式であり、$g(t)\cdot x$ の $N$ 個の成分 $f_1,\dots,f_N$ は $K[t][\Delta^{-1}]\subset K(t)$ に入る。$K(t)$ の $K$ 上の超越次数は $D-1$ なので（超越次数 の例「多変数の有理関数の体」）、$N>D-1$ 個の元 $f_1,\dots,f_N$ は $K$ 上代数的に従属である（同じ記事の系「独立な集合と生成系による評価」の 1）。すなわち $0$ でない多項式 $h_{pr,x}\in K[y_1,\dots,y_N]$ で $h_{pr,x}(f_1,\dots,f_N)=0$ となるものがある。$g\in H_{pr}$ について $t$ に $g$ の成分を代入する写像は環準同型 $K[t][\Delta^{-1}]\to K$ なので、$h_{pr,x}(g\cdot x)=0$ である。よって $H_{pr}\cdot x$ は $h_{pr,x}$ の零点集合に含まれる。

軌道の代表を $x^{(1)},\dots,x^{(r_0)}$ とすると、$K^N=\operatorname{Rep}_d$ は $h:=\prod_{l,p,r}h_{pr,x^{(l)}}$ の零点集合に含まれる。$K[y]$ は整域なので $h\neq0$ である。一方、無限体上の $0$ でない多項式は $K^N$ のどこかで $0$ でない値をとる（$N$ についての帰納法：$h=\sum_jh_j(y_1,\dots,y_{N-1})y_N^j$ で $h_j\neq0$ となる $j$ をとり、$h_j(b)\neq0$ となる $b\in K^{N-1}$ を選ぶと、$h(b,y_N)$ は $0$ でない 1 変数多項式で根は有限個なので、根でない $y_N\in K$ がある）。これは矛盾である。$\square$

(i) 直既約な表現の同型類が有限個なら、次元ベクトル $d$ の表現は、次元ベクトルの和が $d$ になる直既約な表現の有限個の直和なので、同型類は有限個である。lem-gab-orbits により、$0$ でないすべての $d\in\mathbb{Z}_{\ge0}^n$ で $q_Q(d)\ge1$ である。

(ii) 頂点 $i$ に $l\ge1$ 本のループがあれば $q_Q(\varepsilon_i)=1-l\le0$ である。$i\neq j$ を結ぶ矢が $m\ge2$ 本あれば $q_Q(\varepsilon_i+\varepsilon_j)\le2-m\le0$ である。どちらも (i) に反するので、グラフ $\Gamma$ はループも多重辺ももたず、$Q$ が連結なので連結であり、$2q_Q(x)={}^t\!xA_\Gamma x$ である。

(iii) $x\in\mathbb{Z}^n$ について $\lvert x\rvert:=(\lvert x_1\rvert,\dots,\lvert x_n\rvert)$ とすると、$-x_{s(a)}x_{t(a)}\ge-\lvert x_{s(a)}\rvert\lvert x_{t(a)}\rvert$ なので $q_Q(x)\ge q_Q(\lvert x\rvert)$ であり、$x\neq0$ なら (i) により $q_Q(x)\ge1$ である。有理数ベクトル $x\neq0$ も分母を払えば $q_Q(x)>0$ であり、$\mathbb{Q}^n$ は $\mathbb{R}^n$ で稠密なので、連続性から $\mathbb{R}^n$ 上で $q_Q\ge0$ である。$q_Q(v)=0$ となる $v\in\mathbb{R}^n$ があれば、すべての $w$ と実数 $\tau$ について $0\le q_Q(v+\tau w)=\tau(v,w)_Q+\tau^2q_Q(w)$ なので $(v,w)_Q=0$、すなわち $A_\Gamma v=0$ である。$A_\Gamma$ は整数行列で、その核の次元は $\mathbb{Q}$ 上でも $\mathbb{R}$ 上でも $n-\operatorname{rank}A_\Gamma$ なので、$v\neq0$ なら $A_\Gamma z=0$ となる $0$ でない整数ベクトル $z$ があり、$q_Q(z)=0$ となって矛盾する。よって $q_Q$ は正定値である。

(iv) Du Val特異点 の定理「正定値な Cartan 行列をもつグラフ」により、$\Gamma$ は $A_n$、$D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ のどれかである。$\square$