定積分

同義語：definite integral

概要

前提知識: 写像, 区間, 極限とε-δ, 連続関数, 導関数

一つの値としての積分

速度が時刻 $t$ によって変わるとき、短い時間 $\Delta t$ の間の移動量はおよそ「速度 $\times\Delta t$」である。時間を細かく分けて足し、分割を限りなく細かくした値を求めると、時間全体の移動量になる。このように区間上の関数を細かな寄与の和で一つの数にまとめる操作が定積分（definite integral）である。$\int_a^b f(x)\,dx$ では、$f$ を被積分関数、$a,b$ を積分区間の端、$x$ を積分変数という。積分の結果は $x$ の式ではなく一つの数である。
高校数学では、$F'(x)=f(x)$ となる原始関数 $F$ を見つけ、$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ で計算する。この方法は強力だが、値を「なぜ端の差で計算できるか」は別の問題である。たとえば $[0,1]$ を $n$ 等分して $x^2$ を右端で評価すると
$$ \frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2 =\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\longrightarrow\frac13. $$
一方、$F(x)=x^3/3$ を微分すると $F'(x)=x^2$ なので $F(1)-F(0)=1/3$ になる。二つの計算が一致する理由を見通すことが、本記事の中心である。和から積分を作る厳密な条件は Riemann積分と区分求積と積分の定義で、原始関数との関係を一般的に証明するのは微分積分学の基本定理で扱う。本記事では、その間にある記号の意味、基本法則、使える仮定と例を整理する。

定義と使える関数

$a< b$ とし、$f:[a,b]\to\mathbb R$ を有界な関数とする。$a=x_0< x_1<\cdots< x_n=b$ と分け、各小区間 $[x_{i-1},x_i]$ から点 $\xi_i$ を一つ選ぶ。幅を $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ とした和
$$ S(P,\xi)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i $$
を Riemann 和という。$P$ は分割の記号である。小区間の最大幅 $|P|=\max_i\Delta x_i$ を $0$ に近づけるとき、分割と点 $\xi_i$ の選び方によらず同じ値 $I$ に近づくなら、$f$ はこの区間で Riemann 積分可能といい、その値を定積分とする（SH16 §5.2）。

定積分と積分の向き

$a< b$ で $f$ が $[a,b]$ 上 Riemann 積分可能なとき、Riemann 和の共通の極限を
$$ \int_a^b f(x)\,dx:=I $$
と書く。さらに $\int_a^a f(x)\,dx:=0$、$\int_b^a f(x)\,dx:=-\int_a^b f(x)\,dx$ と定める。端を入れ替えると符号が反転する。$dx$ はどの変数について積分するかを示す記号で、同じ関数を $t$ と書き直しても $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt$ である。

「分割を細かくする」だけでは不十分で、各分割の各小区間で点をどこに取っても同じ値へ近づくことが必要である。$f$ が連続ならこの条件を満たす。直観的には、十分短い小区間では $f$ の値の揺れが小さく、長方形の高さをどこで測っても総和の違いを小さくできる。閉区間上の連続関数は一様連続だから、各区間の揺れを同時に抑えられる（Riemann積分の積分可能性の証明）。単調関数や有限個の点でだけ不連続な有界関数も積分可能である。連続性は十分条件であり、必要条件ではない。
積分できるかどうかと原始関数が簡単な式で書けるかどうかは別である。たとえば $e^{-x^2}$ は連続なので $\int_0^1e^{-x^2}\,dx$ が定まり、$G(x)=\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ 自身が原始関数になる。ただし初等関数だけでその原始関数を書けない（初等関数で表せない積分）。積分の存在を和で確認し、積分の計算には原始関数、対称性、近似などを用いるという順序で考えると混乱しにくい。

一点で値を変えても定積分は変わらない

$[0,1]$ 上で $f(x)=x$（ただし $f(1/2)=100$）とする。$x$ に比べて値を変えたのは一点だけで、この関数も積分可能である。$1/2$ を含む小区間は高々 2 個で、その幅の合計は最大幅の 2 倍以下である。$f$ の Riemann 和と $x$ の Riemann 和の差の絶対値は $100$ 倍程度の定数とこの幅の積以下に抑えられ、$|P|\to0$ で $0$ になる。したがって
$$ \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1x\,dx=\frac12. $$
グラフの一点を高くしても、幅のない一点は定積分の値を変えない。有限個の点を変えた場合も同様である。

高校の計算法とその根拠

高校で用いる端の差の公式は、連続関数については厳密な定理である。連続な $f$ に対し $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ とおけば $A'(x)=f(x)$ になる。したがって既知の原始関数 $F$ があれば、$F-A$ の導関数は $0$ なので定数であり、$F(b)-F(a)=A(b)-A(a)$ となる（SH16 §5.3）。

連続関数の定積分を原始関数で計算する

$f$ を $[a,b]$ 上連続とし、$F$ がこの区間で連続、内部で微分可能で $F'(x)=f(x)$（$a< x< b$）を満たすとする。このとき
$$ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\bigl[F(x)\bigr]_a^b. $$

Riemann 和と平均値の定理でつなぐ

任意の分割 $a=x_0<\cdots< x_n=b$ を取る。平均値の定理により、各 $(x_{i-1},x_i)$ に $\eta_i$ があって
$$ F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(\eta_i)(x_i-x_{i-1})=f(\eta_i)\Delta x_i $$
となる。左辺を全部足すと途中の値が打ち消し合い、
$$ F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}f(\eta_i)\Delta x_i. $$
連続な $f$ は積分可能だから、$|P|\to0$ とした右辺は、点 $\eta_i$ の選び方にかかわらず $\int_a^bf(x)\,dx$ に収束する。左辺は分割によらないので、等式が従う。$a=b$ と $a>b$ の場合は定義した向きの規則から従う。$\square$

この証明は、原始関数の「各小区間での変化量」を足し合わせると区間全体の変化量になり、一方で細かな変化量が $f$ の値に小区間の幅を掛けたものになる、という二段階を明確にする。原始関数を使う式は定積分の定義そのものと取り違えない。$f$ が不連続でも積分できることがあり、その場合に公式を使うには個別の仮定を点検する必要がある。

$x^2$ と端の差

$F(x)=x^3/3$ は $F'(x)=x^2$ を満たす。$[-1,2]$ で $x^2$ は連続だから
$$ \int_{-1}^{2}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}=\frac83-\left(-\frac13\right)=3. $$
端を逆にして $\int_2^{-1}x^2\,dx$ と書けば値は $-3$ である。区間上で関数が非負でも、積分の向きを逆にした値は負になる。

加法性と線形性

定積分には、和の極限に由来する二種類の加法性がある。一つは区間をつなぐ操作、もう一つは関数を足す操作である。両者を区別すると式の使い方が分かりやすい。

区間についての加法性

$a< c< b$ とし、$f$ が $[a,b]$ 上 Riemann 積分可能なら
$$ \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx. $$
$c$ が区間の外にあっても、三つの積分がそれぞれ定義されていれば向きの規則と組み合わせて同じ式を用いられる。たとえば $a< b< c$ なら $\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$ を変形すればよい。

分割を結合する

$[a,c]$ の分割と $[c,b]$ の分割を合わせると、$[a,b]$ の分割になる。その Riemann 和は、左区間の和と右区間の和の厳密な和である。二つの分割の最大幅をともに $0$ に近づければ、積分可能性から左区間の和は $\int_a^c f$、右区間の和は $\int_c^b f$ に収束する。同時に結合した分割の和は $\int_a^b f$ に収束する。極限の一意性により主張が従う。積分可能な関数の部分区間への制限も積分可能であることは、上下和による判定から従う（Riemann積分）。$\square$

関数についての線形性

$f,g$ が $[a,b]$ 上積分可能で、$\alpha,\beta$ が実数なら $\alpha f+\beta g$ も積分可能で
$$ \int_a^b\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}\,dx =\alpha\int_a^bf(x)\,dx+\beta\int_a^bg(x)\,dx. $$

同じ分割上の和を使う

一つの分割と一つの点の選び方を $f,g$ の双方に使うと、有限和の段階ですでに
$$ S(P,\xi;\alpha f+\beta g)=\alpha S(P,\xi;f)+\beta S(P,\xi;g) $$
が成り立つ。$|P|\to0$ とすれば右辺はそれぞれの定積分の線形結合へ収束し、選点によらない。したがって左辺にも共通の極限があり、$\alpha f+\beta g$ の積分可能性と式の両方が得られる。$\square$

途中で切って計算する

$\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ は絶対値の中身の符号が $x=0$ で変わる。区間をそこで分ければ
$$ \int_{-1}^{2}|x|\,dx =\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\int_0^{2}x\,dx =\frac12+2=\frac52. $$
$|x|$ に対して $x^2/2$ を区間全体の原始関数として使うことはできない。$x<0$ ではその導関数 $x$ が $|x|=-x$ と一致しないからである。

大小関係・符号・平均値

$a< b$ の向きで、$f(x)\ge0$ が区間全体で成り立つなら各 Riemann 和は非負なので $\int_a^bf\ge0$ である。これと線形性から比較ができる。以下では関数が指定区間で積分可能であるとする。

比較と積分の評価

正の関数に帰着する

$g-f\ge0$ だから $\int_a^b(g-f)\ge0$ である。線形性よりこれは $\int_a^bg-\int_a^bf$ に等しく、最初の不等式が従う。定数関数 $m,M$ の積分はそれぞれ $m(b-a),M(b-a)$ なので上下評価も従う。$|f|\le M$ の場合には $-M\le f\le M$ を使う。最後の主張は $-|f|\le f\le|f|$ を積分して両側から挟めばよい。$\square$

上の比較は向き $a< b$ に依存する。$\int_b^a f=-\int_a^bf$ では不等号も逆になる。また、$f\ge0$ なら積分は非負だが、積分が $0$ だから $f$ がすべての点で $0$ とはいえない。ex-di-single-point が反例になる。$f$ が連続で非負なら、ある点で正の値をとれば近くの小区間でも正となり、その区間の積分も正になるので、積分が $0$ なら $f$ は恒等的に $0$ である。
比較は、原始関数を初等関数で書けない場合にも値を見積もれる。数値を厳密に挟む不等式を先に作り、両辺を積分すればよい。式の形が複雑だからといって、定積分そのものが計算不能になるわけではない。

原始関数を使わない積分の評価

$I=\int_0^1e^{-x^2}\,dx$ を考える。$0\le u\le1$ では
$$ 1-u\le e^{-u}\le1-u+\frac{u^2}{2} $$
である。左の差 $p(u)=e^{-u}-(1-u)$ は $p(0)=0$、$p'(u)=1-e^{-u}\ge0$ である。右の差 $q(u)=1-u+u^2/2-e^{-u}$ は $q(0)=q'(0)=0$、$q''(u)=1-e^{-u}\ge0$ だから $q'\ge0$、さらに $q\ge0$。そこで $u=x^2$ として積分の比較を使えば
$$ \int_0^1(1-x^2)\,dx\le I\le \int_0^1\left(1-x^2+\frac{x^4}{2}\right)\,dx, \qquad \frac23\le I\le\frac{23}{30}. $$
この幅は $1/10$ である。さらに精密な多項式の上下評価を作れば幅を狭められる。値を端の差で閉じた式にできなくても、定積分の存在と大小評価によって近似の精度を保証できる。

平均値

$a< b$ で $f$ が積分可能なとき、$[a,b]$ 上の $f$ の平均値を
$$ f_{\mathrm{avg}}:=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx $$
と定める。$f$ を一定の高さ $f_{\mathrm{avg}}$ に置き換えても、区間上の定積分は同じになる。平均値は、必ずしも $f$ が実際にとる値とは限らない。

連続関数の積分の平均値の定理

$f$ が $[a,b]$ 上連続なら、ある $c\in[a,b]$ が存在して
$$ \int_a^bf(x)\,dx=f(c)(b-a) $$
となる。

最大値と最小値の間に挟む

連続性と閉区間のコンパクト性から $f$ は最小値 $m$ と最大値 $M$ をとる。比較により $m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)$ なので、$m\le f_{\mathrm{avg}}\le M$。連続関数の中間値の定理から、$m$ をとる点と $M$ をとる点の間のどこかで $f(c)=f_{\mathrm{avg}}$ となる。これを平均値の定義に代入すればよい。$\square$

平均値は特定の高さ

$[0,2]$ で $f(x)=x^2$ とする。積分は $8/3$ だから平均値は $4/3$ である。$c=2/\sqrt3$ は $[0,2]$ にあり、$f(c)=4/3$ となる。ただしこの $c$ は平均値の定理による存在の一例であり、一般に $c=(a+b)/2$ と決まるわけではない。

符号つき面積と変化量

$f\ge0$ で $a< b$ なら、$\int_a^bf$ はグラフと $x$ 軸の間の面積と一致する。しかし $f$ が負になる部分では、定積分はその部分を負の寄与として数える。面積を求めるときは符号を確かめ、必要なら $\int_a^b|f(x)|\,dx$ を用いる（詳しくは定積分と面積）。

定積分が 0 でも面積は正

$\sin x$ は $[0,\pi]$ で非負、$[\pi,2\pi]$ で非正である。$F(x)=-\cos x$ を使うと
$$ \int_0^{2\pi}\sin x\,dx =\left[-\cos x\right]_0^{2\pi}=0. $$
一方、$x$ 軸との間の面積の合計は
$$ \int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx =\int_0^{\pi}\sin x\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx =2-(-2)=4. $$
上下の二つの部分が定積分では打ち消し合う。$\int_a^bf=0$ は「囲まれた図形がない」という意味ではない。

符号は移動の例でも重要である。速度 $v(t)$ の定積分 $\int_a^bv(t)\,dt$ は位置の正味の変化であり、進んで戻れば $0$ になり得る。移動した道のりは、速度の絶対値を積分した $\int_a^b|v(t)|\,dt$ である。単位も一致する。$v$ がメートル毎秒、$dt$ が秒なら、積分の単位はメートルになる。これは定積分を区間の「長さで重みを付けた和」と読む利点である（SH16 §5.4）。

不連続関数と定義域の端

原始関数の公式だけを先に覚えると、途中で不連続な関数や発散する関数にも機械的に適用したくなる。定積分が定義されているか、原始関数の公式の仮定が満たされているかを分けて確認する。

段差が一つある関数

$[0,2]$ 上で、$f(x)=1$（$0\le x<1$）、$f(x)=3$（$1\le x\le2$）とする。$x=1$ で不連続だが有界で、左右の定数関数を区間ごとに積分して
$$ \int_0^2f(x)\,dx=\int_0^1 1\,dx+\int_1^2 3\,dx=1+3=4. $$
$x=1$ での値を $3$ から別の有限な値に変えても積分は $4$ のままである。この例では全区間で $F'=f$ となる一つの微分可能な $F$ を期待してはならない。導関数は Darboux の中間値性をもち、このような跳びを持てないからである。区間を分けて計算する。

有界でも定積分がない関数

$[0,1]$ 上で、有理数なら $1$、無理数なら $0$ とする関数 $d$ は有界である。しかしどの小区間にも有理数と無理数がある。したがって各小区間の上限は $1$、下限は $0$ で、どんな分割でも上限和は $1$、下限和は $0$ になる。二つを一致させられないので $d$ は Riemann 積分可能でない。「有界だから必ず積分できる」とは言えない。

この反例では、$[0,1]$ を $n$ 等分した右端 $k/n$ はすべて有理数なので、右端だけを選んだ和は毎回 $1$ になる。一方、同じ各小区間から無理数を選べば和は毎回 $0$ になる。どちらも最大幅 $1/n$ は $0$ に近づく。特定の取り方で作った和が一つ収束するだけでは積分可能性を証明できないことが、この二つの選点から分かる。連続関数の区分求積法を、不連続関数へ仮定抜きに延長してはいけない。
$1/\sqrt{x}$ は $(0,1]$ で連続だが、$[0,1]$ では $x=0$ に値をもたず有界でもない。したがって $\int_0^1x^{-1/2}\,dx$ は、ここまでの有界閉区間上の通常の Riemann 定積分としては定義していない。$\lim_{\varepsilon\downarrow0}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-1/2}\,dx=2$ という別の極限で定める広義積分なら値を持つ。$\int_0^1\frac{dx}{x}$ では同じ極限が発散するので、広義積分としても有限値を持たない。端の代入をする前に、積分の種類と定義域を確かめる。

計算の順序と関連

定積分を計算するときは、まず積分区間と被積分関数を確認する。連続なら積分の存在は保証される。次に符号が変わる点や式が変わる点がないかを調べ、必要なら区間を分ける。その上で原始関数が分かれば端の差を取る。原始関数を見つけにくくても、比較で値を挟んだり、対称性や Riemann 和で求めたりできる。$a>b$ なら向きを直し、面積や移動距離が欲しいなら被積分関数の絶対値を検討する。

偶関数の対称性

$f(-x)=f(x)$ なら、$[-a,0]$ の積分で $u=-x$ と置くことにより $\int_{-a}^{0}f(x)\,dx=\int_0^af(u)\,du$ となる。したがって
$$ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^af(x)\,dx. $$
同様に奇関数 $f(-x)=-f(x)$ なら $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$。たとえば $x^3+x$ の対称区間での積分は $0$ だが、各点で関数が $0$ なのではなく左右の寄与が打ち消し合う。

定積分は、面積や変化量だけでなく、平均値、確率密度の全確率、密度から質量を求める計算にも現れる。共通するのは「小さな区間に対応する寄与を足し、極限を取る」という構造である。本記事の一変数・有界閉区間の扱いを起点に、厳密な積分可能性は Riemann積分、面積の図形的な読み方は定積分と面積、和と積分の往復は区分求積と積分の定義、原始関数が端の差を与える一般論は微分積分学の基本定理へ進める。