二元二次形式

2 ⇒ 1． $g:=(n,b',c')$ は $g(1,0)=n$ で、$\gcd(1,0)=1$ なので $n$ を固有に表す。定義の後の段落で見たとおり、固有同値な形式は同じ整数を固有に表すので、$f$ も $n$ を固有に表す。
1 ⇒ 2． $f(p,r)=n$、$\gcd(p,r)=1$ とする。Bézoutの等式 により $ps-rq=1$ となる整数 $q,s$ がある（$\gcd(p,r)=1$ から $pu+rv=1$ となる $u,v$ をとり、$s=u$、$q=-v$ とおく）。$\gamma:=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に入り、$f^\gamma$ の $x^2$ の係数は $f^\gamma(1,0)=f(p,r)=n$ である。よって $f^\gamma=(n,b',c')$ の形で、$f\sim f^\gamma$ である。$\square$

⇒． 判別式 $D$ の形式 $f$ が $n$ を固有に表すとすると、thm-bqf-proper-rep により $f\sim(n,b',c')$ である。固有同値な形式の判別式は等しいので $D=b'^2-4nc'$ であり、$b'^2\equiv D\pmod{4\lvert n\rvert}$ である。
⇐． $b^2\equiv D\pmod{4\lvert n\rvert}$ なら $c:=(b^2-D)/(4n)$ は整数で、$(n,b,c)$ は判別式 $b^2-4nc=D$ の形式であり、$(1,0)$ で $n$ を固有に表す。
後半． $D < 0$、$n>0$ なら $(n,b,c)$ は $x^2$ の係数が正で判別式が負なので正定値である。$n=p$ が素数で $p\nmid D$ とし、判別式 $D$ の形式 $f$ が $p$ を固有に表すとする。thm-bqf-proper-rep により $f\sim(p,b',c')$ で、$b'^2-4pc'=D$ である。$\gcd(p,b',c')$ は $p$ を割るので $1$ か $p$ である。$p$ なら $p\mid b'$、$p\mid c'$ から $p^2\mid b'^2-4pc'=D$ となり、$p\nmid D$ に反する。よって $(p,b',c')$ は原始的で、原始的であることは固有同値で保たれるので $f$ も原始的である。$\square$

2 種類の置き換えを使う。整数 $t$ について $T_t:=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$、また $S:=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ とおくと、どちらも $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に入り、$f=(a,b,c)$ について
$$ f^{T_t}=f(x+ty,\ y)=(a,\ b+2at,\ at^2+bt+c),\qquad f^S=f(-y,\ x)=(c,\ -b,\ a) $$
である。正定値性は固有同値で保たれるので、途中に現れる形式はどれも正定値で、$x^2$ の係数は正の整数である。
段 1（$b$ を $-a < b\le a$ に入れる）． 長さ $2a$ の区間 $(-a,a]$ には $b$ と法 $2a$ で合同な整数がちょうど 1 つあるので、整数 $t$ をとって $T_t$ で置き換えると、$a$ を変えずに $-a < b\le a$ にできる。
段 2（$a$ を減らす）． 段 1 のあと $a>c$ なら $S$ で置き換えて $(c,-b,a)$ にする。$x^2$ の係数は $a$ から $c$ へ真に減る。段 1 に戻る。
$x^2$ の係数は正の整数で、段 2 を行うたびに真に減るので、段 2 は有限回で終わる。終わったとき $-a < b\le a$ かつ $a\le c$ である。最後に $a=c$ かつ $b < 0$ なら $S$ で $(c,-b,a)=(a,-b,a)$ にすると $0 < -b < a$ となる。こうして得た形式は簡約形式である。$\square$

要点：$\lvert x\rvert\ge\lvert y\rvert$ なら交差項を $\lvert b\rvert x^2$ で押さえ、$f\ge(a-\lvert b\rvert)x^2+cy^2$ を使う。

$f=(a,b,c)$、$f'=(a',b',c')$ を簡約形式とし、$f'=f^\gamma$、$\gamma=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ とする。2 つは同じ判別式 $D$ をもつ。
段 1（$a=a'$）． $\gamma$ は $(0,0)$ 以外の整数の組全体を自身に全単射で写すので、$f$ と $f'$ が $(0,0)$ 以外の整数の組でとる値の全体は等しく、最小値も等しい。lem-bqf-minimum により最小値は $a$ と $a'$ なので、$a=a'$ である。
段 2（$a < c$ の場合）． $f'(1,0)=f(p,r)$ であり、左辺は $a'=a$ である。lem-bqf-minimum により $(p,r)=\pm(1,0)$ である。$ps-qr=1$ から、$(p,r)=(1,0)$ なら $s=1$、$(p,r)=(-1,0)$ なら $s=-1$ である。前者では $f'=f(x+qy,y)$、後者では $f'=f(-x+qy,-y)=f(x-qy,y)$（$f(-v)=f(v)$ を使った）なので、どちらの場合もある整数 $t$ について $f'=f^{T_t}$、すなわち $b'=b+2at$ である。$b$ と $b'$ はどちらも長さ $2a$ の区間 $(-a,a]$ に入り、法 $2a$ で合同なので、$b'=b$ である。$c'=(b'^2-D)/(4a')=(b^2-D)/(4a)=c$ なので $f'=f$ である。
段 3（$a=c$ の場合）． $a' < c'$ なら、$f=f'^{\gamma^{-1}}$ に段 2 を $f'$ の側から当てはめて $f=f'$ を得る。$a'=c'$ なら $c'=a'=a=c$ であり、$b^2=D+4ac=D+4a'c'=b'^2$ から $\lvert b\rvert=\lvert b'\rvert$ である。簡約形式の条件により、$a=c$ から $b\ge0$、$a'=c'$ から $b'\ge0$ なので $b=b'$ であり、$f=f'$ である。
後半は thm-bqf-reduction-existence と合わせて得られる。$\square$

$\lvert b\rvert\le a\le c$ から $\lvert D\rvert=4ac-b^2\ge4a^2-a^2=3a^2$ なので $a\le\sqrt{\lvert D\rvert/3}$ である。各 $a$ について $b$ は $(-a,a]$ の整数で、$c=(b^2-D)/(4a)$ は $a,b$ で決まるので、組は有限個である。原始的で正定値な形式の各固有同値類は、thm-bqf-reduction-existence と thm-bqf-reduction-unique によりただ 1 つの簡約形式を含み、その簡約形式も原始的である（原始的であることは固有同値で保たれる）。逆に原始的な簡約形式はそれぞれ 1 つの類を定める。よって $h(D)$ は原始的な簡約形式の個数に等しい。$\square$

⇒． $f_0(x,y)=p$ とすると、$d=\gcd(x,y)$ について $d^2$ が $p$ を割るので $d=1$ であり、$f_0$ は $p$ を固有に表す。thm-bqf-rep-criterion により $b^2\equiv D\pmod{4p}$ となる $b$ があり、とくに $b^2\equiv D\pmod p$ である。$p\nmid D$ なので $\left(\frac Dp\right)=1$ である。
⇐． $t^2\equiv D\pmod p$ となる整数 $t$ をとる。$t$ を $t+p$ に替えても法 $p$ では変わらず、$p$ が奇数なので偶奇が入れ替わる。そこで $t\equiv D\pmod2$ にとれる。$D\equiv0,1\pmod4$ なので、$t$ が偶数なら $D$ も偶数で $D\equiv0\equiv t^2\pmod4$、$t$ が奇数なら $D\equiv1\equiv t^2\pmod4$ である。$4$ と $p$ は互いに素なので $t^2\equiv D\pmod{4p}$ である。thm-bqf-rep-criterion により、判別式 $D$ の原始的で正定値な形式 $(p,t,c)$ が $p$ を表す。$h(D)=1$ なので、この形式は簡約形式 $f_0$ と固有同値であり（cor-bqf-finite）、固有同値な形式は同じ整数を表すので、$f_0$ も $p$ を表す。$\square$