双曲型偏微分方程式

被積分関数は $\overline\Omega\times[0,T]$ の上で $C^1$ 級なので、積分記号下の微分 により $E$ は $C^1$ 級で、$a^{ij}=a^{ji}$ を使うと

$$E'(t)=\int_\Omega\Bigl(u_tu_{tt}+\sum_{i,j}a^{ij}\partial_ju\,\partial_iu_t+\frac12\sum_{i,j}(\partial_ta^{ij})\partial_iu\,\partial_ju+uu_t\Bigr)dx$$

である。ベクトル場 $w_i:=u_t\sum_ja^{ij}\partial_ju$ は各時刻で $U$ の上の $C^1$ 級のベクトル場で、$\sum_i\partial_iw_i=\sum_{i,j}a^{ij}\partial_ju\,\partial_iu_t+u_t\sum_{i,j}\partial_i(a^{ij}\partial_ju)$ である。$\partial\Omega$ の上では $u=0$ がすべての時刻で成り立つので $u_t=0$、よって $w=0$ であり、Gaussの発散定理 から $\int_\Omega\sum_i\partial_iw_i\,dx=0$ である。したがって

$$E'(t)=\int_\Omega\Bigl(u_t\bigl(f-\textstyle\sum_ib^i\partial_iu-b^0u_t-qu\bigr)+\frac12\sum_{i,j}(\partial_ta^{ij})\partial_iu\,\partial_ju+uu_t\Bigr)dx$$

となる。$\lvert\nabla u\rvert^2\le\theta^{-1}\sum a^{ij}\partial_iu\,\partial_ju$ と $2\lvert yz\rvert\le y^2+z^2$ を使って各項を評価する：$\lvert u_tf\rvert\le\frac12(u_t^2+f^2)$、$\bigl\lvert u_t\sum b^i\partial_iu\bigr\rvert\le\frac\beta2(u_t^2+\lvert\nabla u\rvert^2)$、$\lvert b^0\rvert u_t^2\le\beta u_t^2$、$\lvert(1-q)uu_t\rvert\le\frac{\beta+1}2(u^2+u_t^2)$、$\frac12\bigl\lvert\sum(\partial_ta^{ij})\partial_iu\,\partial_ju\bigr\rvert\le\frac\kappa2\lvert\nabla u\rvert^2$。$u_t^2$ の係数の和は $1+2\beta$、$\sum a^{ij}\partial_iu\,\partial_ju$ の係数は $\frac{\beta+\kappa}{2\theta}$ 以下、$u^2$ の係数は $\frac{\beta+1}2$ で、いずれも $\frac C2$ 以下なので

$$E'(t)\le CE(t)+\frac12\| f(\cdot,t)\|^2$$

である。$F(t):=e^{-Ct}E(t)$ とおくと $F'(t)=e^{-Ct}(E'-CE)\le\frac12\| f(\cdot,t)\|^2$ なので、$0$ から $t$ まで積分して $F(t)\le E(0)+\frac12\int_0^t\| f\|^2ds$、すなわち結論を得る。$\square$

$t_1:=\min(T,R/c)$ とし、$0\le t< t_1$ について $\rho(t):=R-ct$、$e:=u_t^2+\sum a^{ij}\partial_iu\,\partial_ju+u^2$、$E(t):=\frac12\int_{B(t)}e(x,t)\,dx$ とおく。

段 1（縮む球の上の積分の微分）．$e$ は $C^1$ 級である。調和関数 の注意「この記事で使う積分の基本事項」の 1・2 により $G(r,t):=\int_{B(x_0,r)}e(x,t)\,dx=nV(B)\int_0^rs^{n-1}\int_Se(x_0+s\zeta,t)\,d\sigma(\zeta)\,ds$ であり（$S$ は単位球面、$\sigma$ は正規化した表面積測度、$V(B)$ は単位球の体積）、$\partial_rG=\int_{\partial B(x_0,r)}e\,dS$、$\partial_tG=\int_{B(x_0,r)}e_t\,dx$（積分記号下の微分）はどちらも連続である。よって $E(t)=\frac12G(\rho(t),t)$ は微分可能で

$$E'(t)=\frac12\int_{B(t)}e_t\,dx-\frac c2\int_{\partial B(t)}e\,dS$$

である。

段 2（部分積分）．$\frac12e_t=u_tu_{tt}+\sum a^{ij}\partial_ju\,\partial_iu_t+\frac12\sum(\partial_ta^{ij})\partial_iu\,\partial_ju+uu_t$ である。prf-hpde-energy と同じベクトル場 $w$ に 調和関数 の注意の 3（球の上の発散定理）を使うと、外向き単位法線を $\nu$ として

$$\int_{B(t)}\sum a^{ij}\partial_ju\,\partial_iu_t\,dx=-\int_{B(t)}u_t\sum\partial_i(a^{ij}\partial_ju)\,dx+\int_{\partial B(t)}u_t\sum a^{ij}\partial_ju\,\nu_i\,dS$$

である。$K$ の上で $Pu=0$ なので、prf-hpde-energy と同じ評価（$f=0$）により内部の積分の和は $CE(t)$ 以下である。ここで $C$ の中の $\beta$、$\kappa$ は $K$ の上での上限とする（$K$ はコンパクトなので有限である）。

段 3（境界の項）．各点で $\langle\xi,\eta\rangle_a:=\sum a^{ij}\xi_i\eta_j$ は内積なので、Cauchy–Schwarzの不等式 と $\langle\nu,\nu\rangle_a\le\Lambda\lvert\nu\rvert^2=c^2$ から

$$\Bigl\lvert u_t\sum a^{ij}\partial_ju\,\nu_i\Bigr\rvert\le\lvert u_t\rvert\,\langle\nabla u,\nabla u\rangle_a^{1/2}\,c\le\frac c2\bigl(u_t^2+\langle\nabla u,\nabla u\rangle_a\bigr)\le\frac c2e$$

である。よって境界の項の和 $\int_{\partial B(t)}u_t\sum a^{ij}\partial_ju\,\nu_i\,dS-\frac c2\int_{\partial B(t)}e\,dS$ は $0$ 以下である。

段 4．以上から $[0,t_1)$ で $E'(t)\le CE(t)$ であり、$(e^{-Ct}E)'\le0$ と $E(0)=0$（初期値が $\overline B(x_0,R)$ で $0$ なので、そこで $u=u_t=0$、$\nabla u=0$）から $E=0$ である。被積分関数の $u^2$ の項から、$0\le t< t_1$ の各時刻で開球 $B(t)$ の上で $u=0$ である。$u$ は連続なので、$K$ の残りの点（各時刻の閉球の境界と、時刻 $t_1$ の切り口。$t_1=R/c$ なら頂点、$t_1=T< R/c$ なら閉球 $\lvert x-x_0\rvert\le R-cT$）でも $u=0$ である。$\square$

1：$v\in\mathbb{C}^N$ について $w(t):=e^{tG(\xi)}v$ とおくと $w'=Gw$ なので、Hermite 内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ について $\frac d{dt}\lvert w\rvert^2=2\operatorname{Re}\langle Gw,w\rangle$ である。$A(\xi)$ は実対称なので $\langle A(\xi)w,w\rangle$ は実数で（Hermite行列）、$\langle2\pi iA(\xi)w,w\rangle$ は純虚数である。よって $\frac d{dt}\lvert w\rvert^2=2\operatorname{Re}\langle Bw,w\rangle\le2\| B\|\lvert w\rvert^2$ であり、$(e^{-2\| B\| t}\lvert w\rvert^2)'\le0$ から $t\ge0$ で $\lvert w(t)\rvert\le e^{\| B\| t}\lvert v\rvert$ である。$t\le0$ では $(e^{2\| B\| t}\lvert w\rvert^2)'\ge0$ から同様である。$B=0$ なら $\lvert w\rvert$ は一定で、$e^{tG}$ はノルムを保つ線形写像、すなわちユニタリ行列である（ユニタリ行列）。

2：$N=1$ なら $\lvert e^{2\pi itA(\xi)}\rvert=1$ なので $N\ge2$ とする。$S$ を単位球面とし、$\xi\in S$ について $A(\xi)$ の固有値を $\lambda_1(\xi)< \dots< \lambda_N(\xi)$ とする。$\lvert\lambda_k\rvert\le\| A(\xi)\|\le M:=\sum_j\| A_j\|$ である。固有多項式の 判別式 $D(\xi)=\prod_{k< l}(\lambda_k-\lambda_l)^2$ は固有多項式の係数の多項式なので $\xi$ の連続関数で、$S$ の上で正だから、コンパクト性により最小値 $d>0$ をもつ。1 組 $(k,l)$ を除く $\binom N2-1$ 個の因子はそれぞれ $(2M)^2$ 以下なので、$(\lambda_k-\lambda_l)^2\ge d/(2M)^{2(\binom N2-1)}=:\delta^2$ である。固有値が相異なるので $A(\xi)$ は対角化でき、固有空間への射影は $P_k=\prod_{l\ne k}\frac{A(\xi)-\lambda_lI}{\lambda_k-\lambda_l}$（Lagrange の補間）と書けて、$e^{2\pi itA(\xi)}=\sum_ke^{2\pi it\lambda_k}P_k$ である。$\| P_k\|\le(2M/\delta)^{N-1}$ なので、$\| e^{2\pi itA(\xi)}\|\le K:=N(2M/\delta)^{N-1}$ である。$r>0$ について $A(r\xi)=rA(\xi)$ の射影は $A(\xi)$ の射影と同じで、固有値は $r$ 倍になるので、同じ評価がすべての $\xi\ne0$ で成り立つ。$\xi=0$ では $e^{0}=I$ である。

3：1・2 の評価を $\| e^{tG(\xi)}\|\le K_T$（$\lvert t\rvert\le T$）とまとめる。$(**)$ の被積分関数は $K_T\lvert\widehat g\rvert$ で、その $t$ による微分 $e^{2\pi ix\cdot\xi}G(\xi)e^{tG}\widehat g$ と $x_j$ による微分 $2\pi i\xi_je^{2\pi ix\cdot\xi}e^{tG}\widehat g$ は $\bigl(2\pi(M+1)\lvert\xi\rvert+\| B\|\bigr)K_T\lvert\widehat g\rvert$ で抑えられる。$\widehat g$ は Schwartz 関数なので（Schwartz空間 の定理「Schwartz空間上のFourier変換」）これらは可積分であり、積分記号下の微分 により $u$ は $C^1$ 級で、微分は積分の中で計算できる。すると $u_t-\sum_jA_j\partial_ju-Bu=\int e^{2\pi ix\cdot\xi}\bigl(G(\xi)-2\pi iA(\xi)-B\bigr)e^{tG}\widehat g\,d\xi=0$ である。$t=0$ では $(**)$ は $\widehat g$ の逆変換なので、Fourier変換 の定理「Fourier反転公式」から $u(\cdot,0)=g$ である。$h_t:=e^{tG}\widehat g$ は $L^1\cap L^2$ に属し、Plancherelの定理 の定理「Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）」の 3 により $u(\cdot,t)$ は $h_t$ の $L^2$ での逆 Fourier 変換である。逆変換はユニタリなので $\| u(\cdot,t)\|_2=\| h_t\|_2$ で、これは $\| e^{tG}\|$ の上限と $\|\widehat g\|_2=\| g\|_2$ の積以下である（成分ごとに使う）。$B=0$ の対称双曲型では $\lvert h_t(\xi)\rvert=\lvert\widehat g(\xi)\rvert$ なので等号が成り立つ。$\square$