商位相

同義語：quotient topology

概要

前提知識: 位相空間, 連続写像, 同値関係

商位相とは

商位相（quotient topology）は、空間の点を指定した規則で同一視したとき、その結果の集合に入れる位相である。線分の両端を貼り合わせて円を作る操作が代表例になる。貼り合わせ後の開集合は、元の空間へ引き戻したときに開いている集合として定める。この定義により、貼り合わせと両立する連続写像を簡単に判定できる（Mun00 §22）。
商位相では、点を同一視するという集合上の操作と、できた空間がどのような位相的性質を持つかという問題を分けて考える。元の空間が Hausdorff でも商空間はそうとは限らないし、連続な全射がすべて商写像になるわけでもない。まず定義と普遍性を述べ、次に具体例と注意点を調べる。

定義

位相空間 $X$ から集合 $Y$ への全射 $q:X\to Y$ を取る。$Y$ の部分集合 $U$ について、逆像 $q^{-1}(U)$ が $X$ で開であるとき、かつそのときに限り $U$ を開とする。この開集合族は位相の公理を満たす。逆像が空集合と全体集合、任意の和、有限個の共通部分を保つからである。

全射が定める商位相

全射 $q:X\to Y$ による $Y$ の商位相は
$$ \mathcal T_q=\{U\subseteq Y\mid q^{-1}(U)\text{ は }X\text{ で開}\} $$
である。$Y$ にこの位相を入れたとき、$q$ を商写像という。したがって、位相が既に入った $Y$ への写像を商写像と呼ぶには、全射であることに加え、各 $U\subseteq Y$ について $U$ が開であることと $q^{-1}(U)$ が開であることの同値が必要である。

商位相は $q$ を連続にする位相のうち最も細かい。実際、$Y$ の別の位相 $\mathcal S$ に関して $q$ が連続なら、$\mathcal S$ の開集合はすべて $\mathcal T_q$ に入る。ここで「細かい」とは開集合が多いという意味である。商位相の定義に現れる「開集合の逆像が開」という条件は、通常の連続性の必要条件を、全ての部分集合に対する判定へ強めたものである（EoMQuot）。
同値関係 $\sim$ が $X$ に与えられた場合には、商集合 $X/{\sim}$ の元は同値類 $[x]$ であり、自然な全射 $q(x)=[x]$ に上の位相を入れる。これを商空間という。集合 $A\subseteq X$ が飽和しているとは、$A=q^{-1}(q(A))$、つまり一つでも含む同値類を丸ごと含むことである。商空間の開集合は、元の空間で開かつ飽和した集合と一対一に対応する。
この対応を具体的に見るには、$U\subseteq X/{\sim}$ を開集合として $A=q^{-1}(U)$ と置く。$A$ は開であり、同じ類に属する点を一つ含めばその類全体を含む。逆に $A\subseteq X$ が開かつ飽和なら、$U=q(A)$ と置いたとき $q^{-1}(U)=q^{-1}(q(A))=A$ である。従って $U$ は商空間で開になる。単に開な $A$ の像 $q(A)$ が開になるとは限らず、飽和性が逆像をちょうど $A$ に戻す条件になっている。
例えば線分の両端を貼り合わせる場合、$[0,\varepsilon)$ だけでは $0$ を含むのに $1$ を含まず、飽和していない。端点の類を含む開集合の逆像には、$0$ 側と $1$ 側の両方の短い区間が現れる。商空間の近傍を考えるときに「貼った点の周りでは両側を同時に見る」と言うのは、この開かつ飽和という条件の言い換えである。

開集合と閉集合の判定

$q:X\to Y$ を商写像とする。$U\subseteq Y$ が開であることと $q^{-1}(U)$ が開であることは同値である。また $F\subseteq Y$ が閉であることと $q^{-1}(F)$ が閉であることも同値である。

補集合を引き戻す

開集合の主張は定義そのものである。$q^{-1}(Y\setminus F)=X\setminus q^{-1}(F)$ なので、$Y\setminus F$ が開であることと $X\setminus q^{-1}(F)$ が開であることが同値になる。両辺を閉集合の言葉に直せばよい。$\square$

この判定は、商写像が必ず開写像または閉写像になるという意味ではない。開写像は $X$ の任意の開集合の像が開であることを要求する。商位相で調べるのは、商空間の集合の逆像、すなわち飽和した集合である。

連続写像を降ろす

商位相の重要な働きは、$X$ 上の写像が同一視後の空間に降りるかどうかを見分けることである。$q(x)=q(x')$ なら $f(x)=f(x')$ となる写像 $f:X\to Z$ を、$q$ の各ファイバー上で一定という。このとき集合としてはただ一つの写像 $\bar f:Y\to Z$ が $f=\bar f\circ q$ を満たす。商位相を入れると、その写像の連続性も $X$ 上で判定できる。

商位相の普遍性

$q:X\to Y$ を商写像、$Z$ を位相空間とする。写像 $g:Y\to Z$ が連続であることと $g\circ q:X\to Z$ が連続であることは同値である。特に、連続写像 $f:X\to Z$ が $q$ の各ファイバー上で一定なら、ただ一つの連続写像 $\bar f:Y\to Z$ が $f=\bar f\circ q$ を満たす。

開集合の逆像で判定する

$Z$ の開集合 $W$ に対して $(g\circ q)^{-1}(W)=q^{-1}(g^{-1}(W))$。$q$ が商写像なので、右辺が $X$ で開であることと $g^{-1}(W)$ が $Y$ で開であることは同値である。全ての $W$ についてこの条件を課せば連続性の同値を得る。$f$ が各ファイバー上で一定なら $\bar f(q(x))=f(x)$ と定められ、全射性から定義の一意性が従う。さらに $\bar f\circ q=f$ が連続だから、前半の同値により $\bar f$ も連続である。$\square$

この性質は、同一視してよい点をあらかじめ決め、そこから別の空間への写像を構成する際に使う。例えばある図形の境界を貼り合わせるなら、境界上の対応する点で同じ値を取る写像だけが商空間へ降りる。「連続かどうか」を商空間の開集合を一つずつ調べずに判定できる。
普遍性の向きは重要である。商空間を定義域とする写像の連続性は、商写像と合成して元の空間上で調べられる。一方、$Z\to Y$ という商空間を値域とする写像について、$X$ への連続な持ち上げがいつでもあるとは言えない。貼り合わせ後の点を元のどの点へ戻すかを選ぶ操作は、そもそも連続に行えないことがある。普遍性は、同一視を尊重する写像を下へ降ろすための性質である。
二段階で点を同一視する場合にも、この判定を続けて使える。$q:X\to Y$ と $r:Y\to W$ が商写像なら、$r\circ q$ も商写像である。実際、$V\subseteq W$ について $V$ が開であること、$r^{-1}(V)$ が開であること、$q^{-1}(r^{-1}(V))$ が開であることは順に同値である。最後は $(r\circ q)^{-1}(V)$ が開であるという条件に等しい。貼り合わせの手順を分けても、各段階が商位相なら最終的な開集合の判定は元の空間まで一度に引き戻せる。

線分の両端を貼り合わせる

$I=[0,1]$ に通常の相対位相を入れ、$0\sim1$ とし、それ以外は同じ点だけを同値とする。この商集合 $I/{\sim}$ は円周 $S^1=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ と同相になる。対応は $t\mapsto e^{2\pi i t}$ で与えられる。端点 $0$ と $1$ の値が同じなので、先ほどの普遍性により商空間から円周への連続写像が得られる。

線分から円周へ

$q:I\to I/{\sim}$ と $p(t)=e^{2\pi i t}$ を取る。$p$ は同値類をちょうどファイバーとし、連続全射である。誘導される $\bar p:I/{\sim}\to S^1$ は連続全単射になる。$I/{\sim}$ はコンパクトな $I$ の連続像であり、$S^1$ は Hausdorff である。よって $\bar p$ は同相写像である。商空間の一点 $[0]=[1]$ の近傍は、元の線分で両端の小区間を一緒に含む開集合に対応する。

同じ発想で長方形の向かい合う辺を貼れば円筒やトーラスが現れ、円板の境界全体を一点に縮めれば球面が現れる。ただし、図だけから位相を決めたつもりにならず、どの点が同一視されるかと、逆像で決まる商位相を明示することが大切である。
この $q$ は商写像だが、開写像ではない。例えば $0<\varepsilon<1/2$ に対する $[0,\varepsilon)\subseteq I$ は相対位相で開である。しかし $q([0,\varepsilon))$ は貼った点 $[0]=[1]$ を含みながら、$1$ 側のどんな点も含まない。その逆像は $[0,\varepsilon)\cup\{1\}$ で、$I$ の開集合ではない。従って像は商空間で開でない。商写像と開写像の差を、この例は貼り合わせた点の近傍として示している。
円周は別の方法でも商空間として表せる。実数 $s,t$ について $s\sim t$ を $s-t\in\mathbb Z$ で定めると、$\mathbb R/{\mathbb Z}$ の各点は整数だけ異なる実数を一つに集めた類になる。写像 $x\mapsto e^{2\pi i x}$ は同じ類で一定であり、そのファイバーはちょうどこれらの類である。この場合は、開区間の像が円周上の開弧の和になるので、$\mathbb R\to S^1$ は開写像でもある。同じ円周が、開写像による無限個の点の同一視と、開写像ではない閉区間の端点の同一視の両方から得られる。商空間の形だけを見て、商写像自体が開か閉かを決めることはできない。
一般に、連続写像 $f:X\to Y$ のファイバーを同値類にして $X/{\sim_f}$ を作ると、集合としては $f(X)$ との全単射ができる。しかし、その全単射が同相写像になるには $f:X\to f(X)$ が商写像であることが必要である。線分から円周への写像では、コンパクト性と Hausdorff 性によってこれを証明した。実数の離散位相から通常位相への恒等写像では、ファイバーはすべて一点なのに同相写像にならない。点の対応が一対一というだけでは、位相まで一致したことにならない。

商写像を見分ける

連続全射 $q:X\to Y$ が与えられても、$Y$ に元から入っている位相が商位相とは限らない。商写像であることを確かめるには、逆像が開なら元の集合も開という逆向きが要る。よく使う十分条件は、連続全射が開写像または閉写像であることである。

開または閉な連続全射

連続全射 $q:X\to Y$ が開写像なら商写像である。閉写像でも商写像である。

飽和した逆像の像を戻す

連続性より、$Y$ で開な $U$ の逆像は開である。逆に $q^{-1}(U)$ が開で、$q$ が開写像なら、全射性から $U=q(q^{-1}(U))$ が開となる。閉写像の場合は、$q^{-1}(F)$ が閉なら $F=q(q^{-1}(F))$ が閉であるという閉集合の判定を用いる。$\square$

連続全射でも商写像でない

集合 $\mathbb R$ に離散位相を入れた空間 $X$ から、通常の位相を入れた $\mathbb R$ への恒等写像 $q$ を考える。$q$ は連続な全射である。しかし $X$ では全ての集合が開なので、$q$ が定める商位相は離散位相になる。通常の位相とは違うため、与えられた二つの空間の間の $q$ は商写像でない。

コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全射は閉写像なので商写像である。上の円周の例にこの判定を使うこともできる。一方、商写像そのものは開写像にも閉写像にも限定されない。逆像の条件と像の条件を取り違えない。
この十分条件も確認しておく。$X$ がコンパクトで $Y$ が Hausdorff、$q:X\to Y$ が連続全射とする。$X$ の閉集合 $F$ はコンパクトで、その連続像 $q(F)$ もコンパクトである。Hausdorff 空間ではコンパクト部分集合が閉だから、$q(F)$ は閉である。つまり $q$ は閉写像であり、前命題を適用できる。この証明で必要なのは、$X$ のコンパクト性と $Y$ の Hausdorff 性の両方である。逆に $Y$ の Hausdorff 性を外しても任意の連続全射が閉写像になる、という主張ではない。
一方、商写像の判定を必要とする場面では、まず全射かどうかを調べる。全射でなければ $Y$ の像に含まれない部分の位相を $X$ から決められない。写像 $f:X\to Y$ が全射でないときでも、像 $f(X)$ へ値域を制限して商位相を入れることはできる。ただし $f(X)$ が元の $Y$ から受け継ぐ部分空間位相と、その商位相が一致するかは別の問題である。

性質の継承と注意

連続全射の像は、元の空間がコンパクトならコンパクトであり、連結なら連結である。商写像は連続全射だから、これらは商空間にも引き継がれる。対照的に Hausdorff 性は一般には引き継がれない。同一視する同値類が閉でない場合、商空間では一つの点すら閉でなくなりうる。
コンパクト性の継承は、商空間の任意の開被覆を商写像で引き戻して $X$ の開被覆にし、有限部分被覆を選んでから全射性で押し戻しても確かめられる。連結性も、商空間が二つの互いに交わらない非空開集合に分かれたと仮定すれば、それぞれの逆像が $X$ を同じように分けるため従う。どちらの議論も、商位相の特殊性だけではなく連続全射の一般的な性質を使っている。

Hausdorff 空間の非 Hausdorff な商

通常の位相の $\mathbb R$ で、有理数を全て一つの同値類にし、各無理数はそれぞれ単独の同値類とする。商写像を $q$ とし、有理数全体の類を $*\in Y$ とする。逆像 $q^{-1}(\{*\})=\mathbb Q$ は $\mathbb R$ で閉でない。閉集合の判定から $\{*\}$ は $Y$ で閉でない。したがって $Y$ は $T_1$ でなく、Hausdorff でもない。

逆に「商空間が Hausdorff になるためには各同値類が閉じていれば十分」とは一般には言えない。各点が閉であることは $T_1$ 性に対応するだけである。商の分離性を調べる際には、同値関係や商写像について追加の条件が必要になる。円周の例では、コンパクトから Hausdorff への具体的な連続全単射を構成したことが同相性を保証した。
実際、商空間が $T_1$ であることと、$X$ の各同値類が閉であることは同値である。$T_1$ 性を「各一点集合が閉」と表し、先に証明した閉集合の逆像による判定を一点集合 $\{[x]\}$ に適用すれば、その逆像がちょうど $[x]$ になるからである。これは $T_1$ 性についての正確な判定を与えるが、異なる二点を互いに交わらない開近傍で分離できるという Hausdorff 性までは与えない。

射影空間との接続

商位相は幾何学で「同じ方向」を一点とみなすときにも現れる。例えば $n\geq1$ とし、$\mathbb R^{n+1}\setminus\{0\}$ の非零ベクトル $v,w$ について、$w=\lambda v$ となる非零実数 $\lambda$ が存在するとき同値とする。同値類は原点を通る一次元部分空間に対応し、商空間は実射影空間 $\mathbb{RP}^n$ になる。複素ベクトルと非零複素数によるスカラー倍を用いれば複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ が得られる。
ここで商にする集合は零ベクトルを除いている。零ベクトルを入れると零だけが別の同値類になり、意図した「方向の空間」ではなくなる。射影空間の点を座標で書く $[x_0:\cdots:x_n]$ という記号も、座標列そのものではなく非零スカラー倍まで同一視した類を表す。$x_i\ne0$ の部分では $x_i$ で割って残りの比を取れるので、通常の Euclid 空間と対応する局所座標を作れる。商位相は、これらの局所座標が一つの空間の中で整合するための位相を与える。
代数幾何で射影多様体を扱うときには、ここで述べた実・複素点の通常の位相とは別に Zariski 位相も使う。同じ同値類の集合を見ていても、どの位相で議論するかによって開集合や収束の意味が異なる。商位相という言葉だけで位相が一意に決まるのではなく、出発点の位相と商写像をあわせて指定する必要がある。
商位相は部分空間位相と方向が逆である。部分空間位相では包含写像の行き先に既存の位相があり、部分集合にそれと整合する位相を入れる。商位相では全射の出発点に既存の位相があり、行き先に位相を入れる。両者を組み合わせるときは、部分空間を取ってから商を取る操作と、商を取ってから部分空間を取る操作が無条件に一致すると考えない。

使い分け

商集合と商空間. 同値類を集めただけでは集合である。商位相を入れて初めて位相空間になる。
連続全射と商写像. 連続全射だけでは逆像による開集合の判定が成立しない。開写像・閉写像、またはコンパクトから Hausdorff への全射という十分条件が使える。
開集合の像と逆像. 商位相の定義は逆像で述べる。開集合の像が常に開とは言わない。
性質の継承. コンパクト性と連結性は連続全射で保たれるが、Hausdorff 性は貼り合わせ方に依存する。

条件を外したときの反例

商位相についての命題と十分条件は、それぞれの仮定を外すと成り立たなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
開写像または閉写像	離散位相の $\mathbb R$ から通常の $\mathbb R$ への恒等写像	連続全射は商写像
開写像（商写像であるだけ）	$[0,1]\to[0,1]/(0\sim1)$	商写像は開集合を開集合に写す
定義域がコンパクト	$[0,1)\to S^1$、$t\mapsto e^{2\pi it}$	Hausdorff 空間への連続全単射は同相写像
同値類が閉	$\mathbb R$ で有理数全体を一点にした商	商空間は $T_1$
分離の条件（類が閉であるだけ）	原点を二重にした直線	同値類がすべて閉なら商空間は Hausdorff

最初の二行と第四行は本文で確かめた。残りを確かめる。

コンパクトでない定義域と、二重の原点

$[0,1)$ から円周へ。 $p(t)=e^{2\pi it}$ は $[0,1)$ から $S^1$ への連続な全単射で、$S^1$ は Hausdorff である。しかし $[0,1/2)$ は $[0,1)$ で開なのに、像 $\{e^{2\pi it}:0\le t<1/2\}$ は点 $1$ を含み、$1$ に近い $e^{2\pi it}$（$t$ が $1$ に近い）を含まないので $S^1$ で開でない。従って逆写像は連続でなく、$p$ は同相写像でない。$p$ は開写像でも閉写像でもなく、商写像でもない。線分の例では定義域 $[0,1]$ のコンパクト性がこの失敗を防いでいた。
原点を二重にした直線。 $X=\mathbb R\times\{a,b\}$（二本の実数直線の非交和）で、$x\ne0$ のとき $(x,a)\sim(x,b)$ とし、商を $Y$ とする。同値類は $\{(x,a),(x,b)\}$（$x\ne0$）と一点集合 $\{(0,a)\}$、$\{(0,b)\}$ で、どれも $X$ で閉だから、$Y$ は $T_1$ である。二点 $0_a=[(0,a)]$、$0_b=[(0,b)]$ の開近傍 $U,V$ を取ると、$q^{-1}(U)$ は $(0,a)$ を含む開集合なので、ある $\varepsilon>0$ で $(-\varepsilon,\varepsilon)\times\{a\}$ を含み、飽和性から $0< \lvert x\rvert<\varepsilon$ の $(x,b)$ も含む。$V$ についても同様で、$0$ に十分近い $x\ne0$ の類 $[(x,a)]$ は $U\cap V$ に入る。従って $0_a,0_b$ は交わらない開近傍で分離できず、$Y$ は Hausdorff でない。