Artin写像とArtin相互法則

1。$\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0$ について、Frobenius元 の記事の定理「Frobenius元の中間体への移り方」の 2 により $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}(L'/K)|_L=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}(L/K)$ であり、両辺は乗法的である。

2。$E$ の素イデアル $\mathfrak{P}\nmid\mathfrak{m}_0$ が $\mathfrak{p}$ の上にあるとし、$f:=f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ とおく。同じ定理の 1 により $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/E)=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}(L/K)^f=\psi_{L/K}(\mathfrak{p}^f)=\psi_{L/K}(N_{E/K}\mathfrak{P})$ であり、両辺は乗法的である。

3。2 で $E=L$ とすると、$\operatorname{Gal}(L/L)$ は自明なので $\psi_{L/K}(N_{L/K}\mathfrak{A})=\psi_{L/L}(\mathfrak{A})=1$ である。

4。像を $A\subset G$、固定体を $F:=L^A$ とする。$\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0$ について $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}(F/K)=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}(L/K)|_F$ は $A$ の元の制限なので自明であり、Frobenius元 の記事の命題「Frobenius元の基本性質」の 3 により $\mathfrak{p}$ は $F$ で完全分解する。有限個を除くすべての素イデアルが $F$ で完全分解するので、類体論の第一不等式 の記事の系「ほとんどすべての素イデアルが完全分解する拡大」により $F=K$、すなわち $A=G$ である。$\square$

1。$\alpha=a/b$ が定義の条件を満たせば、$\mathfrak{p}\mid\mathfrak{n}$ で $v_{\mathfrak{p}}(b)=0$ なので $v_{\mathfrak{p}}(\alpha-1)=v_{\mathfrak{p}}(a-b)\ge v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{n})$ である。逆を示す。$\mathfrak{d}:=\{x\in\mathcal{O}_K\mid x\alpha\in\mathcal{O}_K\}$ は $0$ でないイデアルで、仮定から $\alpha$ は $\mathfrak{p}\mid\mathfrak{n}$ で単数なので $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{d})=0$、すなわち $\mathfrak{d}+\mathfrak{p}=\mathcal{O}_K$ である。$\mathfrak{n}$ を割る素イデアルを $\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_r$ とすると $\mathfrak{d}+\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r=\mathcal{O}_K$ なので、$1=b+c$（$b\in\mathfrak{d}$、$c\in\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$）と書ける。$b$ は各 $\mathfrak{p}_i$ を法として $1$ なので $\mathfrak{n}$ と素であり、$a:=b\alpha\in\mathcal{O}_K$ も $\mathfrak{p}_i$ で単数なので $\mathfrak{n}$ と素である。$a-b=b(\alpha-1)$ は $\mathfrak{p}\mid\mathfrak{n}$ で付値 $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{n})$ 以上、ほかの素イデアルで付値 $0$ 以上なので $a-b\in\mathfrak{n}$ である。

2。$\alpha=a/b$（$a,b\in\mathcal{O}_E$、$\mathfrak{n}\mathcal{O}_E$ と素、$a-b\in\mathfrak{n}\mathcal{O}_E$）と書く。$\tilde E$ を $E$ を含む $K$ の有限次 Galois 拡大、$\sigma_1,\dots,\sigma_d$ を $E$ から $\tilde E$ への $K$ 上の埋め込みの全体とすると $N_{E/K}(x)=\prod_i\sigma_i(x)$ である。$\sigma_i(a)-\sigma_i(b)\in\mathfrak{n}\mathcal{O}_{\tilde E}$ なので、$\prod_i\sigma_i(a)-\prod_i\sigma_i(b)=\sum_j\sigma_1(b)\cdots\sigma_{j-1}(b)\bigl(\sigma_j(a)-\sigma_j(b)\bigr)\sigma_{j+1}(a)\cdots\sigma_d(a)\in\mathfrak{n}\mathcal{O}_{\tilde E}$ であり、$N_{E/K}(a)-N_{E/K}(b)\in\mathfrak{n}\mathcal{O}_{\tilde E}\cap\mathcal{O}_K$ である。$\mathcal{O}_K$ のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathfrak{a}\mathcal{O}_{\tilde E}\cap\mathcal{O}_K=\mathfrak{a}$ である（$\tilde E$ の素イデアル $\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{P}}=e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})v_{\mathfrak{p}}$ を比べる）から、$N_{E/K}(a)-N_{E/K}(b)\in\mathfrak{n}$ である。また $a\mathcal{O}_E+\mathfrak{n}\mathcal{O}_E=\mathcal{O}_E$ に $\sigma_i$ を施すと $\sigma_i(a)\mathcal{O}_{\tilde E}+\mathfrak{n}\mathcal{O}_{\tilde E}=\mathcal{O}_{\tilde E}$ なので $N_{E/K}(a)\mathcal{O}_{\tilde E}+\mathfrak{n}\mathcal{O}_{\tilde E}=\mathcal{O}_{\tilde E}$ であり、$N_{E/K}(a)\mathcal{O}_K+\mathfrak{n}$ は素イデアルに含まれない（含まれればその素イデアルの上の $\tilde E$ の素イデアルに左辺が含まれる）。$b$ も同様である。よって $N_{E/K}(\alpha)=N_{E/K}(a)/N_{E/K}(b)\equiv1\pmod{^\times\mathfrak{n}}$ である。

実素点 $\iota\colon K\to\mathbb{R}$ について、$\iota$ を $\tilde E\to\mathbb{C}$ に延ばしたもの $\tilde\iota$ をとると、$\tilde\iota\sigma_i$ は $\iota$ を延ばす $E$ の埋め込みの全体で、$\iota(N_{E/K}(\alpha))=\prod_i\tilde\iota\sigma_i(\alpha)$ である。実埋め込みの因子は仮定により正であり、実でない埋め込みは複素共役と組になって $\lvert\tilde\iota\sigma_i(\alpha)\rvert^2>0$ を与える。$\square$

$\zeta$ の $E$ 上の共役は原始 $m$ 乗根なので $\chi$ は定義され、$\sigma$ は $\sigma(\zeta)$ で決まるので単射準同型である。

1。$\zeta$ の $E$ 上の最小多項式 $h$ は $X^m-1=h\,g$ を割り、$g$ も $\mathcal{O}_E$ 係数のモニック多項式である。$X^m-1$ の判別式は、導関数 $mX^{m-1}$ の根での値の積から $\pm m^m$ であり、$\Delta(hg)=\Delta(h)\Delta(g)\operatorname{Res}(h,g)^2$ の各因子は $\mathcal{O}_E$ に属するので、$\Delta(h)$ は $\mathcal{O}_E$ で $m^m$ を割る。$\mathfrak{P}\nmid m$ なら $\Delta(h)\notin\mathfrak{P}$ なので、代数体における素イデアルの分解 の記事の系「分岐する素イデアルは有限個」により $\mathfrak{P}$ は $M$ で分岐しない。$\mathfrak{P}'$ を $\mathfrak{P}$ の上の $M$ の素イデアル、$\sigma:=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}'}$、$q:=N\mathfrak{P}$ とすると、$\sigma(\zeta)=\zeta^{\chi(\sigma)}$ と $\sigma(\zeta)\equiv\zeta^q\pmod{\mathfrak{P}'}$ から $\zeta^{\chi(\sigma)}\equiv\zeta^q$ である。$\prod_{j=1}^{m-1}(1-\zeta^j)=m\notin\mathfrak{P}'$（$1+X+\cdots+X^{m-1}$ の $X=1$ での値）なので、$1$ の $m$ 乗根は $\mathfrak{P}'$ を法として互いに異なり、$\chi(\sigma)=q\bmod m$ である。

2。$\mathfrak{n}_0\subset m\mathcal{O}_E$ なので、1 により $\mathfrak{n}_0$ と素な素イデアルは $M$ で、したがって $L'$ で分岐せず、$\psi_{L'/E}$ は $I_E^{\mathfrak{n}}$ 上で定義される。$E$ の分数イデアルの絶対ノルム $N$ を素イデアルの $N\mathfrak{P}$ から乗法的に延ばす（整イデアルでは イデアル類群 の記事の定理「イデアルのノルムの乗法性」のとおり $\lvert\mathcal{O}_E/\mathfrak{A}\rvert$ に一致する）。1 により、$\mathfrak{A}\in I_E^{\mathfrak{n}}$ について $\chi(\psi_{M/E}(\mathfrak{A}))=N\mathfrak{A}\bmod m$ である（$N\mathfrak{A}$ は分子・分母が $m$ と素な正の有理数）。

$(\alpha)\in P_{E,\mathfrak{n}}$ とする。$\alpha\equiv1\pmod{^\times\mathfrak{n}_0}$ から $\alpha\equiv1\pmod{^\times m\mathcal{O}_E}$ であり、$\alpha$ は $E$ のすべての実素点で正なので、lem-ar-norm-congruence の 2（$K=\mathbb{Q}$、$\mathfrak{n}=m\mathbb{Z}$）により $N_{E/\mathbb{Q}}(\alpha)=r/s$（$r,s$ は $m$ と素な正の整数、$r\equiv s\pmod m$）と書ける。$\alpha=a/b$（$a,b\in\mathcal{O}_E$）とすると、イデアル類群 の記事の命題「単項イデアルのノルム」により $N(\alpha)=\lvert N_{E/\mathbb{Q}}(a)\rvert/\lvert N_{E/\mathbb{Q}}(b)\rvert=N_{E/\mathbb{Q}}(\alpha)=r/s$ なので、$\chi(\psi_{M/E}((\alpha)))=rs^{-1}\bmod m=1$、すなわち $\psi_{M/E}((\alpha))=1$ である。prop-ar-basic の 1 により $\psi_{L'/E}((\alpha))=\psi_{M/E}((\alpha))|_{L'}=1$ なので、$\mathfrak{n}$ は $L'/E$ の定義法である。

最後に、prop-ar-basic の 3・4 により $\psi_{L'/E}$ は全射で核は $H_{L',\mathfrak{n}}$ を含むので、$(I_E^{\mathfrak{n}}:H_{L',\mathfrak{n}})\ge[L':E]$ である。$L'/E$ はアーベル拡大（$\operatorname{Gal}(M/E)$ が $\chi$ でアーベル群に埋め込まれる）で、とくに Galois 拡大なので、類体論の第二不等式 の記事の定理「第二不等式（イデアルの形）」により $(I_E^{\mathfrak{n}}:H_{L',\mathfrak{n}})\le[L':E]$ である。よって等号が成り立ち、核は $H_{L',\mathfrak{n}}$ である。$\square$

段 1（$L'$ は $E$ と $LE$ の円分拡大）。$EM$ は $E$ に $\zeta_m$ を添加した体なので $L'=E(\zeta_m)$ であり、$F:=LE$ とおくと $L'=F(\zeta_m)$ でもある（$E(\zeta_m)\subset F(\zeta_m)\subset L'$）。$L'=L(\zeta_m)$ なので、prop-ar-cyclotomic の 1（基礎体 $L$）と分岐指数の乗法性により、$\mathfrak{m}_0$ と素な $K$ の素イデアルは $L'$ で分岐しない。よって $\psi_{L'/K}$、$\psi_{L'/E}$、$\psi_{L'/F}$ は法 $\mathfrak{m}$ に関して定義される。$\mathfrak{n}$ を、$\mathfrak{n}_0:=\mathfrak{m}_0\mathcal{O}_E$、$\mathfrak{n}_\infty:=E$ のすべての実素点、で定まる $E$ の法とする。$\mathfrak{n}_0\subset m\mathcal{O}_E$ なので、prop-ar-cyclotomic の 2 により、$\psi_{L'/E}\colon I_E^{\mathfrak{n}}\to\operatorname{Gal}(L'/E)$ の核は $P_{E,\mathfrak{n}}\,N_{L'/E}(I_{L'}^{\mathfrak{n}})$ である（$I_E^{\mathfrak{n}}=I_E^{\mathfrak{m}}$）。これを (1) とする。

段 2（$\psi_{L'/E}(\mathfrak{A})$ は $LE$ の上で自明）。prop-ar-basic の 2 により $\psi_{L'/E}(\mathfrak{A})=\psi_{L'/K}(N_{E/K}\mathfrak{A})=\psi_{L'/K}(\mathfrak{a})$ であり、prop-ar-basic の 1 によりその $L$ への制限は $\psi_{L/K}(\mathfrak{a})=1$ である。よって $\tau:=\psi_{L'/E}(\mathfrak{A})$ は $E$ も $L$ も固定し、$\tau\in\operatorname{Gal}(L'/F)$ である。

段 3（$\tau$ を $F$ のイデアルのノルムで実現する）。prop-ar-basic の 4 を $L'/F$ に使うと、$\psi_{L'/F}(\mathfrak{B}')=\tau$ となる $\mathfrak{B}'\in I_F^{\mathfrak{m}}$ がある。$\mathfrak{B}:=N_{F/E}(\mathfrak{B}')\in I_E^{\mathfrak{m}}$ とおくと、prop-ar-basic の 2（基礎体 $E$、中間体 $F$）により $\psi_{L'/E}(\mathfrak{B})=\psi_{L'/F}(\mathfrak{B}')=\tau$ である。よって $\mathfrak{A}\mathfrak{B}^{-1}\in\ker\psi_{L'/E}$ であり、(1) により $\mathfrak{A}=\mathfrak{B}\cdot(\alpha)\cdot N_{L'/E}(\mathfrak{C})$（$(\alpha)\in P_{E,\mathfrak{n}}$、$\mathfrak{C}\in I_{L'}^{\mathfrak{m}}$）と書ける。

段 4（$K$ へ押し出す）。$N_{E/K}$ を施し、イデアルのノルムの推移性を使うと $\mathfrak{a}=N_{E/K}(\mathfrak{A})=N_{F/K}(\mathfrak{B}')\cdot N_{E/K}((\alpha))\cdot N_{L'/K}(\mathfrak{C})=N_{L/K}\bigl(N_{F/L}(\mathfrak{B}')\,N_{L'/L}(\mathfrak{C})\bigr)\cdot\bigl(N_{E/K}(\alpha)\bigr)$ である。第 1 因子は $N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ に属する。$\alpha\equiv1\pmod{^\times\mathfrak{m}_0\mathcal{O}_E}$ で $\alpha$ は $E$ のすべての実素点で正なので、lem-ar-norm-congruence の 2 により $N_{E/K}(\alpha)\equiv1\pmod{^\times\mathfrak{m}_0}$ で、$N_{E/K}(\alpha)$ は $K$ のすべての実素点で正である。よって $(N_{E/K}(\alpha))\in P_{K,\mathfrak{m}}$ であり、$\mathfrak{a}\in P_{K,\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})=H_{L,\mathfrak{m}}$ である。$\square$

$\ell^s\parallel n$（$s\ge1$）とする。$b:=a^{\ell-1}$（$\ell$ が奇数）、$b:=a^2$（$\ell=2$）とおくと、Fermat の小定理（$\ell=2$ では $a$ が奇数なので $a^2\equiv1\pmod8$）から $b\equiv1\pmod\ell$、$\ell=2$ なら $b\equiv1\pmod 8$ であり、$a\ge2$ から $b\ne1$ である。$k:=v_\ell(b-1)$ とおくと $k\ge1$（$\ell=2$ なら $k\ge3$）である。

$c=1+\ell^ku$（$\ell\nmid u$、$k\ge1$、$\ell=2$ なら $k\ge2$）について $c^\ell=1+\ell^{k+1}u+\sum_{i=2}^{\ell}\binom\ell i\ell^{ik}u^i$ であり、$2\le i\le\ell-1$ の項は $\ell\mid\binom\ell i$ から付値 $1+ik\ge k+2$、$i=\ell$ の項は付値 $\ell k\ge k+2$（$\ell\ge3$、または $\ell=2$ かつ $k\ge2$）である。よって $v_\ell(c^\ell-1)=k+1$ で、$c^\ell$ も同じ形である。帰納法により $v_\ell(b^{\ell^j}-1)=k+j$ である。

したがって $b$ の $(\mathbb{Z}/\ell^{k+s}\mathbb{Z})^\times$ での位数は $\ell^s$ を割り（$b^{\ell^s}\equiv1$）、$\ell^{s-1}$ を割らない（$b^{\ell^{s-1}}\not\equiv1$）ので、$\ell^s$ に等しい。$b$ は $a$ の冪なので、$a$ の位数は $\ell^s$ で割り切れる。$m_0:=\prod_{\ell\mid n}\ell^{k_\ell+s_\ell}$ とおくと、$a$ の $(\mathbb{Z}/m_0\mathbb{Z})^\times$ での位数は各 $(\mathbb{Z}/\ell^{k_\ell+s_\ell}\mathbb{Z})^\times$ での位数の最小公倍数なので $n$ で割り切れる。$m_0$ の倍数 $m_0'$ を法とする位数は $m_0$ を法とする位数の倍数なので、最後の主張も従う。$\square$

$F_j/K$ の次数は $\chi$ の単射性から $q_j-1$ 以下である。$q_j$ の上の $F_j$ の素イデアル $\mathfrak{Q}$、$\mathfrak{q}:=\mathfrak{Q}\cap\mathcal{O}_K$、$\mathfrak{Q}':=\mathfrak{Q}\cap\mathbb{Q}(\zeta_{q_j})$ について、円分体 の記事の命題「素数冪の円分体」の 5 により $e(\mathfrak{Q}'\mid q_j)=q_j-1$ で、分岐指数の乗法性から $e(\mathfrak{Q}\mid q_j)\ge q_j-1$、$e(\mathfrak{q}\mid q_j)=1$ なので $e(\mathfrak{Q}\mid\mathfrak{q})\ge q_j-1$ である。代数体における素イデアルの分解 の記事の定理「基本等式」により $e(\mathfrak{Q}\mid\mathfrak{q})\le[F_j:K]$ なので、$[F_j:K]=q_j-1$ で $\chi$ は同型、$F_j/K$ は $q_j$ の上で完全分岐する。$(\mathbb{Z}/q_j\mathbb{Z})^\times$ は巡回群である（有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）。

$N:=L_0F_1\cdots F_{j-1}$ とおく。$N$ は $L_0$ に $1$ の $q_1\cdots q_{j-1}$ 乗根を添加した体なので、prop-ar-cyclotomic の 1（基礎体 $L_0$）と仮定と分岐指数の乗法性により、$N/K$ は $q_j$ の上で分岐しない。$NF_j$ の素イデアル $\mathfrak{R}$ が $q_j$ の上にあるとし、$\mathfrak{q}:=\mathfrak{R}\cap\mathcal{O}_K$ とすると、$e(\mathfrak{R}\mid\mathfrak{q})=e(\mathfrak{R}\mid\mathfrak{R}\cap N)\le[NF_j:N]$ であり、左辺は $e(\mathfrak{R}\cap F_j\mid\mathfrak{q})=q_j-1$ 以上である。$[NF_j:N]\le[F_j:K]=q_j-1$ と合わせて $[NF_j:K]=[N:K](q_j-1)$ となる。帰納法により $[L':K]=[L_0:K]\prod_j(q_j-1)$ である。制限写像は単射（$L'$ は $L_0,F_1,\dots,F_t$ で生成される）で、両辺の位数が等しいので同型である。$\square$

$E:=L'^{\langle\eta\rangle}$ とおく。$\operatorname{Gal}(L'/EM)=\langle\eta\rangle\cap\operatorname{Gal}(L'/M)=1$ なので $L'=EM=E(\zeta_m)$ である。$T$ に $L'/K$ で分岐する素イデアルと $m$ を割る素イデアルを加えたものを $T'$ とし、$\mathfrak{n}_0$ を $T'$ の素イデアルの上にある $E$ の素イデアルすべてと $m$ の積、$\mathfrak{n}_\infty$ を $E$ のすべての実素点とする $E$ の法 $\mathfrak{n}$ をとる。prop-ar-cyclotomic の 2 により $\psi_{L'/E}\colon I_E^{\mathfrak{n}}\to\langle\eta\rangle$ は全射で、その核 $H'$ は $P_{E,\mathfrak{n}}$ を含む。$\mathfrak{K}:=\psi_{L'/E}^{-1}(\eta)$ は $I_E^{\mathfrak{n}}/H'$ の 1 つの類である。

Chebotarevの密度定理 の記事の定理「一般化された Dirichlet の密度定理」（基礎体 $E$、法 $\mathfrak{n}$、部分群 $H'$）により、$\mathfrak{K}$ に属する $E$ の素イデアルの集合の Dirichlet 密度は $1/\lvert\langle\eta\rangle\rvert>0$ である。同じ記事の命題「Dirichlet密度の基本性質」の 3 により、$K$ 上の剰余次数が $2$ 以上の $E$ の素イデアルの集合の密度は $0$ なので、同命題の 1・2 から、$\mathfrak{K}$ には $f(\mathfrak{Q}\mid\mathfrak{Q}\cap\mathcal{O}_K)=1$ となる素イデアル $\mathfrak{Q}$ が無限個ある。その 1 つをとり $\mathfrak{q}:=\mathfrak{Q}\cap\mathcal{O}_K$ とすると、$\mathfrak{Q}\nmid\mathfrak{n}_0$ なので $\mathfrak{q}\notin T'$ であり、$\mathfrak{q}$ は $L'$ で分岐しない。prop-ar-basic の 2（基礎体 $K$、中間体 $E$）により $\eta=\psi_{L'/E}(\mathfrak{Q})=\psi_{L'/K}(N_{E/K}\mathfrak{Q})=\psi_{L'/K}(\mathfrak{q})=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{q}}(L'/K)$ である。$\square$