充満忠実関手(豊穣圏)
概要
充満忠実関手(豊穣圏)（enriched fully faithful functor）とは、各Hom対象の間に基礎圏の同型を誘導する豊穣関手である。台圏での充満忠実性との違い、豊穣米田埋め込み、DK同値への接続を説明する。
前提知識: 充満忠実関手, モノイダル圏, 豊穣圏, 関手(豊穣圏)
定義
$\mathcal V$ を局所小なモノイダル圏とする。豊穣圏 $\mathcal A$ はHom対象 $\mathcal A(x,y)$ と結合的・単位的な合成を持つ。豊穣関手（関手(豊穣圏)）$F:\mathcal A\to\mathcal B$ は対象とHom対象を運び、合成と単位を保つ。
豊穣関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ が充満忠実（fully faithful）であるとは、すべての $x,y$ に対する
$$F_{x,y}:\mathcal A(x,y)\longrightarrow\mathcal B(Fx,Fy)$$
が基礎圏 $\mathcal V$ の同型であることをいう。
定義は Kel82 §1.2。射の要素の集合だけでなく、Hom対象の構造をすべて回復する条件である。対象の対応が単射であることは要求しない。
直感
充満忠実な関手は、像に入った二対象の間の射の情報を増やしも減らしもしない。豊穣版では、加法・単体的構造・高次の射なども含めてこのことを要求する。
通常の充満忠実関手を一般化する際に、「充満」と「忠実」を基礎圏で別々のエピ・モノの条件に替えることを本記事の定義にはしない。一般の基礎圏でエピかつモノが同型になるとは限らないためである。
例
$\mathcal B$ の対象の一部を選び、選んだ対象間のHom対象・合成・単位をそのまま使って作る $\mathcal A$ を充満豊穣部分圏という（通常の充満部分圏の豊穣版）。包含 $\mathcal A\to\mathcal B$ は各Homに恒等射を与えるので充満忠実である。
$\mathcal V$ が完備な対称モノイダル閉圏、$\mathcal A$ が小さい豊穣圏なら、米田埋め込み $y(a)=\mathcal A(-,a)$ は
$$
\mathcal A(a,b)\cong
[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V](y(a),y(b))
$$
を満たし、豊穣充満忠実である。右辺は自然変換対象で、エンド（エンド(豊穣圏)）によって作る。この同型は豊穣米田の補題（米田の補題(豊穣圏)）の帰結である。Kel82 §2.4。
$\mathcal V=\mathbf{Cat}$ とする。一対象・一つの1射を持つ厳密2圏 $\mathcal B$ で、2射が整数、縦横の合成が加算であるものを取る。台となる通常の圏 $\mathcal B_0$ は一点圏だが、唯一のHom圏は一対象亜群 $B\mathbb Z$ である。
終2圏から $\mathcal B$ への関手は、台圏では一点圏の恒等関手なので充満忠実である。しかしHom圏の写像 $*\to B\mathbb Z$ は同型でなく、豊穣充満忠実ではない。
性質
豊穣充満忠実な $F$ の台関手 $F_0$ は通常の意味で充満忠実であり、同型を反映する。Kel82 §1.3。
$\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,-)$ を $F_{x,y}$ の同型に適用すると、台圏のHom集合の全単射を得る。$F_0(f)$ に逆 $g'$ がある場合、充満性で $g'$ を $g$ に持ち上げ、忠実性で $gf=1,fg=1$ を得る。従って $f$ 自身が同型である。
$F$ と $G$ が豊穣充満忠実なら $GF$ もそうである。また $G$ と $GF$ が豊穣充満忠実なら $F$ もそうである。
$(GF)_{x,y}=G_{Fx,Fy}F_{x,y}$ である。同型の合成は同型なので前半が従う。後半では $F_{x,y}=G_{Fx,Fy}^{-1}(GF)_{x,y}$ と書けるため、各 $F_{x,y}$ も同型になる。
豊穣圏同値との違い
豊穣関手 $F$ が、豊穣関手 $G$ と豊穣自然同型 $GF\cong1,FG\cong1$ を持つとき豊穣圏同値（圏同値(豊穣圏)）という。これは、$F$ が豊穣充満忠実であり、$\mathcal B_0$ のすべての対象がある $Fx$ と同型になることと同値である。後者を本質的全射性という。Kel82 §1.11。
充満忠実性だけでは、像の外に対象が残ってもよい。逆に対象を重複して表示しても、Homが適切に同型なら充満忠実であり得る。対象の数の比較だけで判定しない。
∞圏への接続
単体的豊穣圏では、厳密な充満忠実性はHom単体的集合の同型を要求する。対応する∞関手の充満忠実性は、写像空間の同値を要求する。従って厳密な豊穣充満忠実性とホモトピー的な充満忠実性を区別する。
局所Kanな表示では、Homの弱ホモトピー同値が∞圏の写像空間の同値に対応する。さらにホモトピー圏で本質的全射ならDK同値となる。モデル圏や単体的局所化からの表示では必要な置換を行ってから比較する。HTT09 §§1.2.10, 2.2.5。
関連項目
- 前提：豊穣圏、関手(豊穣圏)、自然変換(豊穣圏)。
- 発展：米田の補題(豊穣圏)、圏同値(豊穣圏)、DK同値。
- 比較：充満忠実関手、充満忠実関手(∞圏)、本質的全射。
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
