Pfister形式

同義語：Pfister form

概要

前提知識: 2次形式, 四元数環

$x^2+y^2$ の形の数どうしの積はまた $x^2+y^2$ の形になり、4 つの平方の和、8 つの平方の和についても同じ形の恒等式がある。Pfister形式（Pfister form）は、この「値の集合が積で閉じている」という性質を、平方の和に限らず一般の体の上で $2^n$ 次元の 2 次形式の族として捉えたものである。$\langle1,-a\rangle$ の形の 2 元形式のテンソル積として定義され、四元数環のノルム形式はその 2 重の場合にあたる。
この記事では、主定理として、Pfister形式の 0 でない値の全体が乗法群をなし、しかも値 $c$ ごとに $c$ 倍しても同型であることを証明する。そこから、Pfister形式は零点をもてば双曲形式であること、$2^n$ 個の平方の和の積は $2^n$ 個の平方の和であること、体の「レベル」が $2$ の冪であること（Pfister の定理）を導く。最後に Witt 環のイデアルの冪との関係を述べる。
以下この記事を通して、$K$ は標数が $2$ でない体とする。

定義

2 次形式の言葉

$K$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ 上の 2 次形式 $\varphi$ は、対称な双線形形式 $b_\varphi$ により $\varphi(v)=b_\varphi(v,v)$ と書ける（2次形式の記事の定義「数ベクトル空間上の2次形式」の後の説明）。$b_\varphi$ が非退化のとき $\varphi$ を非退化という。以下、2 次形式はすべて非退化とする。

2 次形式 $(V,\varphi)$ と $(V',\varphi')$ が同型（isometric）$\varphi\cong\varphi'$ であるとは、線形同型 $T\colon V\to V'$ で $\varphi'(Tv)=\varphi(v)$ となるものがあることをいう。
$a_1,\dots,a_n\in K^\times$ について、$K^n$ 上の $a_1x_1^2+\dots+a_nx_n^2$ を $\langle a_1,\dots,a_n\rangle$ と書く。2次形式の記事の定理「平方完成による対角化」により、どの 2 次形式もある $\langle a_1,\dots,a_n\rangle$ に同型である。
直交和 $\varphi\perp\psi$ は $V\oplus W$ 上の $(v,w)\mapsto\varphi(v)+\psi(w)$、テンソル積 $\varphi\otimes\psi$ は $V\otimes W$ 上の双線形形式 $b(v\otimes w,v'\otimes w')=b_\varphi(v,v')\,b_\psi(w,w')$ の定める 2 次形式である。$\langle a_1,\dots,a_m\rangle\otimes\langle b_1,\dots,b_n\rangle$ は $mn$ 個の積 $a_ib_j$ を並べた $\langle a_ib_j\rangle$ に同型であり、$\cong$ は $\perp$ と $\otimes$ と両立する。$c\in K^\times$ について $c\varphi=\langle c\rangle\otimes\varphi$ と書く。$c$ が平方数 $t^2$ なら $v\mapsto tv$ により $c\varphi\cong\varphi$ である。
$\varphi$ が等方的（isotropic）であるとは、$\varphi(v)=0$ となる $v\ne0$ があることをいい、そうでないとき非等方的という。$\mathbb{H}=\langle1,-1\rangle$ を双曲平面といい、$\mathbb{H}$ の直交和 $m\mathbb{H}=\mathbb{H}\perp\dots\perp\mathbb{H}$ に同型な形式を双曲形式（hyperbolic form）という。

値の集合と相似因子

2 次形式 $\varphi$ について
$$ D(\varphi)=\{\varphi(v)\mid v\in V\}\cap K^\times,\qquad G(\varphi)=\{c\in K^\times\mid c\varphi\cong\varphi\} $$
とおく。$D(\varphi)$ を $\varphi$ の（0 でない）値の集合、$G(\varphi)$ を相似因子の群という。$G(\varphi)$ は $K^\times$ の部分群で、平方数をすべて含む。$D(\varphi)=G(\varphi)$ となるとき、$\varphi$ は round であるという。

$G(\varphi)$ が群であることは、$c\varphi\cong\varphi$、$d\varphi\cong\varphi$ から $cd\varphi\cong c\varphi\cong\varphi$、$c^{-1}\varphi\cong c^{-1}c\varphi=\varphi$ となることによる。$1\in D(\varphi)$ なら $G(\varphi)\subset D(\varphi)$ である。実際 $\varphi(v)=1$ とし、$c\in G(\varphi)$、$T\colon c\varphi\cong\varphi$ とすると $\varphi(Tv)=c\varphi(v)=c$ である。

Pfister形式

$a\in K^\times$ について 2 元形式 $\langle\!\langle a\rangle\!\rangle=\langle1,-a\rangle$ を 1 重 Pfister 形式とよび、$a_1,\dots,a_n\in K^\times$ について
$$ \langle\!\langle a_1,\dots,a_n\rangle\!\rangle=\langle\!\langle a_1\rangle\!\rangle\otimes\dots\otimes\langle\!\langle a_n\rangle\!\rangle=\langle1,-a_1\rangle\otimes\dots\otimes\langle1,-a_n\rangle $$
に同型な $2^n$ 次元の 2 次形式を $n$ 重 Pfister 形式（$n$-fold Pfister form）という。$\langle1\rangle$ を 0 重 Pfister 形式とする。これらを総称してPfister形式という。

記号の流儀

この記事は EKM08 の流儀 $\langle\!\langle a\rangle\!\rangle=\langle1,-a\rangle$ に従い、四元数環の記事の記号と一致させる。$\langle\!\langle a\rangle\!\rangle=\langle1,a\rangle$ と符号を逆にして定める文献もあり、その場合は記号の中の $a_i$ を $-a_i$ に読み替える。定義から、$\langle\!\langle a_1,\dots,a_n\rangle\!\rangle$ は $\langle1\rangle$ を直交和の成分にもち、成分の順序を入れ替えても同型である。また $\psi=\langle\!\langle a_1,\dots,a_{n-1}\rangle\!\rangle$ とおくと $\langle\!\langle a_1,\dots,a_n\rangle\!\rangle\cong\psi\perp(-a_n)\psi$ である。

例

低い次数の Pfister 形式

1 重。 $\langle\!\langle a\rangle\!\rangle=x^2-ay^2$ は、$a$ が平方数でなければ 2 次拡大 $K(\sqrt a)$ のノルム $N(x+y\sqrt a)=x^2-ay^2$ である。$\langle\!\langle -1\rangle\!\rangle=x^2+y^2$、$\langle\!\langle 1\rangle\!\rangle=\mathbb{H}$。
2 重。 $\langle\!\langle a,b\rangle\!\rangle=\langle1,-a,-b,ab\rangle$ は四元数環 $(a,b)_K$ のノルム形式（四元数環の記事の定義「共役・被約トレース・被約ノルム」）である。
平方の和。 $\langle\!\langle-1,\dots,-1\rangle\!\rangle$（$-1$ が $n$ 個）は $\langle1,1\rangle^{\otimes n}\cong2^n\langle1\rangle=x_1^2+\dots+x_{2^n}^2$ である。

1 重 Pfister 形式は round

$\varphi=\langle\!\langle a\rangle\!\rangle$ と $c=x^2-ay^2\ne0$ をとる。線形写像 $T(u,w)=(xu+ayw,\ yu+xw)$ について
$$ (xu+ayw)^2-a(yu+xw)^2=(x^2-ay^2)(u^2-aw^2) $$
が展開で確かめられ、$\det T=x^2-ay^2=c\ne0$ なので $T$ は $c\varphi\cong\varphi$ を与える。よって $D(\varphi)\subset G(\varphi)$ であり、$1\in D(\varphi)$ から逆の包含も成り立つ。とくに双曲平面 $\mathbb{H}=\langle\!\langle1\rangle\!\rangle$ は round で、$D(\mathbb{H})=K^\times$ なので（$c=\bigl(\tfrac{c+1}2\bigr)^2-\bigl(\tfrac{c-1}2\bigr)^2$）、すべての $c\in K^\times$ について $c\mathbb{H}\cong\mathbb{H}$、すなわち $\langle c,-c\rangle\cong\mathbb{H}$ である。

最後の同型から、どの $\psi=\langle b_1,\dots,b_m\rangle$ についても $\psi\perp(-\psi)\cong\perp_i\langle b_i,-b_i\rangle\cong m\mathbb{H}$ は双曲形式である。

主定理：Pfister 形式は round

round な形式の倍化

$\psi$ を値 $1$ をとる round な 2 次形式、$a\in K^\times$ とし、$\varphi=\psi\otimes\langle\!\langle a\rangle\!\rangle\cong\psi\perp(-a)\psi$ とおく。

$\varphi$ も round である。
$\psi$ が非等方的で $\varphi$ が等方的なら、$a\in D(\psi)$ である。

値を $x-ay$ と分けて場合分けする

1：$\psi(u)=1$ なら $\varphi(u,0)=1$ なので $\varphi$ も値 $1$ をとり、$G(\varphi)\subset D(\varphi)$ である（def-pf-values の後の注意）。逆を示す。$\psi$ は round なので $D(\psi)=G(\psi)$ は群である。まず $G(\psi)\subset G(\varphi)$ に注意する：$c\psi\cong\psi$ なら $c\varphi\cong c\psi\perp(-a)c\psi\cong\psi\perp(-a)\psi=\varphi$ である。
$c\in D(\varphi)$ とすると、$c=x-ay$ と書ける。ここで $x=\psi(u)$、$y=\psi(w)$ はそれぞれ $D(\psi)\cup\{0\}$ の元である。

$y=0$ のとき：$c=x\in D(\psi)=G(\psi)\subset G(\varphi)$。
$x=0$ のとき：$c=-ay$ で $y\in G(\psi)$ なので、$y\psi\cong\psi$ と $a^2y\psi\cong y\psi\cong\psi$（$a^2$ は平方数）から
$$ c\varphi=(-ay)\psi\perp a^2y\psi\cong(-a)\psi\perp\psi\cong\varphi . $$
$x\ne0$、$y\ne0$ のとき：$z=y/x$ は群 $D(\psi)=G(\psi)$ の元なので $z\psi\cong\psi$ であり、
$$ \varphi\cong\psi\perp(-a)\psi\cong\psi\perp(-az)\psi\cong\psi\otimes\langle\!\langle az\rangle\!\rangle $$
である。$c=x(1-az)\ne0$ より $e:=1-az\ne0$ で、$e=1^2-(az)\cdot1^2$ は $\langle\!\langle az\rangle\!\rangle$ の値なので、ex-pf-one-fold により $e\langle\!\langle az\rangle\!\rangle\cong\langle\!\langle az\rangle\!\rangle$、したがって $e\varphi\cong\psi\otimes e\langle\!\langle az\rangle\!\rangle\cong\varphi$ である。また $x\in G(\psi)\subset G(\varphi)$ なので、$c=xe\in G(\varphi)$ である。
どの場合も $c\in G(\varphi)$ なので $D(\varphi)\subset G(\varphi)$ である。
2：$\varphi(u,w)=\psi(u)-a\psi(w)=0$ となる $(u,w)\ne(0,0)$ をとる。$w=0$ なら $\psi(u)=0$ で $u\ne0$ となり、$\psi$ の非等方性に反する。よって $w\ne0$ で $\psi(w)\ne0$、すると $\psi(u)=a\psi(w)\ne0$ である。$D(\psi)$ は群なので $a=\psi(u)\psi(w)^{-1}\in D(\psi)$ である。$\square$

Pfister 形式は round

$\varphi$ を Pfister 形式とする。このとき $D(\varphi)=G(\varphi)$ である。とくに、$\varphi$ の 0 でない値の全体 $D(\varphi)$ は $K^\times$ の部分群であり、$c\in D(\varphi)$ ならば $c\varphi\cong\varphi$ である。

重数についての帰納法

重数 $n$ についての帰納法による。$n=0$ のとき $\varphi=\langle1\rangle$ で、$D(\langle1\rangle)$ と $G(\langle1\rangle)$ はどちらも $0$ でない平方数の全体である（$\langle c\rangle\cong\langle1\rangle$ は $c=t^2$ を意味する）。$n\ge1$ なら $\varphi\cong\psi\otimes\langle\!\langle a_n\rangle\!\rangle$（$\psi$ は $n-1$ 重 Pfister 形式）であり、帰納法の仮定から $\psi$ は round で値 $1$ をとるので、lem-pf-doubling の 1 により $\varphi$ は round である。$\square$

この定理は Pfister による（EKM08 Proposition 6.1・Corollary 6.2, p. 32 に、任意の標数の双線形形式について同じ筋の証明がある）。証明は、1 重の場合の「ノルムの乗法性」（ex-pf-one-fold）を、テンソル積で重ねるたびに受け継がせるものである。

帰結

等方的な Pfister 形式は双曲形式

Pfister 形式 $\varphi$ は、非等方的であるか、双曲形式であるかのどちらかである。

$\varphi$ が等方的なら双曲形式であることを、重数 $n$ の帰納法で示す。$n=0$ の $\langle1\rangle$ は非等方的である。$n\ge1$ とし、$\varphi\cong\psi\perp(-a)\psi$（$\psi$ は $n-1$ 重）とする。$\psi$ が等方的なら、帰納法の仮定により $\psi\cong m\mathbb{H}$ で、$(-a)\mathbb{H}\cong\mathbb{H}$（ex-pf-one-fold）なので $\varphi\cong2m\mathbb{H}$ である。$\psi$ が非等方的なら、lem-pf-doubling の 2 と thm-pf-round により $a\in D(\psi)=G(\psi)$、すなわち $a\psi\cong\psi$ であり、$\varphi\cong\psi\perp(-\psi)$ は双曲形式である（ex-pf-one-fold の後の注意）。$\square$

2 重の場合、四元数環の記事の定理「分裂の判定」（四元数環 $(a,b)_K$ が $M_2(K)$ に同型であることは、ノルム形式 $\langle\!\langle a,b\rangle\!\rangle$ が等方的であることと同値）と合わせると、$(a,b)_K$ が分裂することと $\langle\!\langle a,b\rangle\!\rangle\cong2\mathbb{H}$ であることが同値になる。

平方和の積

$n\ge0$ とする。$K$ の元で $2^n$ 個の平方の和として書けるものどうしの積は、また $2^n$ 個の平方の和として書ける。

$2^n$ 個の平方の和として書ける $0$ でない元の全体は、$2^n\langle1\rangle\cong\langle\!\langle-1,\dots,-1\rangle\!\rangle$（ex-pf-low の 3）の値の集合 $D$ であり、thm-pf-round により群である。一方の因子が $0$ なら積は $0=0^2+\dots+0^2$ である。$\square$

$n=1,2,3$ では、2 次拡大・四元数・八元数（Cayley 数）のノルムの乗法性から、積の平方和の各項を因子の成分の双線形式で書く恒等式（Brahmagupta–Fibonacci、Euler の 4 平方、Degen–Graves の 8 平方の恒等式）が得られる（EKM08 Corollary 6.7 の前の注意, p. 33）。cor-pf-squares はすべての $n$ について成り立つが、証明は、相似を与える線形写像を帰納的に組み立てるもので、その写像は一方の因子の成分に依存する（ex-pf-one-fold の $T$ のように）。

レベルは 2 の冪

体のレベル

体 $K$ のレベル（level、Stufe）$s(K)$ とは、$-1$ が $K$ の $n$ 個の平方の和として書けるような最小の正の整数 $n$ をいう。そのような $n$ がなければ $s(K)=\infty$ とする。

Pfister のレベル定理

$s(K)$ が有限なら、$s(K)$ は $2$ の冪である。

平方和の群で割る

$s=s(K)$ とし、$2^k\le s<2^{k+1}$ となる $k\ge0$ をとる。$-1=a_1^2+\dots+a_s^2$ と書き、
$$ x=a_1^2+\dots+a_{2^k}^2,\qquad y=1+a_{2^k+1}^2+\dots+a_s^2 $$
とおく。$x+y=0$ である。$y$ は $1+(s-2^k)\le2^k$ 個の平方の和であり、$x$ は $2^k$ 個の平方の和である（足りない項は $0^2$ で補う）。$y=0$ なら $-1=a_{2^k+1}^2+\dots+a_s^2$ が $s-2^k< s$ 個の平方の和となって $s$ の最小性に反するので、$y\ne0$ である。cor-pf-squares により $xy$ は $2^k$ 個の平方の和であり、
$$ -1=\frac xy=\frac{xy}{y^2}=\sum_{i=1}^{2^k}\Bigl(\frac{z_i}{y}\Bigr)^2\qquad(xy=z_1^2+\dots+z_{2^k}^2) $$
となる。よって $s\le2^k$ であり、$s=2^k$ である。$\square$

この定理は Pfister による（EKM08 Corollary 6.8, p. 33）。逆に、どの $2^k$ もある体のレベルとして現れる（EKM08 Lemma 31.3, p. 122 と Corollary 6.8 の後の注意）。

レベルの計算

代数閉体、たとえば $\mathbb{C}$ では $-1=i^2$ なので $s=1$。
$\mathbb{R}$ と、その部分体（$\mathbb{Q}$ など）では平方の和が $0$ 以上なので $s=\infty$。
$p$ を奇素数とする。$\mathbb{F}_p$ では $\{a^2\}$ と $\{-1-b^2\}$ がどちらも $(p+1)/2$ 個の元をもつので交わり、$-1=a^2+b^2$ となる。$-1$ が平方数であることは、位数 $p-1$ の巡回群 $\mathbb{F}_p^\times$ が位数 $4$ の元をもつこと、すなわち $p\equiv1\pmod 4$ と同値である。よって $p\equiv1\pmod4$ なら $s(\mathbb{F}_p)=1$、$p\equiv3\pmod4$ なら $s(\mathbb{F}_p)=2$。
$s(\mathbb{Q}_2)=4$ である。
確かめを開く
$-7\equiv1\pmod 8$ は $\mathbb{Q}_2$ の平方数なので（p進数体の記事の系「平方数の判定と平方類」の 2）、$-1=(\sqrt{-7})^2+1^2+1^2+2^2$ である。$-1=x^2+y^2+z^2$ と書けたとすると、$x^2+y^2+z^2+w^2=0$ が $w=1$ を含む $0$ でない解をもつ。全体を $2$ の冪で割って $x,y,z,w\in\mathbb{Z}_2$ で少なくとも 1 つが奇数としてよい。奇数の平方は法 $8$ で $1$、偶数の平方は法 $8$ で $0$ か $4$ なので、奇数の個数を $k\in\{1,2,3,4\}$ とすると和は法 $8$ で $k+4j$（$j$ は偶数の項のうち平方が $4$ のものの個数）である。これが $0$ になるには $k\equiv0\pmod4$、すなわち $k=4$ が必要だが、そのとき $j=0$ で和は $4$ となり、$0$ にならない。よって $s(\mathbb{Q}_2)>3$ であり、thm-pf-level と合わせて $s(\mathbb{Q}_2)=4$ である。

Witt 環との関係

非退化な 2 次形式を、双曲形式の直交和の差を無視して同一視した類の全体は、$\perp$ を和、$\otimes$ を積とする可換環 $W(K)$ をなす。これを Witt 環といい、偶数次元の形式の類のなすイデアル $I(K)$ を基本イデアルという（EKM08 §2, pp. 19–21 と §4, p. 24。標数 $2$ でない体では対称双線形形式と 2 次形式が対応するので、同書の双線形形式の結果をそのまま読める）。$I(K)$ は 1 重 Pfister 形式の類で生成され、その冪 $I^n(K)$ は加法群として $n$ 重 Pfister 形式の類で生成される（同 p. 24）。cor-pf-hyperbolic によれば、Pfister 形式の類が $W(K)$ で $0$ になるのは、それが双曲形式であるとき、すなわち等方的であるときである。

Arason–Pfister の主定理（Hauptsatz）

$\varphi$ を非等方的な 2 次形式で、その類が $I^n(K)$ に属し $0$ でないものとする。このとき $\dim\varphi\ge2^n$ である。とくに $\bigcap_{n\ge1}I^n(K)=0$ である。

主定理の出典

この記事では証明しない。EKM08 Theorem 23.7・Corollary 23.8（p. 100）にあり、もとは Arason と Pfister による。証明は、Pfister 形式が自身の関数体（2 次曲面の関数体）の上で等方的、したがって双曲形式になること（cor-pf-hyperbolic）を使って、生成元の個数について帰納法を行うものである。

主定理から、$n$ 重 Pfister 形式どうしは $I^{n+1}(K)$ を法として合同なら同型であり、それは Milnor K 群（Milnor K群）の記号 $\{a_1,\dots,a_n\}$ と $\{b_1,\dots,b_n\}$ が $K_n^M(K)/2$ で等しいことと同値である（EKM08 Theorem 6.20, p. 36。この記事では証明しない）。$n=2$ では、$\langle\!\langle a,b\rangle\!\rangle$ が四元数環 $(a,b)_K$ の同型類を決めること（四元数環の記事の注意「記号の双線形性とノルム形式による分類」）の言い換えになる。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-pf-round の「Pfister 形式」	$\mathbb{Q}$ 上の $\langle1,1,1\rangle$	$3=1+1+1$ と $5=2^2+1^2+0^2$ は値だが、積 $15$ は値でない（下の注意）。値の集合が積で閉じない
cor-pf-hyperbolic の「Pfister 形式」	$\langle1,1,-1\rangle$	$(1,0,1)$ で $0$ になる等方的な形式だが、次元が奇数なので双曲形式でない
thm-pf-level の「$-1$ の表示」（ほかの元に替える）	$\mathbb{Q}$ の元 $3$	$3$ を平方の和で書くのに必要な最小の個数は $3$ で、$2$ の冪でない（下の注意）

1 行目：$-15\equiv1\pmod8$ は $\mathbb{Q}_2$ の平方数 $t^2$ なので、$15=x^2+y^2+z^2$（$x,y,z\in\mathbb{Q}$）なら $-1=(x/t)^2+(y/t)^2+(z/t)^2$ となり、ex-pf-level-examples の 4 に反する。3 行目：$3=a^2+b^2$（$a,b\in\mathbb{Q}$）なら、分母を払って $3d^2=a^2+b^2$ となる整数で $d\ge1$ が最小のものをとれる。$-1$ は法 $3$ で平方数でないので $3\mid a$、$3\mid b$ であり、すると $3\mid d$ となって、$(a/3,b/3,d/3)$ が $d$ の最小性に反する。

補足

Pfister 形式の特徴づけ。 thm-pf-round の逆にあたる次の定理がある。非退化で非等方的な 2 次形式 $\varphi$ が値 $1$ をとるとき、$\varphi$ が Pfister 形式であることは、$K$ のすべての拡大体 $L$ について $D(\varphi_L)$ が $L^\times$ の部分群であることと同値である（EKM08 Theorem 23.2, pp. 98–99。この記事では証明しない）。thm-pf-round はすべての体で成り立つので、Pfister 形式の係数を拡大体に移しても round である。この「どの拡大の上でも値の集合が群」という性質が Pfister 形式を特徴づける。