重み付きSobolev空間

同義語：重み付きソボレフ空間weighted Sobolev space

概要

前提知識: Sobolev空間の基本事項, 1次元Sobolev空間, Hilbert空間, コンパクト作用素

重み付きSobolev空間（weighted Sobolev space）とは、関数とその弱微分の大きさを、重みの付いた積分で測る関数空間である。同じ実数直線の上でも、遠方の関数をどれだけ強く数えるかによって、空間の元や有界集合の振る舞いが変わる。
とくに重要なのは、重み付きの全測度が有限であることと、Sobolev空間から二乗可積分関数の空間への包含がコンパクトであることの違いである。重みが小さくなる遠方へ関数の山を動かすと、その高さを大きくしてノルムを保つことができる。全測度が有限でも、この逃避が防げるとは限らない。
この記事では、実数直線上の正の滑らかな重みに対する一階・二乗可積分の場合を扱う。重み $w(x)=(1+x^2)^{-1}$ では包含がコンパクトでなく、$w(x)=e^{-x^2}$ ではコンパクトになることを証明する。後者の理由は、重みを外した表示に $xv$ の二乗積分という遠方を抑える条件が現れることである。

定義と局所的な意味

記号と弱微分の規約

以下、関数は実数値または複素数値とし、内積は第一変数について線形とする。重み $w\colon\mathbb R\to(0,\infty)$ は $C^\infty$ 級とする。測度と空間を
$$ d\mu_w=w(x)\,dx,\qquad H_w=L^2(\mathbb R,\mu_w) $$
と書く。$\|u\|_w^2=\int_{\mathbb R}|u|^2w\,dx$、$(u,v)_w=\int_{\mathbb R}u\overline v w\,dx$ とする。
弱微分 $u'$ の意味は、重みなしの場合と同じである。すなわち、局所可積分な $u,g$ が
$$ \int_{\mathbb R}u\varphi'\,dx=-\int_{\mathbb R}g\varphi\,dx \qquad(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R)) $$
を満たすとき $u'=g$ とする。この式の積分には $w$ を掛けない。重みはノルムを変えるのであって、弱微分そのものの定義を変えるのではない。

一階の重み付きSobolev空間

$$ H^1_w(\mathbb R)=\{u\in H_w:\ u'\in H_w\} $$
と定め、
$$ \|u\|_{1,w}^2=\|u\|_w^2+\|u'\|_w^2,\qquad (u,v)_{1,w}=(u,v)_w+(u',v')_w $$
を入れる。ここで $u'$ は上の意味の弱微分である。一般の指数に対しては $W^{1,p}(\mathbb R,w\,dx)$ という記号も使われるが、この記事では $p=2$ に固定する。

正値性により、任意のコンパクト区間 $K$ 上で
$$ 0< m_K\le w(x)\le M_K<\infty\qquad(x\in K) $$
となる定数がある。したがって $H_w$ の元は局所二乗可積分であり、$H^1_w$ の元は各有界区間で通常の $H^1$ に属する。弱微分の定義に現れる積分も意味をもつ。逆に、局所的に $H^1$ に属し、関数と導関数の重み付き二乗積分が有限なら、$H^1_w$ の元である。
通常の弱微分・一階Sobolev空間の基礎は Bre11 §8.2（pp. 202–204）にある。重み付きの場合は、局所的な重みの上下界を使って、その定義と極限操作を結ぶ。

完備性

完備なHilbert空間になる

上の内積により $H^1_w(\mathbb R)$ はHilbert空間である。包含 $H^1_w\hookrightarrow H_w$ は連続かつ単射である。

重み付き $L^2$ は測度 $\mu_w$ に対するHilbert空間である。$(u_j)$ を $\|\cdot\|_{1,w}$ に関するCauchy列とすると、ある $u,g\in H_w$ が存在して
$$ u_j\longrightarrow u,\qquad u_j'\longrightarrow g\quad\text{in }H_w $$
となる。テスト関数 $\varphi$ の台を含むコンパクト区間 $K$ を固定する。$w\ge m_K>0$ だから、この二つの収束は $L^2(K,dx)$ での収束を含意する。Cauchy–Schwarzの不等式により
$$ \int u_j\varphi'\,dx\longrightarrow\int u\varphi'\,dx, \qquad \int u_j'\varphi\,dx\longrightarrow\int g\varphi\,dx. $$
各 $j$ の弱微分の等式に極限を通せば $u'=g$ である。よって $u\in H^1_w$ であり、$u_j\to u$ が $H^1_w$ で成り立つ。内積の正定値性と包含の連続性は $\|u\|_w\le\|u\|_{1,w}$ から従う。$\square$

ここで使った閉性は、関数と弱微分を組にする写像 $u\mapsto(u,u')$ の像が $H_w\times H_w$ で閉じていることである。無限遠に一様な下界 $w\ge c>0$ は要らず、各テスト関数の台での下界だけでよい。

切り取りと滑らかな近似

全直線を扱うとき、まず無限遠を切り取り、その後に平滑化する順序が便利である。重みは固定したコンパクト区間では通常のLebesgue測度と比較できるが、全直線では比較定数を一様に選べないことがあるからである。

コンパクトな台をもつ滑らかな関数の密度

$C_c^\infty(\mathbb R)$ は $H^1_w(\mathbb R)$ で稠密である。したがって、$C_c^\infty(\mathbb R)$ をノルム $\|\cdot\|_{1,w}$ で完備化しても、def-wsob-space と同じ空間を得る。

$\chi\in C_c^\infty(\mathbb R)$ を $0\le\chi\le1$、$[-1,1]$ 上で $1$、$[-2,2]$ の外で $0$ となるようにとり、$\chi_R(x)=\chi(x/R)$ とする。弱微分の積の公式により
$$ (\chi_Ru)'=\chi_Ru'+\chi_R'u. $$
積の公式は、弱微分の定義にテスト関数 $\chi_R\varphi$ を代入して得られる。
$u,u'\in H_w$ なので優収束定理から
$$ \|(1-\chi_R)u\|_w\to0,\qquad \|(1-\chi_R)u'\|_w\to0. $$
さらに $\|\chi_R'\|_\infty\le\|\chi'\|_\infty/R$ より
$$ \|\chi_R'u\|_w\le\frac{\|\chi'\|_\infty}{R}\|u\|_w\to0. $$
したがって $\chi_Ru\to u$ が $H^1_w$ で成り立つ。
次に $R$ を固定する。$\chi_Ru$ はコンパクトな台をもち、通常の $H^1(\mathbb R)$ に属する。滑らかな非負関数 $\eta$ で台が $[-1,1]$ に含まれ積分が $1$ となるものをとり、$\eta_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\eta(x/\varepsilon)$ とする。通常の平滑化の性質から
$$ \eta_\varepsilon*(\chi_Ru)\to\chi_Ru,\qquad \eta_\varepsilon*(\chi_Ru)'\to(\chi_Ru)' \quad\text{in }L^2(dx). $$
弱微分と畳み込みは交換する。これはテスト関数との積分にFubiniの定理を使えば得られる。$L^2$ での近似は平行移動の連続性から従う。$\varepsilon<1$ なら関数の台は固定区間 $[-2R-1,2R+1]$ に入るので、その区間上の $w$ の上界により同じ収束が重み付きノルムでも成り立つ。まず $R$、次に $\varepsilon$ を選べば所望の近似列が得られる。$\square$

平滑化と切り取りの基礎的な議論は Bre11 Theorem 8.7（pp. 211–212）にもある。ここでは重みを通して極限を取る部分を明示した。$H_w$ における $C_c^\infty$ の稠密性も、同じ切り取りと、固定コンパクト区間での通常の $L^2$ 近似から得られる。

定数関数と有限測度

定数関数 $1$ について $1'=0$ なので、
$$ 1\in H^1_w(\mathbb R)\quad\Longleftrightarrow\quad \int_{\mathbb R}w(x)\,dx<\infty. $$
右辺が成り立つとき、密度定理の切り取り $\chi_R$ は定数関数 $1$ に $H^1_w$ で近づく。重みのない $H^1(\mathbb R)$ には定数関数 $1$ は入らないので、同じ弱微分を使っていても、重みを変えると空間の元が変わる。

コンパクト性を決める尾の条件

各有界区間に制限すれば、$H^1_w$ の有界集合は通常の $H^1$ でも有界である。1次元Sobolev空間の定理「連続関数の空間へのコンパクトな埋め込み」を使うと、その制限は $L^2$ で相対コンパクトになる。問題は、この局所的な収束を全直線に広げられるかどうかにある。

局所コンパクト性と一様な尾の評価

$\mathcal B$ を $H^1_w(\mathbb R)$ の有界集合とする。$\mathcal B$ が $H_w$ で相対コンパクトであるための必要十分条件は
$$ \lim_{R\to\infty}\sup_{u\in\mathcal B} \int_{|x|>R}|u(x)|^2w(x)\,dx=0 $$
である。

十分性を示す。$\mathcal B$ の任意の列 $(u_j)$ をとる。区間 $(-m,m)$ ごとの局所コンパクト性を順に使い、対角部分列を選ぶと、各正整数 $m$ について $L^2((-m,m),dx)$ で収束する部分列が得られる。この列を再び $(u_j)$ と書く。$w$ は $[-m,m]$ 上で有界なので、そこで重み付き $L^2$ でもCauchy列になる。
$\varepsilon>0$ を固定する。尾の条件により、ある正整数 $m$ があって、すべての $u\in\mathcal B$ について尾の積分が $\varepsilon^2/16$ 未満となる。十分大きい $j,k$ に対して、区間内の差のノルムは $\varepsilon/2$ 未満である。区間外では三角不等式により
$$ \|(u_j-u_k)\mathbf1_{|x|>m}\|_w \le\|u_j\mathbf1_{|x|>m}\|_w+ \|u_k\mathbf1_{|x|>m}\|_w<\varepsilon/2. $$
全体でも $\|u_j-u_k\|_w<\varepsilon$ となる。$H_w$ の完備性から収束し、相対コンパクト性を得る。
必要性を示す。$\mathcal B$ が相対コンパクトなら、任意の $\varepsilon>0$ に対し、有限個の $f_1,\ldots,f_N\in H_w$ による半径 $\varepsilon/2$ の球で覆える。各 $f_i$ の二乗積分の尾は $0$ に近づくので、同じ $R$ を十分大きくとれば、すべての $i$ について $\|f_i\mathbf1_{|x|>R}\|_w<\varepsilon/2$ となる。任意の $u\in\mathcal B$ に近い $f_i$ を選べば
$$ \|u\mathbf1_{|x|>R}\|_w\le\|u-f_i\|_w+ \|f_i\mathbf1_{|x|>R}\|_w<\varepsilon. $$
これが一様な尾の条件である。$\square$

一つの関数 $u\in H_w$ の尾が小さくなることは、二乗可積分性そのものである。定理で要求しているのは、集合のすべての元について同じ $R$ が使えることである。この量化の違いが、全測度の有限性だけでは埋められない。

有限測度でもコンパクトにならない例

Cauchy型の重みでの非コンパクト性

$$ w_C(x)=\frac1{1+x^2} $$
とする。このとき $\mu_{w_C}(\mathbb R)=\pi$ は有限だが、包含
$$ H^1_{w_C}(\mathbb R)\hookrightarrow H_{w_C} $$
はコンパクトでない。

$0\ne\varphi\in C_c^\infty((-1,1))$ を固定し、$a_j=3j$、
$$ N_j^2=\int_{-1}^1|\varphi(t)|^2w_C(a_j+t)\,dt, \qquad u_j(x)=\frac{\varphi(x-a_j)}{N_j} $$
とおく。$N_j>0$ であり、$u_j\in C_c^\infty(\mathbb R)$、$\|u_j\|_{w_C}=1$ である。異なる $j$ の台は交わらないので、$(u_j)$ は $H_{w_C}$ の正規直交列である。
微分のノルムを調べる。$|t|\le1$ で
$$ \frac{w_C(a_j+t)}{w_C(a_j)} =\frac{1+a_j^2}{1+(a_j+t)^2}\longrightarrow1 $$
が一様に成り立つ。実際、分子と分母の差の絶対値は $2a_j+1$ 以下であり、分母は $1+(a_j-1)^2$ 以上だから、比と $1$ の差の上限は $0$ に近づく。したがって
$$ \|u_j'\|_{w_C}^2 =\frac{\int|\varphi'(t)|^2w_C(a_j+t)\,dt} {\int|\varphi(t)|^2w_C(a_j+t)\,dt} \longrightarrow \frac{\int|\varphi'|^2\,dt}{\int|\varphi|^2\,dt}. $$
分母の極限は正なので、$(u_j)$ は $H^1_{w_C}$ で有界である。
一方、$i\ne j$ なら $\|u_i-u_j\|_{w_C}^2=2$ であり、$H_{w_C}$ で収束する部分列はない。よって包含はコンパクトでない。$\square$

この列は、定数の高さの山をただ平行移動したものではない。遠方で重みが小さくなる分だけ $N_j$ も小さくなり、山の高さが増える。重み付きノルムを $1$ に保つように正規化して初めて、逃避する有界列ができる。微分のエネルギーが増えない理由は、幅 $2$ の区間の中で重みの比がほぼ一定になることにある。
また、任意の $R$ に対して十分大きい $j$ を選ぶと台全体が $|x|>R$ に入るため、
$$ \sup_j\int_{|x|>R}|u_j|^2w_C\,dx=1. $$
thm-wsob-tail の条件が、まさに失敗している。重みの全積分が有限であることは定数関数を許すが、この正規化された列を遠方から戻す条件にはならない。

Gaussian重みと調和振動子の形式

重み
$$ w_G(x)=e^{-x^2} $$
も全積分が有限である。しかし、その有界列は先ほどと異なる振る舞いをする。違いを見るため、重みを関数の方へ吸収する。

重みを外すユニタリ写像

$$ U\colon H_{w_G}\longrightarrow L^2(\mathbb R,dx), \qquad Uu=e^{-x^2/2}u $$
と定める。$\|Uu\|_2=\|u\|_{w_G}$ であり、逆写像は $U^{-1}v=e^{x^2/2}v$ なので、$U$ はユニタリ同型である。

Gaussian重み付き空間の正確な像

$$ Q=\{v\in H^1(\mathbb R):xv\in L^2(\mathbb R)\} $$
とおく。このとき $U(H^1_{w_G})=Q$ である。すべての $u\in H^1_{w_G}$ と $v=Uu$ に対して
$$ \|u'\|_{w_G}^2+2\|u\|_{w_G}^2 =\|v'\|_2^2+\|xv\|_2^2+\|v\|_2^2 $$
が成り立つ。

まず $u\in C_c^\infty(\mathbb R)$ とする。$v=Uu$ も同じクラスに属し、$e^{-x^2/2}u'=v'+xv$ だから
$$ \|u'\|_{w_G}^2=\|v'+xv\|_2^2. $$
交差項を部分積分すると
$$ 2\operatorname{Re}\int x v'\overline v\,dx =\int x(|v|^2)'\,dx=-\int|v|^2\,dx. $$
台がコンパクトなので境界項はない。これにより所望の等式が得られる。
この等式を一般の元へ移すには、両辺の空間の完備化を比較する必要がある。$Q$ に右辺の平方根のノルムを入れる。$Q$ のCauchy列 $(v_j)$ に対し、$v_j,v_j',xv_j$ はそれぞれ $L^2$ で極限 $v,g,h$ をもつ。弱微分の閉性から $v'=g$。各有界区間での $L^2$ 収束から $h=xv$ となり、$Q$ は完備である。
さらに $C_c^\infty$ は $Q$ で稠密である。切り取り $\chi_Rv$ について、$v,v',xv$ の尾と $\chi_R'v$ の評価を使えば $\chi_Rv\to v$ が $Q$ で成り立つ。固定 $R$ で平滑化すれば、$H^1$ ノルムで近似でき、共通のコンパクトな台の上では $|x|$ も有界なので $xv$ の $L^2$ ノルムでも近似できる。
一方、左辺の平方根は $H^1_{w_G}$ のノルムと同値であり、thm-wsob-density によりその空間は $C_c^\infty$ の完備化である。$U$ は $C_c^\infty$ をそれ自身へ全単射に写し、そこで上のノルムを保存する。よって完備化の間の全射等長写像へ延長される。この延長は $L^2$ で既に定めた $U$ と一致するから、像はちょうど $Q$ であり、等式もすべての元に成り立つ。$\square$

この定理は、形式的な微分の計算だけではない。$u$ の許される成長、$u'$ の積分条件、変換後のモーメント $xv$ の条件を含めて、空間全体を同定している。
$$ \xymatrix{ H^1_{w_G}(\mathbb R)\ar[r]^{U}\ar[d]_{j_w}&Q\ar[d]^{j_Q}\\ H_{w_G}\ar[r]_{U}&L^2(\mathbb R) } $$
この図式は $Uj_w=j_QU$、つまり「先に包含してから重みを外しても、先に変換してから包含しても同じ関数になる」ことを表す。

Gaussian重みでのコンパクト埋め込み

包含 $H^1_{w_G}(\mathbb R)\hookrightarrow H_{w_G}$ はコンパクトである。

前の定理により、$Q\hookrightarrow L^2(\mathbb R)$ のコンパクト性を示せばよい。$Q$ の有界集合 $\mathcal F$ では $\|v'\|_2$ と $\|xv\|_2$ が一様に有界である。前者と $\|v\|_2$ の評価により各有界区間で局所コンパクト性がある。後者から
$$ \int_{|x|>R}|v(x)|^2\,dx \le\frac1{R^2}\int_{|x|>R}|xv(x)|^2\,dx \le\frac{C}{R^2} $$
が $v\in\mathcal F$ に一様に成り立つ。thm-wsob-tail の $w=1$ の場合を使えば、$\mathcal F$ は $L^2$ で相対コンパクトである。図式の上下のユニタリ同型を通して結論が従う。$\square$

重み付きの微分方程式への応用

重みを変えると、関数空間だけでなく、微分のエネルギーから決まる作用素も変わる。非負の形式を
$$ q_w(u,v)=\int_{\mathbb R}u'\overline{v'}w\,dx \qquad(u,v\in H^1_w) $$
とする。各 $f\in H_w$ について、方程式
$$ q_w(u,v)+(u,v)_w=(f,v)_w\qquad(v\in H^1_w) $$
の唯一の解を $u=R_wf$ と書く。この解が存在するのは、左辺がHilbert空間 $H^1_w$ の内積であり、右辺が $v$ について連続な反線形汎関数だからである。Hilbert空間のRieszの表現定理を使う。$v=u$ とすれば
$$ \|u\|_{1,w}^2=(f,u)_w\le\|f\|_w\|u\|_w \le\|f\|_w\|u\|_{1,w}, $$
したがって $\|R_wf\|_{1,w}\le\|f\|_w$ となる。

同じ弱解作用素のコンパクト性

Gaussian重みの場合、$R_{w_G}\colon H_{w_G}\to H_{w_G}$ はコンパクトである。一方、Cauchy型重みの場合、$R_{w_C}$ はコンパクトでない。

Gaussianの場合、上の評価は $f\mapsto R_wf$ が $H_w$ から $H^1_w$ への有界写像であることを示す。これに thm-wsob-gauss-compact のコンパクトな包含を合成すればよい。
Cauchy型の場合、thm-wsob-cauchy の正規直交列 $(u_j)$ を使う。$b(u,v)=(u,v)_{1,w}$ と書くと、$b(u_j,u_j)\le C$ である。弱解の式と $b$ の対称性から、任意の $f,g\in H_w$ に対して
$$ (R_wf,g)_w=b(R_wf,R_wg)=(f,R_wg)_w $$
となり、$R_w$ は $H_w$ 上の有界な自己共役作用素である。
正規直交列は弱く $0$ に収束する。もし $R_w$ がコンパクトなら、ある部分列の像が強く収束する。その極限は、上の対称性により任意の $g$ との内積が $\lim_j(u_j,R_wg)_w=0$ となるので $0$ である。その部分列上で
$$ b(R_wu_j,R_wu_j)=(u_j,R_wu_j)_w\longrightarrow0. $$
ところが弱解の式で $v=u_j$ としてCauchy–Schwarzの不等式を使うと
$$ 1=b(R_wu_j,u_j) \le b(R_wu_j,R_wu_j)^{1/2}\,b(u_j,u_j)^{1/2}\longrightarrow0 $$
となり矛盾する。$\square$

この作用素と微分式の関係も、作用域を指定して述べられる。$A_wu=g$ を
$$ u\in H^1_w,\quad g\in H_w,\quad q_w(u,v)=(g,v)_w\quad(v\in H^1_w) $$
によって定める。$H^1_w$ は $H_w$ で稠密なので $g$ は一意である。コンパクトな台のテスト関数に対する部分積分から、その微分式は
$$ A_wu=-\frac1w(wu')' $$
である。逆に、$u\in H^1_w$ でこの分布が $H_w$ の元 $g$ なら、コンパクトな台の滑らかなテスト関数で上の等式が成立し、密度と連続性により全 $v\in H^1_w$ へ延びる。これが作用域の正確な条件である。
定義から $R_w=(A_w+1)^{-1}$ である。実際、弱解は $(A_w+1)R_wf=f$ を満たし、$u\in D(A_w)$ については弱解の一意性から $R_w(A_w+1)u=u$ となる。重みのない $H^2(\mathbb R)$ を、無条件に $D(A_w)$ とすることはできない。
Gaussian重みでは、先ほどの変換によって
$$ UA_{w_G}U^{-1}v=-v''+(x^2-1)v $$
という微分式を得る。これは調和振動子の式から定数 $1$ を引いたものである。その作用域は、$v\in Q$ で右辺の分布が $L^2$ に属するもの全体である。この同定は、コンパクトな台での部分積分の後、$Q$ における密度を使って得られる。形式の作用域 $Q$ と、二階作用素の作用域は区別しなければならない。
両方の重みで、$A_w$ の核は定数関数全体で一次元である。$A_wu=0$ なら $q_w(u,u)=0$ だから $u'=0$。局所的な一次元Sobolev関数の基本定理から $u$ は定数である。逆に、定数は有限測度により $H^1_w$ に属し、形式の等式を $g=0$ で満たす。したがって、核の次元が同じであることからレゾルベントのコンパクト性を決めることもできない。

何を比較しているか

重み $w$	全測度	$H^1_w\hookrightarrow H_w$	決め手
$1$	無限	非コンパクト	固定した山の平行移動
$(1+x^2)^{-1}$	$\pi$	非コンパクト	高さを正規化した遠方の山
$e^{-x^2}$	$\sqrt\pi$	コンパクト	変換後の $\\|xv\\|_2$ が尾を一様に制御

重み $1$ の反例は Rellichの定理の例「反例：全空間では平行移動で逃げる」にある。三つの空間は局所的には同じ一次元の弱微分を扱っているが、無限遠の評価は異なる。

取り違える条件	反例・注意	成り立たない結論
全測度の有限性を一様な尾の評価と同一視する	$w_C$ と正規直交列 $u_j$	包含のコンパクト性
各関数の尾が小さいことを有界集合全体の条件にする	各 $u_j$ はコンパクトな台をもつ	同じ $R$ による一様評価
形式的な微分式だけを比較する	Gaussian変換の像は $Q$	通常の $H^1$ や $H^2$ との無条件の一致
有限次元核からコンパクト性を逆推論する	$w_C$ でも $\ker A_w$ は一次元	レゾルベントのコンパクト性