Mumford–Tate群

型 $(p,q)$ ごとに指標 $\chi_{p,q}(z_1,z_2):=z_1^{-p}z_2^{-q}$ を考えると、$h_{\mathbb{C}}(z)$ は $T^{p,q}$ 上 $\chi_{p,q}(z)$ 倍である。$T$ に現れる型は有限個で、$z_0:=(2,3)$ について値 $\chi_{p,q}(z_0)=2^{-p}3^{-q}$ は素因数分解の一意性により型ごとに異なる。したがって $h_{\mathbb{C}}(z_0)$ は固有空間がちょうど $T^{p,q}$ たちである対角化可能な線型変換である。
部分 Hodge 構造ならば安定：$W_{\mathbb{C}}=\bigoplus(W_{\mathbb{C}}\cap T^{p,q})$ なら、任意の $\mathbb{C}$ 代数 $R$ と $z\in\mathbb{S}(R)=(R^\times)^2$ について $h(z)$ は各成分をスカラー倍するので $W_R$ を保つ。よって $h_{\mathbb{C}}$ は $\operatorname{Stab}(W)_{\mathbb{C}}$ を経由する。$\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ は忠実平坦なので、$h$ は閉部分スキーム $\operatorname{Stab}(W)_{\mathbb{R}}$ を経由する（経由することは、その定義イデアルの引き戻しが $0$ になることで、忠実平坦な拡大の後で確かめてよい）。最小性から $\mathrm{MT}(V)\subset\operatorname{Stab}(W)$ である。
安定ならば部分 Hodge 構造：$\mathrm{MT}(V)\subset\operatorname{Stab}(W)$ なら、$h$ は $\operatorname{Stab}(W)_{\mathbb{R}}$ を経由し、とくに $h_{\mathbb{C}}(z_0)$ は $W_{\mathbb{C}}$ を保つ。対角化可能な線型変換で安定な部分空間は、固有空間との共通部分の直和である（$w=\sum w_{p,q}$ の各成分 $w_{p,q}$ は、$h_{\mathbb{C}}(z_0)$ の Lagrange 補間多項式 $\prod_{(p',q')\ne(p,q)}\frac{h_{\mathbb{C}}(z_0)-\chi_{p',q'}(z_0)}{\chi_{p,q}(z_0)-\chi_{p',q'}(z_0)}$ を $w$ に施したものだから $W_{\mathbb{C}}$ に入る）。よって $W_{\mathbb{C}}=\bigoplus(W_{\mathbb{C}}\cap T^{p,q})$ である。$\square$

要点：1 は thm-mt-subhs の証明と同じ指標の議論、2 は 1 を $\operatorname{End}(V)=T^{1,1}$ に、3 は定理を 1 次元の部分空間に使う。

1. 単位元成分 $\mathrm{MT}(V)^\circ$ は $\mathbb{Q}$ 上の代数的部分群であり、その形成は係数拡大と可換である（Mil15 Proposition 1.14、p. 21）。$\mathbb{S}_{\mathbb{C}}\cong\mathbb{G}_m^2$ は連結なので $\mathbb{S}$ も連結であり、$h^{-1}\bigl((\mathrm{MT}(V)_{\mathbb{R}})^\circ\bigr)$ は単位元を含む $\mathbb{S}$ の開かつ閉な部分群だから $\mathbb{S}$ 全体である。よって $h$ は $(\mathrm{MT}(V)^\circ)_{\mathbb{R}}$ を経由し、最小性から $\mathrm{MT}(V)=\mathrm{MT}(V)^\circ$ である。
2. $Z\subset\mathrm{GL}(V)$ をスカラー行列の部分群とする。$\mathbb{G}_{m,\mathbb{R}}\subset\mathbb{S}$（$r\mapsto r$）に $h$ を制限すると $r\mapsto r^{-n}\,\mathrm{id}$ であり、$n\ne0$ ならこれは $\mathbb{G}_{m,\mathbb{R}}$ から $Z_{\mathbb{R}}$ への全射（核は $\mu_n$）である。その像は $(\mathrm{MT}(V)\cap Z)_{\mathbb{R}}$ に含まれるので、閉部分群 $(\mathrm{MT}(V)\cap Z)_{\mathbb{R}}$ は $Z_{\mathbb{R}}$ 全体であり、$\mathrm{MT}(V)\cap Z=Z$ である。$\square$

$\mathrm{MT}(V)$ が共通部分に含まれることは thm-mt-subhs による。逆を示す。Chevalley の定理（Mil15 Theorem 4.19、p. 77）により、$\mathrm{GL}(V)$ の有限次元表現 $U$ と 1 次元部分空間 $L\subset U$ で、すべての $\mathbb{Q}$ 代数 $R$ について $\mathrm{MT}(V)(R)=\{g\in\mathrm{GL}(V)(R)\mid g(L_R)=L_R\}$ となるものがある。$V$ は $\mathrm{GL}(V)$ の忠実な表現なので、$U$ は $\bigotimes^m(V\oplus V^\vee)$ の形の表現の直和 $T$ の部分表現 $U_2\subset U_1$ による商 $U_1/U_2$ に同型である（Mil15 Theorem 4.12、p. 73）。$\bigotimes^m(V\oplus V^\vee)$ は $V$ と $V^\vee$ を並べたテンソル積の直和で、各項は因子の並べ替えにより $T^{a,b}$ に同型である。並べ替えは $\mathrm{GL}(V)$ 同変で型を保つので、$T$ はテンソル空間とみなせる。
$L'\subset U_1$ を $L$ の逆像とする。$g\in\mathrm{GL}(V)(R)$ は $U_{1,R}$ と $U_{2,R}$ を保ち、$L'_R/U_{2,R}=L_R$（$\otimes R$ は完全）なので、$g(L'_R)=L'_R$ と $g(L_R)=L_R$ は同値である。よって $\operatorname{Stab}(L')=\mathrm{MT}(V)$ である。とくに $L'$ は $\mathrm{MT}(V)$ で安定なので、thm-mt-subhs により部分 Hodge 構造であり、共通部分は $\operatorname{Stab}(L')=\mathrm{MT}(V)$ に含まれる。$\square$

thm-mt-subhs を $T=V$ に使うと、$V$ の $\mathrm{MT}(V)$ 部分表現と部分 Hodge 構造は同じものである。したがって条件 2 は、$V$ が $\mathrm{MT}(V)$ の表現として半単純であることと同値である。
2 ならば 1：$\mathrm{MT}(V)$ は連結（prop-mt-connected）で、標数 $0$ なので滑らか（Mil15 Corollary 10.36、p. 160）、すなわち連結な群多様体である。$V$ はその忠実な半単純表現なので、冪単根基は自明である（Mil15 Corollary 22.19、p. 383）。$\mathbb{Q}$ は完全体なので、冪単根基が自明な連結群多様体は簡約である（Mil15 22.15 (a)、p. 383）。
1 ならば 2：標数 $0$ の体上の連結な簡約群の有限次元表現はすべて半単純である（DM22 Proposition 2.23、p. 26）。とくに $V$ は $\mathrm{MT}(V)$ の表現として半単純である。
偏極可能なとき、部分 Hodge 構造 $W$ の偏極に関する直交補空間 $W^\perp$ は部分 Hodge 構造で $V=W\oplus W^\perp$ となる（Hodge構造 の命題「偏極可能な Hodge 構造の圏は半単純」）ので、2 が成り立つ。$\square$

要点：1 は $D$ が $V^{1,0}$ への作用で $\mathbb{C}$ に埋め込まれること、2 は $\mathrm{MT}(V)$ が $D$ と可換なことと次元、3 は $\mathrm{MT}(V)$ の Lie 環が部分 Hodge 構造であることを使う。