Jordan–Hölderの定理

要点：1 は第 2 同型定理を $B$ の中で $N\cap B$ と $A$ に使う。2 は $b\mapsto bNA$ が全射 $B\to NB/NA$ で、核が $B\cap NA=(N\cap B)A$（$A\subset B$ から）になることによる。

各 $i$ に lem-jh-intersection を $A=G_{i-1}$、$B=G_i$ として使い、$X_i:=(N\cap G_i)G_{i-1}$ とおく。補題から $N\cap G_{i-1}\trianglelefteq N\cap G_i$、$NG_{i-1}\trianglelefteq NG_i$ であり、
$$ (N\cap G_i)/(N\cap G_{i-1})\cong X_i/G_{i-1},\qquad NG_i/NG_{i-1}\cong G_i/X_i $$
である。$NG_{i-1}\trianglelefteq NG_i$ から $NG_{i-1}/N\trianglelefteq NG_i/N$ であり、第 3 同型定理により $(NG_i/N)/(NG_{i-1}/N)\cong NG_i/NG_{i-1}$ である。よって 1・2 の列はともに正規列である。
$X_i$ は $G_{i-1}\subset X_i\subset G_i$ を満たす $G_i$ の正規部分群で、$G_i/G_{i-1}$ は単純なので、対応定理により $X_i=G_{i-1}$ か $X_i=G_i$ である。$X_i=G_i$ なら、$N$ 側の商は $G_i/G_{i-1}$ と同型で、$G/N$ 側の商は $G_i/X_i$ で自明群である。$X_i=G_{i-1}$ なら、$N$ 側の商は自明群で、$G/N$ 側の商は $G_i/G_{i-1}$ と同型である。これで 3 が示された。
1・2 の列で商が自明群になる段は、隣り合う項が等しい段にほかならない。それを除くと残る商はすべて単純群なので、組成列である。3 により、$N$ の組成列の長さと $G/N$ の組成列の長さの和は $r$ であり、組成因子を合わせると、$G_1/G_0,\dots,G_r/G_{r-1}$ のそれぞれと同型なものがちょうど 1 つずつ現れる。$\square$

1。 次の主張 $P(r)$ を $r$ についての帰納法で示す。
$P(r)$：長さ $r$ の組成列をもつ任意の群について、そのすべての組成列は長さ $r$ のその組成列と同値である。
$r=0$ なら $G=\{e\}$ で、組成列では項が真に増えるので、どの組成列も長さ $0$ である。$r\ge1$ とし、$P(r')$（$r'< r$）を仮定する。$G$ の組成列 $(G_i)_{0\le i\le r}$ と $(H_j)_{0\le j\le s}$ をとる。$G\neq\{e\}$ なので $s\ge1$ である。$M:=G_{r-1}$、$L:=H_{s-1}$ とおくと、$G/M$ と $G/L$ は単純であり、対応定理により $M\subsetneq Y\subsetneq G$ となる $G$ の正規部分群 $Y$ はない。$L$ についても同じである。
場合 1：$M=L$ のとき。$M$ は長さ $r-1$ の組成列 $(G_i)_{i\le r-1}$ と長さ $s-1$ の組成列 $(H_j)_{j\le s-1}$ をもつ。$P(r-1)$ により $s-1=r-1$ で、両者は同値である。共通の組成因子 $G/M$ を加えれば、$(G_i)$ と $(H_j)$ は同値である。
場合 2：$M\neq L$ のとき。$ML$ は $M$ を含む $G$ の正規部分群なので、$ML=M$ か $ML=G$ である。$ML=M$ なら $L\subset M\subsetneq G$ で、$L$ について上で述べたことから $L=M$ となり矛盾する。よって $ML=G$ である。$K:=M\cap L$ は $G$ の正規部分群であり、第 2 同型定理から
$$ M/K\cong ML/L=G/L,\qquad L/K\cong ML/M=G/M $$
で、どちらも単純群である。$M$ は組成列 $(G_i)_{i\le r-1}$ をもち、$K\trianglelefteq M$ なので、prop-jh-normal-quotient の 1 により $K$ は組成列 $\{e\}=K_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_t=K$ をもつ。

• $M$ は長さ $r-1$ の組成列 $(G_i)_{i\le r-1}$ と、$K_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_t\trianglelefteq M$（最後の商 $M/K$ は単純）という長さ $t+1$ の組成列をもつ。$P(r-1)$ により $t+1=r-1$ であり、$(G_i)_{i\le r-1}$ の組成因子の族は「$K$ の組成因子と $M/K$」に一致する。
• $L$ は長さ $t+1=r-1$ の組成列 $K_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_t\trianglelefteq L$ をもつ。$P(r-1)$ をこの組成列に使うと、$L$ の組成列 $(H_j)_{j\le s-1}$ は長さ $r-1$ で、その組成因子の族は「$K$ の組成因子と $L/K$」に一致する。とくに $s=r$ である。
  $M/K\cong G/L$、$L/K\cong G/M$ なので、$(G_i)$ の組成因子の族は「$K$ の組成因子、$G/L$、$G/M$」、$(H_j)$ の組成因子の族は「$K$ の組成因子、$G/M$、$G/L$」であり、一致する。これで $P(r)$ が示された。

2。 prop-jh-normal-quotient により、$N$ と $G/N$ の組成列で、組成因子を合わせた族が $G$ のある組成列の組成因子の族に一致するものがある。1 により、どの組成列をとっても組成因子の族は変わらない。
3。 正規列 $\{e\}=N_0\trianglelefteq N_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq N_k=G$ をとる。$N_k=G$ は組成列をもち、$N_j$ が組成列をもてば $N_{j-1}\trianglelefteq N_j$ なので 2 により $N_{j-1}$ も組成列をもつ。よってすべての $N_j$ が組成列をもち、2 により $N_j/N_{j-1}$ も組成列 $N_{j-1}/N_{j-1}=Q_0/N_{j-1}\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq Q_m/N_{j-1}=N_j/N_{j-1}$ をもつ。対応定理により $N_{j-1}=Q_0\trianglelefteq Q_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq Q_m=N_j$ は正規列で、第 3 同型定理により $Q_l/Q_{l-1}\cong(Q_l/N_{j-1})/(Q_{l-1}/N_{j-1})$ は単純群である。各 $j$ について $N_{j-1}$ と $N_j$ の間にこの $Q_l$ を挿入すると、もとの正規列の項をすべて含む組成列が得られる（$N_{j-1}=N_j$ の段では $m=0$ で、等しい項が除かれる）。$\square$

次の 3 点を確かめれば、lem-jh-intersection、prop-jh-normal-quotient、thm-jh-main の証明はそのまま通る。

• $\Omega$ 部分群の共通部分は $\Omega$ 部分群であり、$\Omega$ 部分群 $H$ と正規な $\Omega$ 部分群 $A$ の積 $HA$ も $\Omega$ 部分群である（$(ha)^\omega=h^\omega a^\omega$）。証明に現れる $N\cap B$、$X=(N\cap B)A$、$NA$、$NB$、$ML$、$M\cap L$ はすべてこの形である。
• $\Omega$ 準同型の核と像は $\Omega$ 部分群であり、第 1 同型定理の同型 $g\ker f\mapsto f(g)$ は $\Omega$ 準同型である。第 2・第 3 同型定理の同型は、包含写像と商写像から第 1 同型定理で得られ、どちらも $\Omega$ 準同型なので、やはり $\Omega$ 準同型による同型である。
• 正規な $\Omega$ 部分群 $A\trianglelefteq B$ について、対応定理の $X\mapsto X/A$ は、$A$ を含む $B$ の正規な $\Omega$ 部分群と、$B/A$ の正規な $\Omega$ 部分群を一対一に対応させる（$X^\omega\subset X$ と $(X/A)^\omega\subset X/A$ は同値）。したがって $B/A$ が $\Omega$ 単純なら、$A\subset X\subset B$ を満たす正規な $\Omega$ 部分群 $X$ は $A$ と $B$ だけである。
  証明で単純性を使うのは、この最後の形だけである。$\square$