Stein代数

1：層の準同型 $\alpha\colon\mathcal{O}_X^{\oplus l}\to\mathcal{O}_X$、$(c_i)\mapsto\sum_ic_if_i$ を考える。各点 $x$ である $f_i(x)\ne0$ なので $f_i$ の芽は単元で、$\alpha$ は茎ごとに全射である。$\mathcal{O}_X$ は連接なので（複素解析空間 の注意「出典と帰結」）核 $\mathcal{K}$ も連接で、定理 B により $H^1(X,\mathcal{K})=0$ である。短完全列 $0\to\mathcal{K}\to\mathcal{O}_X^{\oplus l}\to\mathcal{O}_X\to0$ の長完全列から $\mathcal{O}(X)^{\oplus l}\to\mathcal{O}(X)$ は全射で、$1$ の逆像が求める $(g_i)$ である。
2：共通零点がなければ 1 により $1\in I$ となる。3：$M$ の生成元は 2 により共通零点 $p$ をもつので $M\subset\ker\chi_p$ で、$M$ の極大性から等号が成り立つ。$\square$

$A$ の $d$ 次元の既約成分を $A_i$（$i\in I$、$I$ は可算）とする。rem-sa-cited の 4 (b) により $A_i$ は孤立点をもたないので、相異なる 2 点 $p_i,q_i\in A_i$ がとれる。族 $\{A_i\}$ は局所有限なので、$D:=\{p_i,q_i\mid i\in I\}$ はどの点の近くにも有限個の点しかもたず、離散な閉集合である。補間（rem-sa-cited の 2）により、$D$ の上で単射な $g\in\mathcal{O}(X)$ がある。
$B:=A\cap\{g=c\}$ は解析的部分集合で、4 (c) により $\dim B\le d$ である。$\dim B=d$ なら、4 (c) により $d$ 次元の既約成分 $A_i$ で $B$ に含まれるものがあり、$g(p_i)=g(q_i)=c$ となって $g$ の単射性に反する。よって $\dim B\le d-1$ である。$\square$

$\chi$ を指標とし、$\mathfrak{M}:=\ker\chi$ とおく。$\mathfrak{M}$ は真のイデアルである。$X_0:=X$ とする。$X_k$ が空でなく $\dim X_k\ge1$ なら、lem-sa-cut を $A=X_k$ に使って $g_{k+1}$ をとり、
$$ h_{k+1}:=g_{k+1}-\chi(g_{k+1})\in\mathfrak{M},\qquad X_{k+1}:=X_k\cap\{h_{k+1}=0\} $$
とおく。$X_{k+1}$ は $h_1,\dots,h_{k+1}\in\mathfrak{M}$ の共通零点の集合なので、lem-sa-common-zero の 2 により空でなく、lem-sa-cut により $\dim X_{k+1}\le\dim X_k-1$ である。$\dim X< \infty$ なので、ある $k\le\dim X$ で $\dim X_k=0$ となる。
$X_k$ は離散な閉集合なので（rem-sa-cited の 4 (b)）、補間により $X_k$ の上で単射な $g_0\in\mathcal{O}(X)$ がとれる。$h_0:=g_0-\chi(g_0)\in\mathfrak{M}$ とすると、$h_0,h_1,\dots,h_k$ の共通零点の集合は空でなく、$X_k$ に含まれ、$h_0$ が $X_k$ の上で単射なのでただ 1 点 $p$ からなる。
任意の $f\in\mathfrak{M}$ について、$f,h_0,\dots,h_k\in\mathfrak{M}$ は共通零点をもち（lem-sa-common-zero の 2）、それは $p$ しかありえないので $f(p)=0$ である。よって $\mathfrak{M}\subset\ker\chi_p$ で、両者は余次元 $1$ なので一致し、$\chi=\chi_p$ である。$p$ の一意性は、Stein 空間では $\mathcal{O}(X)$ が点を分離することによる。$\square$

要点：prf-sa-characters で得た $h_0,\dots,h_k$ に、極大イデアル $\mathfrak{m}_p$ の芽を生成する大域関数を足すと、点 $p$ のイデアル層を生成する。定理 B により、その大域切断（$=\ker\chi_p$）は生成元の一次結合で書ける。

2．$\varepsilon_X$ が単射なので $\mathcal{O}(X)$ は点を分離する。正則凸性を示す。$K\subset X$ をコンパクト集合とし、$\widehat K_X$ 上の超フィルター $\mathcal{U}$ をとる。各 $f\in\mathcal{O}(X)$ について、$f(\widehat K_X)$ は閉円板 $\{|w|\le\sup_K|f|\}$ に含まれるので、像の超フィルターは極限をもち、それを $\chi(f)$ とおく。和・積・定数は極限と両立するので $\chi$ は指標で、仮定により $\chi=\chi_p$ となる $p\in X$ がある。基本近傍 $V(\chi_p;f_1,\dots,f_n;\delta)$ について、各 $i$ で $\{x\mid |f_i(x)-f_i(p)|< \delta\}$ は $\mathcal{U}$ に属するので、その有限個の共通部分も属する。よって $\varepsilon_X(\mathcal{U})$ は $\chi_p$ に収束し、$\varepsilon_X^{-1}$ の連続性により $\mathcal{U}$ は $p$ に収束する。$\widehat K_X$ は閉集合なので $p\in\widehat K_X$ である。$\widehat K_X$ 上のすべての超フィルターが収束するので、コンパクト空間 の補題「超フィルターによる判定」により $\widehat K_X$ はコンパクトである。rem-sa-cited の 3 により $X$ は Stein である。
1．$X$ を $n$ 次元の Stein 多様体とする。$\varepsilon_X$ は連続で、thm-sa-characters により全単射なので、開写像であることを示せばよい。Stein 多様体には、単射で固有な正則写像 $F=(f_1,\dots,f_{2n+1})\colon X\to\mathbb{C}^{2n+1}$ がある（Hor90 Theorem 5.3.9、pp. 135–136。解析的多面体 の定理「次数の引き下げと埋め込み」）。$p\in X$ と開近傍 $U$ をとり、$C_r:=\{x\mid |f_i(x)-f_i(p)|\le r\ (\text{すべての }i)\}$ とおく。$F$ は固有なので $C_r$ はコンパクトで、$r$ について減少し、$\bigcap_{r>0}C_r=F^{-1}(F(p))=\{p\}$ である。コンパクト集合 $C_1\setminus U$ は開集合 $X\setminus C_r$（$r>0$）の増大する族で覆われるので、ある $r$ で $C_r\subset U$ となる。すると、$\varepsilon_X$ が全射であることから $V(\chi_p;f_1,\dots,f_{2n+1};r)\subset\varepsilon_X(C_r)\subset\varepsilon_X(U)$ であり、$\varepsilon_X(U)$ は $\chi_p$ の近傍である。$\square$

1．$x\in X$ について $\chi_x\circ\varphi$ は $\mathcal{O}(Y)$ の指標なので、thm-sa-characters により $\chi_x\circ\varphi=\chi_{\tau(x)}$ となる点 $\tau(x)\in Y$ がただ 1 つある。これが求める $\tau$ で、$\varphi(g)$ の値はすべて $\tau$ と $g$ で決まり、$X$ は被約なので $\varphi(g)$ も決まる（複素空間の被約化 の命題「値が 0 の芽と冪零な芽」の 3）。連続性を閉グラフ定理（Fréchet 空間の場合は Fréchet空間 の注意「開写像定理と閉グラフ定理」）で示す。$g_k\to g$ かつ $\varphi(g_k)\to h$ とする。点の指標は標準位相で連続なので（cor-sa-finite の 2）、各 $x$ で $\varphi(g_k)(x)=g_k(\tau(x))\to g(\tau(x))=\varphi(g)(x)$ であり、一方 $\varphi(g_k)(x)\to h(x)$ である。$h$ と $\varphi(g)$ はすべての点で同じ値をとり、$X$ は被約なので $h=\varphi(g)$ である。グラフが閉なので $\varphi$ は連続である。
2．コンパクト一様収束の位相を $\sigma$ とする。$p\in X$ について、cor-sa-finite により $\ker\chi_p=\sum_{j=1}^N\mathcal{O}(X)s_j$ と書ける。線形写像 $\Lambda\colon(\mathcal{O}(X),\tau')^N\to(\mathcal{O}(X),\tau')$、$(c_j)\mapsto\sum_jc_js_j$ は連続で、その像 $\ker\chi_p$ は余次元 $1$ である。Fréchet 空間の間の連続線形写像の像が有限余次元なら閉であるから（下の補足）、$\ker\chi_p$ は $\tau'$ で閉で、$\chi_p$ は $\tau'$ で連続である。すると 1 と同じ議論で、恒等写像 $(\mathcal{O}(X),\tau')\to(\mathcal{O}(X),\sigma)$ のグラフは閉で、恒等写像は連続である。開写像定理により逆も連続で、$\tau'=\sigma$ である。
補足：$T\colon E\to F$ を Fréchet 空間の間の連続線形写像、$F=T(E)\oplus C$（$C$ は有限次元）とする。$S\colon E\times C\to F$、$(e,c)\mapsto Te+c$ は連続な全射なので開写像定理により開写像で、$E/\ker T\times C\to F$ は線形同相である。$T(E)$ はその閉部分空間 $E/\ker T\times\{0\}$ の像なので閉である。$\square$

要点：準同型 $\varphi$ から thm-sa-continuity の 1 の $\tau$ を作り、thm-sa-spectrum の 1 で連続性を、$Y$ の局所座標と $X$ の被約性で正則性を示す。