多重ポリログ

一変数版では分母を $1$ で下から評価すると
$$ \sum_{0< n_1<\cdots< n_r}|z|^{n_r} =\sum_{N=1}^{\infty}{N-1\choose r-1}|z|^N $$
となる。二項係数は $N$ の多項式で抑えられるため、$|z|<1$ で収束する。$|z|\leq\rho<1$ なら同じ上界の $|z|$ を $\rho$ に置き換えられるので、Weierstrassの判定法により局所一様収束する。
調和型では $\rho=\max_j|z_j|<1$ とおくと、各項の絶対値は分母を除けば $\rho^{n_1+\cdots+n_r}\leq\rho^{n_r}$ で抑えられる。したがって一変数版と同じ級数が優級数になる。シャッフル型では $\rho=\max_j|w_j|<1$ とおくと、指数の和が
$$ n_1+(n_2-n_1)+\cdots+(n_r-n_{r-1})=n_r $$
なので、やはり絶対値は $\rho^{n_r}$ で抑えられる。コンパクトな多重円板ごとに同じ議論が使え、項別微分も正当化されるから正則性が従う。

シャッフル型の分子へ $(z_1\cdots z_r,z_2\cdots z_r,\ldots,z_r)$ を代入する。$z_j$ の指数は、最初の $j$ 個の因子から
$$ n_1+(n_2-n_1)+\cdots+(n_j-n_{j-1})=n_j $$
となる。したがって分子は $z_1^{n_1}\cdots z_r^{n_r}$ であり、調和型の各項に一致する。一変数版に関する二つの等式も、分子がいずれも $z^{n_r}$ になることから従う。

被積分関数は非負なのでTonelliの定理を使える。$0< u<1$ と $m\geq0$ に対し
$$ \int_0^u\frac{t^m}{1-t}\,dt =\sum_{N=m+1}^{\infty}\frac{u^N}{N}, \qquad \int_0^u t^{N-1}\,dt=\frac{u^N}{N} $$
である。最初の式は $(1-t)^{-1}=\sum_{j\geq0}t^j$ を項別積分すれば得られる。
反復積分を $t_1$ から順に計算する。文字 $1$ に対応する積分は、それまでの指数より大きい新しい整数を導入し、続く一つの文字 $0$ は同じ整数を分母に一回追加する。この操作を語
$$ 1,0^{k_1-1},\ldots,1,0^{k_r-1} $$
に沿って反復すると、最後に
$$ \sum_{0< n_1<\cdots< n_r} \frac{z^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} $$
を得る。これは定義した一変数多重ポリログである。

$k_r>1$ の式は、局所一様収束により級数を項別微分すれば直ちに得られる。$k_r=1$ のとき、$H_{N-1}(k_1,\ldots,k_{r-1})$ を
$$ \sum_{0< n_1<\cdots< n_{r-1}< N} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_{r-1}^{k_{r-1}}} $$
と書けば、微分後の級数は $\sum_{N\geq1}H_{N-1}z^{N-1}$ である。一方、幾何級数を用いると
$$ \frac{1}{1-z}\operatorname{Li}_{k_1,\ldots,k_{r-1}}(z) =\sum_{m\geq1}\frac{z^m}{m^{k_{r-1}}} \sum_{j\geq0}z^j $$
を、それ以前の入れ子和も含めて係数比較でき、$z^{N-1}$ の係数はちょうど $H_{N-1}$ になる。

左辺を二つの単体上の積分として書く。積領域では、一方の積分変数と他方の積分変数の大小関係を、各列の内部順序を保つ全順序ごとに分類できる。等号が生じる部分は測度 $0$ であり、各領域は一つのシャッフルに対応する。その領域で全変数を小さい順に並べると $I_z(w)$ になる。すべての領域を足せば表示式を得る。

絶対収束により二重級数を自由に並べ替えられる。積
$$ \sum_{m,n\geq1}\frac{x^m y^n}{m^a n^b} $$
の範囲を $m< n$、$n< m$、$m=n$ に分割する。最初の領域が第1項、次の領域が第2項、対角線が第3項を与える。

$0< z<1$ では各項が非負であり、$z\uparrow1$ とともに単調に増加する。$k_r\geq2$ のとき $z=1$ で得られる多重ゼータ級数は収束する。したがって単調収束定理により極限と総和を交換でき、表示式を得る。