作用素環

前提知識: Hilbert空間, 随伴作用素, Banach代数

作用素環は、Hilbert 空間上の有界作用素のなす代数のうち、随伴をとる操作とある位相について閉じたものの総称であり、それらを調べる解析学の分野（作用素環論）の名でもある。行列の環 $M_n(\mathbb{C})$ と連続関数の環 $C(X)$ の両方を例にもち、非可換な代数を「関数の環」のように扱う枠組みを与える。量子力学では観測量が自己共役作用素で表され、有界な観測量や、観測量から作られる有界作用素（スペクトル射影、時間発展のユニタリ作用素）のなす代数がこの分野の対象になる。
この記事では、作用素環の 2 つの柱である $C^*$-環と von Neumann 環を定義し、分野の主な定理を見渡したうえで、「単位的 $C^*$-環の間の単位的 $*$-準同型は自動的にノルムを増やさず、単射なら等長である」ことを完全に証明する。この定理から、$C^*$-環のノルムが代数の構造だけで決まることが従う。

定義

$H$ を複素 Hilbert空間 とし、内積は第 1 変数について線形とする。$H$ 上の有界線形作用素全体を $B(H)$ と書き、作用素ノルム $\|T\|:=\sup_{\|x\|\leq1}\|Tx\|$ を入れる。$B(H)$ は合成を積として単位的 Banach代数 であり（Banach代数 の例「連続関数と有界作用素」）、各 $T$ には $\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle$ を満たす随伴作用素 $T^*$ がただ 1 つある。

この定義は Banach環とC*-環のスペクトル理論 の定義「$C^*$-環と正規元」と同じである。$a=a^*$ を満たす元を自己共役元、$a^*a=aa^*$ を満たす元を正規元という。

$C^*$-部分環は $B(H)$ のノルムと随伴で $C^*$-環になる（次の prop-oa-bh-cstar による）。逆に、どの $C^*$-環もある $B(H)$ の $C^*$-部分環と等長 $*$-同型である（下の thm-oa-gelfand-naimark）。したがって「抽象的な $C^*$-環」と「作用素の環」は同じものを 2 つの側から見ている。von Neumann 環は弱作用素位相で閉じているのでノルムでも閉じており、$C^*$-部分環の特別なものである。

代表例

可換な $C^*$-環は、2 の形のものに限られる。単位的可換 $C^*$-環 $\mathcal{A}$ は、Gelfand 変換によって指標空間 $\Delta(\mathcal{A})$ 上の連続関数の環 $C(\Delta(\mathcal{A}))$ と等長 $*$-同型になる（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の定理「可換Gelfand--Naimark定理」）。このため一般の $C^*$-環は「非可換な空間の上の連続関数の環」とみなされ、作用素環の理論は位相空間論・測度論の非可換版という側面をもつ。$C^*$-環は位相空間に、von Neumann 環は測度空間に対応する。

分野の主な問いと定理

作用素環の基本的な問いは、(1) 抽象的に与えた $C^*$-環を作用素として表現できるか、(2) 環を同型を除いてどう分類するか、(3) 環の構造からどんな不変量が取り出せるか、の 3 つである。正本の記事で扱われている主な定理は次のとおりである。

1. に答えるのが次の定理である。

2. と (3) は、von Neumann 環の側では因子環の分類として進んだ。中心がスカラー倍だけの von Neumann 環を因子環といい（von Neumann環 の定義「中心と因子環」）、Murray と von Neumann は射影の大きさを比べる次元関数によって因子環を I 型・II 型・III 型に分けた（Kad58 pp. 64–67）。

$*$-準同型の自動連続性

$C^*$-環では、代数的な写像である $*$-準同型が自動的に連続になり、単射なら等長になる。ノルムが代数の構造で決まってしまうのである。以下、$\mathcal{A},\mathcal{B}$ は単位的 $C^*$-環で、$\mathcal{B}\neq\{0\}$ とする。元 $a$ の $\mathcal{A}$ でのスペクトルを $\sigma_{\mathcal{A}}(a)$、スペクトル半径を $r_{\mathcal{A}}(a)$ と書く（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の定義「スペクトル・レゾルベント・スペクトル半径」）。
証明には同記事の次の 3 つを使う。

• 命題「正規元ではノルムとスペクトル半径が一致する」：正規元 $a$ について $r_{\mathcal{A}}(a)=\|a\|$。
• 定理「自己共役元とユニタリ元のスペクトル」：自己共役元 $h$ について $\sigma_{\mathcal{A}}(h)\subset[-\|h\|,\|h\|]$。
• 定理「連続汎関数計算」：正規元 $a$ について、恒等関数を $a$ へ送る単位的 $*$-準同型 $C(\sigma_{\mathcal{A}}(a))\to\mathcal{A}$、$f\mapsto f(a)$ がただ 1 つあり、等長である。

この系は、$C^*$-環のノルムを別に与える必要がないことを意味する。実際、prf-oa-contractive の計算から $\|a\|^2=r_{\mathcal{A}}(a^*a)$ であり、右辺はどの $\lambda$ で $\lambda1-a^*a$ が可逆かという代数的な情報だけで決まる。

量子力学との関係

量子力学 では、観測量を Hilbert 空間上の自己共役作用素で表し（量子力学 の定義「観測量」）、一般の状態を密度作用素で表す（同記事の定義「密度作用素の定義」）。作用素環の言葉では、状態は環の上の汎関数として捉え直される。単位的 $C^*$-環 $\mathcal{A}$ 上の線形汎関数 $\omega$ で、$\omega(a^*a)\geq0$（$a\in\mathcal{A}$）と $\omega(1)=1$ を満たすものを状態という（GNS構成 の定義「状態」）。

逆向きに、GNS構成 は $C^*$-環上の状態 $\omega$ から Hilbert 空間 $H_\omega$、表現 $\pi_\omega$、単位ベクトル $\Omega$ を作り、$\omega(a)=\langle\pi_\omega(a)\Omega,\Omega\rangle$ と書き直す。観測量の代数を先に与え、状態ごとに Hilbert 空間を作るこの見方は、自由度が無限にある量子系で、互いにユニタリ同値でない表現が現れるときに必要になる（GNS構成 の節「無限量子系での役割」）。

仮定を外したときの反例

1 行目：二元群 $\{e,s\}$ の群環 $\mathbb{C}[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$ の元を $a=(a(e),a(s))$ と書き、畳み込み積と $a^*(g):=\overline{a(g^{-1})}$ を入れる。$\chi_\pm(a):=a(e)\pm a(s)$ は乗法的で、$a\mapsto(\chi_+(a),\chi_-(a))$ は $\mathbb{C}^2$（成分ごとの積と複素共役）への $*$-同型なので、$\|a\|_{C^*}:=\max\{|\chi_+(a)|,|\chi_-(a)|\}$ で $C^*$-環になる。値域に $\ell^1$ ノルム $\|a\|_1:=|a(e)|+|a(s)|$ を入れた単位的 Banach $*$-環は $C^*$-恒等式を満たさない（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の例「反例：Banach $*$-環であるだけでは $C^*$-恒等式は出ない」）。恒等写像は単位的 $*$-同型だが、$a=(1,i)$ では $\|a\|_{C^*}=|1\pm i|=\sqrt2$、$\|a\|_1=2$ である。
2 行目：$\varphi(X):=S^{-1}XS$ は単位的で積を保つ単射だが、行列単位 $E_{12}$ について $\varphi(E_{12})=2E_{12}$、$\varphi(E_{21})=\tfrac12E_{21}$ なので $\varphi(E_{12}^*)\neq\varphi(E_{12})^*$ であり、$\|\varphi(E_{12})\|=2>1=\|E_{12}\|$ である。
3 行目：$(x,y)\mapsto x$ は単位的 $*$-準同型（$\mathbb{C}^2$ は一様ノルムで $C^*$-環）だが、$\|\pi(0,1)\|=0<1$ である。
4 行目：係数の複素共役を対合とすると、$[0,1]$ でも $[0,2]$ でも $\|\overline{p}p\|_\infty=\|p\|_\infty^2$ が成り立つが、どちらのノルムでも $\mathbb{C}[t]$ は完備でない。$\|t\|$ は前者で $1$、後者で $2$ であり、2 つのノルムは一致しない。

学ぶ順の道筋

1. 土台：Hilbert空間、随伴作用素、Banach代数。
2. $C^*$-環：Banach環とC*-環のスペクトル理論（スペクトル、可換 Gelfand–Naimark 定理、連続汎関数計算）、この記事の thm-oa-contractive と thm-oa-isometric、GNS構成。
3. von Neumann 環：von Neumann環（作用素位相、二重可換子定理、因子環）、スペクトル定理。
4. 応用：量子力学、量子力学の関数解析的構造。

関連項目

• 前提: Hilbert空間, 随伴作用素, Banach代数
• 比較: Banach環とC*-環のスペクトル理論, コンパクト作用素
• 直後に読む: GNS構成, von Neumann環
• 発展: スペクトル定理, 量子力学, 関数解析