アフィン部分空間

(i)：$x=a+w$、$y=a+w'$（$w,w'\in W$）なら $x-y=w-w'\in W$ である。逆に $w\in W$ なら $w=(a+w)-(a+0)$ で、$a+w,a\in A$ である。
(ii)：$a'=a+w_0$（$w_0\in W$）とする。$a'+w=a+(w_0+w)\in A$ であり、$a+w=a'+(w-w_0)\in a'+W$ なので $A=a'+W$ である。
(iii)：$A$ が部分空間なら $0\in A$ である。$0\in A$ なら (ii) により $A=0+W=W$ で、$A$ は部分空間である。
(iv)：$a+W$ と $b+W$ が点 $c$ を共有すれば、(ii) によりどちらも $c+W$ に等しい。方向が $W$ のアフィン部分空間は $a+W$（$a\in V$）の形の集合であり、これは $V/W$ の元そのものである。$\square$

段 1（(i)⇒(ii)）：$A=a+W$ とし、$x_i=a+w_i$（$w_i\in W$）、$\sum_i\lambda_i=1$ とする。
$$ \sum_i\lambda_ix_i=\Bigl(\sum_i\lambda_i\Bigr)a+\sum_i\lambda_iw_i=a+\sum_i\lambda_iw_i\in a+W $$
である。(ii)⇒(iii) は $m=2$ の場合である。
段 2（2 種類の結合で閉じていれば (i)）：$A$ が次の 2 つを満たすとする。(a) $x,y\in A$、$c\in K$ なら $cx+(1-c)y\in A$。(b) $x,y,z\in A$ なら $x+y-z\in A$。$a\in A$ を 1 つ固定し、$W:=\{x-a\mid x\in A\}$ とおく。$0=a-a\in W$ である。$x-a,\ y-a\in W$ と $c\in K$ について、
$$ (x-a)+(y-a)=(x+y-a)-a,\qquad c(x-a)=\bigl(cx+(1-c)a\bigr)-a $$
であり、(b) により $x+y-a\in A$、(a) により $cx+(1-c)a\in A$ なので、どちらも $W$ に入る。よって $W$ は部分空間で、$A=a+W$ はアフィン部分空間である。(ii) を仮定すれば (a)(b) はどちらもアフィン結合（係数の和は $c+(1-c)=1$ と $1+1-1=1$）なので成り立ち、(ii)⇒(i) が示された。
段 3（$K$ の元が $3$ 個以上なら (iii)⇒(b)）：$\lambda\in K$ を $\lambda\ne0,1$ にとる（$K$ の元が $3$ 個以上なのでとれる）。$x,y,z\in A$ について、(iii) により
$$ p:=\lambda x+(1-\lambda)z\in A,\qquad r:=\mu y+(1-\mu)z\in A\qquad\Bigl(\mu:=\frac{\lambda}{\lambda-1}\Bigr) $$
である。さらに $\nu:=1/\lambda$ として $\nu p+(1-\nu)r\in A$ である。この点を展開すると、$x$ の係数は $\nu\lambda=1$、$y$ の係数は $(1-\nu)\mu=\frac{\lambda-1}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{\lambda-1}=1$、$z$ の係数は
$$ \nu(1-\lambda)+(1-\nu)(1-\mu)=\frac{1-\lambda}{\lambda}+\frac{\lambda-1}{\lambda}\cdot\frac{-1}{\lambda-1}=\frac{1-\lambda-1}{\lambda}=-1 $$
である。よって $x+y-z=\nu p+(1-\nu)r\in A$ となり (b) が成り立つ。(a) は (iii) そのものなので、段 2 により (i) が従う。$\square$

(i)：共通部分の点 $c$ をとると、prop-as-direction の (ii) により $A_j=c+W_j$ なので、$\bigcap_jA_j=\bigcap_j(c+W_j)=c+\bigcap_jW_j$ である。部分空間の共通部分は部分空間である。
(ii)：$U:=\operatorname{span}\{s-s_0\mid s\in S\}$ とする。$\sum_i\lambda_i=1$ なら $\sum_i\lambda_is_i=s_0+\sum_i\lambda_i(s_i-s_0)\in s_0+U$ である。逆に $s_0+\sum_ic_i(s_i-s_0)=\bigl(1-\sum_ic_i\bigr)s_0+\sum_ic_is_i$ は係数の和が $1$ のアフィン結合である。よって $\operatorname{aff}S=s_0+U$ はアフィン部分空間で、$s=1\cdot s$ なので $S$ を含む。$S$ を含むアフィン部分空間は thm-as-characterization の (ii) によりアフィン結合で閉じているので、$\operatorname{aff}S$ を含む。$\square$

(i)：$T(x_0)=c$ となる $x_0$ があれば、$T(x)=c$ は $T(x-x_0)=0$、すなわち $x-x_0\in\ker T$ と同値なので、$T^{-1}(c)=x_0+\ker T$ である。
(ii)：$A=a+W$、$\dim W=d$ とする。商ベクトル空間 $V/W$ の次元は $n-d$ である（次元 の記事の命題「商と直和の次元」）ので、線形同型 $\varphi\colon V/W\to K^{n-d}$ がある。標準射影 $\pi\colon V\to V/W$ との合成 $S:=\varphi\circ\pi$ は全射な線形写像で、$c:=S(a)$ とおくと
$$ S(x)=c\iff\pi(x)=\pi(a)\iff x-a\in W\iff x\in A $$
である（2 つ目の同値は 商ベクトル空間 の記事の命題「剰余類が等しくなる条件」）。$V=K^n$ なら $S$ は $(n-d)\times n$ 行列 $M$ による写像 $x\mapsto Mx$ で、$S$ が全射なので $M$ の階数は $n-d$、すなわち $M$ の $n-d$ 本の行は線形独立である。$A=\{x\mid Mx=c\}$ は、$M$ の各行を係数とする $n-d$ 本の方程式の連立の解の全体である。$\square$

(i)：$c\in A\cap B$ なら $c=a+u=b+w$（$u\in U$、$w\in W$）と書けて、$b-a=u-w\in U+W$ である。逆に $b-a=u-w$（$u\in U$、$w\in W$）なら $c:=a+u=b+w$ は $A\cap B$ に入る。このとき prop-as-direction の (ii) により $A=c+U$、$B=c+W$ なので、prop-as-hull の (i) により $A\cap B=c+(U\cap W)$ である。
(ii)：$X:=U+W+K(b-a)$、$J:=a+X$ とおく。$a+u\in J$、$b+w=a+\bigl((b-a)+w\bigr)\in J$ なので $J\supset A\cup B$ である。逆に $C$ を $A\cup B$ を含むアフィン部分空間とし、方向を $Y$ とすると、$a\in C$ なので $C=a+Y$ である。$a+u\in C$ から $u\in Y$、$b\in C$ から $b-a\in Y$、$b+w\in C$ から $(b-a)+w\in Y$、よって $w\in Y$ である。したがって $Y\supset X$ で、$C\supset J$ である。
(iii)：$A\cap B\ne\emptyset$ なら (i) により $b-a\in U+W$ なので $X=U+W$ である。$A\cap B=\emptyset$ なら $b-a\notin U+W$ なので、$U+W$ の基底に $b-a$ を加えたものは線形独立で $X$ の基底になり、$\dim X=\dim(U+W)+1$ である。最後の等式は 次元 の記事の命題「部分空間の和の次元」である。$\square$

(i)：$\sum\lambda_i=1$ なら $f(\sum\lambda_ix_i)=\sum\lambda_iT(x_i)+(\sum\lambda_i)b=\sum\lambda_if(x_i)$ である。$f(a+w)=f(a)+T(w)$ なので $f(A)=f(a)+T(W)$ である。$f(x_0)\in B$ となる $x_0$ があれば、$f(x)\in B$ は $f(x)-f(x_0)=T(x-x_0)\in W'$、すなわち $x-x_0\in T^{-1}(W')$ と同値なので、$f^{-1}(B)=x_0+T^{-1}(W')$ である。
(ii)：$x+y=1\cdot x+1\cdot y+(-1)\cdot0$ と $cx=c\cdot x+(1-c)\cdot0$ はアフィン結合なので、$f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)$、$f(cx)=cf(x)+(1-c)f(0)$ である。両辺から $f(0)$ を引くと $T(x+y)=T(x)+T(y)$、$T(cx)=cT(x)$ となる。$\square$