Robertson–Walker時空

底は $B=I$、$g_B=-dt^2$、warping 関数は $a$ である。Warped積多様体 の注意「成立条件と特別な場合」（$\epsilon=-1$、$d=3$）により $H^a(\partial_t,\partial_t)=\ddot a$、$\mathrm{grad}\,a=-\dot a\,\partial_t$、$|\mathrm{grad}\,a|^2=-\dot a^2$、$\Delta a=-\ddot a$ であり、$F$ は定曲率 $k$ なので $\mathrm{Ric}^F=2k\,g_F$ である。
1：同記事の系「断面曲率の公式」により $K(\partial_t,\tilde V)=-\frac{H^a(\partial_t,\partial_t)}{a\,g_B(\partial_t,\partial_t)}=\frac{\ddot a}{a}$、$K(\tilde V,\tilde W)=\frac{k-|\mathrm{grad}\,a|^2}{a^2}=\frac{k+\dot a^2}{a^2}$ である。
2：同記事の系「リッチテンソルの公式」により $\mathrm{Ric}(\partial_t,\partial_t)=0-\frac3a\ddot a$、$\mathrm{Ric}(\partial_t,\tilde V)=0$、
$$ \mathrm{Ric}(\tilde V,\tilde W)=2k\,g_F(V,W)-g(\tilde V,\tilde W)\Bigl(\frac{-\ddot a}{a}+2\,\frac{-\dot a^2}{a^2}\Bigr)=\frac{2k+a\ddot a+2\dot a^2}{a^2}\,g(\tilde V,\tilde W) $$
である（$g(\tilde V,\tilde W)=a^2g_F(V,W)$）。
3：$\partial_t$ と、$F$ の正規直交基底の持ち上げを $a$ で割った 3 本は $g$ の正規直交基底で、$g(\partial_t,\partial_t)=-1$ なので $S=-\mathrm{Ric}(\partial_t,\partial_t)+3\,\frac{a\ddot a+2\dot a^2+2k}{a^2}$ であり、整理すると主張の式になる。
4：$G(\partial_t,\partial_t)=-3\frac{\ddot a}{a}+\frac12S=3\frac{\dot a^2+k}{a^2}$、$G(\tilde V,\tilde W)=\bigl(\frac{a\ddot a+2\dot a^2+2k}{a^2}-\frac12S\bigr)g(\tilde V,\tilde W)$ を計算すればよい。$\square$

各点の接空間は $\partial_t$ と持ち上げ $\tilde V$ で張られるので、対称テンソル $G+\Lambda g-\kappa T$ が $0$ であることは、組 $(\partial_t,\partial_t)$、$(\partial_t,\tilde V)$、$(\tilde V,\tilde W)$ での値がすべて $0$ であることと同値である。prop-rw-curvature の 4 と $g(\partial_t,\partial_t)=-1$ により、第 1 の組は $3\frac{\dot a^2+k}{a^2}-\Lambda-\kappa\rho=0$、第 2 の組は両辺とも $0$、第 3 の組は $\bigl(-\frac{2a\ddot a+\dot a^2+k}{a^2}+\Lambda-\kappa p\bigr)g(\tilde V,\tilde W)=0$ となる。これが 2 式である。
第 2 式に第 1 式の $\frac13$ 倍を足すと $-2\frac{\ddot a}{a}=\kappa\bigl(p+\frac\rho3\bigr)-\frac23\Lambda$ となり、加速度の式を得る。第 1 式を微分すると
$$ \kappa\dot\rho=\frac{6\dot a\ddot a}{a^2}-\frac{6\dot a(\dot a^2+k)}{a^3}=\frac{6\dot a}{a}\Bigl(\frac{\ddot a}{a}-\frac{\dot a^2+k}{a^2}\Bigr) $$
であり、2 式から $\kappa(\rho+p)=2\frac{\dot a^2+k}{a^2}-2\frac{\ddot a}{a}$ なので、$\kappa\dot\rho=-3\frac{\dot a}{a}\kappa(\rho+p)$ である。$\square$

rem-rw-normalization により $k\in\{0,\pm1\}$ としてよく、$F$ の各点の近傍はモデル空間の開集合と等長である。上の式により、$-d\eta^2+h$（$h$ はモデル空間の計量）が $\mathbb{R}\times(\text{モデル空間})$ の各点の近くで Minkowski 時空と共形であることを示せばよい。
$k=0$：$-d\eta^2+g_{\mathbb{R}^3}$ は Minkowski 計量そのものである。
$k=-1$：$H^3=\{\omega\in\mathbb{R}^{3,1}\mid\langle\omega,\omega\rangle=-1,\ \omega_4>0\}$（双曲空間 の定義「Minkowski 空間と双曲空間」）とし、$\Phi(\sigma,\omega):=e^\sigma\omega$ とおく。$\Phi$ は $\mathbb{R}\times H^3$ から未来の光錐の内部 $\{x\mid\langle x,x\rangle< 0,\ x_4>0\}$ への微分同相である（逆写像は $x\mapsto(\frac12\log(-\langle x,x\rangle),x/\sqrt{-\langle x,x\rangle})$）。$\tau:=e^\sigma$ とおくと $dx=d\tau\,\omega+\tau\,d\omega$ であり、$\langle\omega,\omega\rangle=-1$ を微分して $\langle\omega,d\omega\rangle=0$ なので
$$ \langle dx,dx\rangle=-d\tau^2+\tau^2\langle d\omega,d\omega\rangle=e^{2\sigma}\bigl(-d\sigma^2+g_{H^3}\bigr) $$
である。$T=x_4$、$X_i=x_i$（$i=1,2,3$）とみれば $\langle dx,dx\rangle$ は Minkowski 計量なので、$-d\sigma^2+g_{H^3}$ は Minkowski 時空の開集合と共形である。
$k=1$：$-d\eta^2+g_{S^3}$ について、$S^3$ の点を極座標 $(\chi,\theta)\in(0,\pi)\times S^2$ で表すと $g_{S^3}=d\chi^2+\sin^2\chi\,g_{S^2}$ である（Warped積多様体 の例「極座標によるEuclid空間」）。$|\eta|+\chi<\pi$ となる部分で $T\pm R:=\tan\frac{\eta\pm\chi}{2}$ と定めると、
$$ -dT^2+dR^2+R^2g_{S^2}=\frac{1}{4\cos^2\frac{\eta+\chi}2\cos^2\frac{\eta-\chi}2}\Bigl(-d\eta^2+d\chi^2+\sin^2\chi\,g_{S^2}\Bigr) $$
となり、左辺は Minkowski 時空の $R>0$ の部分の極座標表示である。

$X:=a(t)\,\partial_t$ とおく。接ベクトル $\xi=\xi^t\partial_t+\xi^{\mathrm v}$（$\xi^{\mathrm v}$ は垂直成分）について、Warped積多様体 の命題「リーマン接続の公式」の 1・2 から $\nabla_{\partial_t}\partial_t=0$、$\nabla_{\xi^{\mathrm v}}\partial_t=\frac{\dot a}{a}\xi^{\mathrm v}$ なので
$$ \nabla_\xi X=\dot a\,\xi^t\,\partial_t+a\cdot\frac{\dot a}{a}\,\xi^{\mathrm v}=\dot a\,\xi $$
である。$\gamma$ は測地線なので $D_s\dot\gamma=0$ であり、
$$ \frac{d}{ds}g(\dot\gamma,X)=g(D_s\dot\gamma,X)+g(\dot\gamma,\nabla_{\dot\gamma}X)=\dot a\,g(\dot\gamma,\dot\gamma)=0 $$
となる。$g(\dot\gamma,X)=a\,g(\dot\gamma,\partial_t)$ なので主張が従う。$\square$

正の関数を掛けても $g(v,v)$ の符号と $g(v,\partial_t)$ の符号は変わらないので、$g$ と $\hat g:=-d\eta^2+g_F$ は同じ時間的・因果的ベクトルと未来向きを定め、同じ因果曲線、同じ $J^\pm$ をもつ。因果性・因果ダイヤモンド・Cauchy 超曲面は因果曲線だけで定義されるので、$(J\times F,\hat g)$ について示せばよい。$d_F$ を $F$ の距離とし、$p=(\eta_p,x_p)$ とする。
未来向き因果曲線 $(\eta(s),x(s))$ は $\dot\eta>0$ と $\sqrt{g_F(\dot x,\dot x)}\le\dot\eta$ を満たすので、$(\eta,x)\in J^+(p)$ なら $d_F(x_p,x)\le\eta-\eta_p$ である。逆に $\eta>\eta_p$、$\eta\in J$、$d:=d_F(x_p,x)\le\eta-\eta_p$ なら、Hopf–Rinowの定理 による長さ $d$ の測地線 $\beta\colon[0,1]\to F$ で $s\mapsto(\eta_p+s(\eta-\eta_p),\beta(s))$ は因果曲線になる。よって $J^+(p)=\{(\eta,x)\in J\times F\mid d_F(x_p,x)\le\eta-\eta_p\}$ であり、これは閉集合である。$J^-(q)$ も同様で、$J^+(p)\cap J^-(q)$ は $[\eta_p,\eta_q]\times\bar B(x_p,\eta_q-\eta_p)$ の閉集合である。$[\eta_p,\eta_q]\subset J$ であり、完備な $F$ の有界閉集合はコンパクトなので、因果ダイヤモンドはコンパクトである。未来向き因果曲線に沿って $\eta$ は狭義増加するので、閉じた因果曲線はない。よって大域的双曲である。
延長不可能な未来向き因果曲線を $\eta$ でパラメータ付けすると $d_F(x(\eta_1),x(\eta_2))\le|\eta_1-\eta_2|$ である。$\eta$ の動く範囲 $(\alpha,\beta)$ について $\beta<\sup J$ なら、$\eta\to\beta$ で $x(\eta)$ は Cauchy 列の条件を満たし、完備性から極限 $x^*$ をもつので、曲線は点 $(\beta,x^*)\in M$ まで延びて延長不可能性に反する。下端も同様なので、$\eta$ は $J$ 全体を動き、各 $\{\eta=\eta(c)\}=\{t=c\}$ とちょうど 1 点で交わる。$\{t=c\}$ の誘導計量 $a(c)^2g_F$ は正定値なので、これは空間的な Cauchy 超曲面である。$\square$

$\ddot a\le0$ なので $a$ は $I$ 上の凹関数であり、すべての $t\in I$ で $a(t)\le a(t_0)+\dot a(t_0)(t-t_0)$ である。$a(t)>0$ なので $t>t_0-a(t_0)/\dot a(t_0)=t_0-1/H_0$ である。共動観測者の世界線 $t\mapsto(t,q)$ は固有時間 $t$ でパラメータ付けた測地線で、$M=I\times F$ の中では $t\in I$ でしか定義されない。$t\to\inf I$ で世界線が $M$ の点 $x$ に収束すると、$t$ の連続性から $t(x)=\inf I\notin I$ となって矛盾するので、世界線は過去向きに延長不可能であり、$t_0$ から過去へ測った固有時間は $t_0-\inf I\le1/H_0$ である。$\square$