基本開集合

1 ⟺ 2：包含の性質（上の表）を $f=1$ に当てると、$D(1)=\operatorname{Spec}A\subset\bigcup_iD(f_i)$ は $1\in\sqrt{(f_i)_i}$ と同値である。$1^n=1$ なので、これは $1\in(f_i)_i$、すなわち $(f_i)_i=A$ と同値である。
2 ⟺ 3：イデアル $(f_i)_i$ の元は $f_i$ の有限個の $A$ 係数の和なので、$1$ がそこに属することは 3 と同じである。
最後の主張：3 が成り立てば、族 $(f_{i_1},\dots,f_{i_r})$ について 3 が成り立つので、それに 3 ⇒ 1 を当てればよい。$\square$

1：$x\in U$ が $C$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対応するとする。$U$ は開集合なので茎は $\mathcal{O}_{X,x}=\mathcal{O}_{U,x}\cong C_{\mathfrak{p}}$ であり、$f_x$ は $f|_U$ の $C_{\mathfrak{p}}$ での像 $f|_U/1$ である。局所環 $C_{\mathfrak{p}}$ で $f|_U/1$ が単元であることは $f|_U\notin\mathfrak{p}$ と同値なので、$x\in X_f$ ⟺ $\mathfrak{p}\in D_U(f|_U)$ である。$D_U(f|_U)$ は $U$ の開集合であり、アフィン開集合たちは $X$ を覆うので、$X_f=\bigcup_U(U\cap X_f)$ は開集合である。開集合 $V$ について $V\cap X_f=V_{f|_V}$ となるのは、$V$ の点での茎と $f|_V$ の芽が $X$ でのものと同じだからである。
2：$\kappa(x)$ は体なので、$(fg)(x)=f(x)g(x)$ が $0$ でないことは $f(x)\neq0$ かつ $g(x)\neq0$ と同値である。$f$ が単元なら各茎 $f_x$ も単元なので $X_f=X$ である。逆に $X_f=X$ とする。各アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}C$ について、1 により $D_U(f|_U)=U$ なので、$f|_U$ は $C$ の単元である（Zariski位相 の命題「基本開集合の性質」の 2）。$U$ 上の逆元 $u_U:=(f|_U)^{-1}$ は、2 つのアフィン開集合の共通部分の上ではどちらも $f$ の逆元なので一致する（逆元は一意）。$X$ を覆うアフィン開集合で層の公理により貼り合わせると、$fu=1$ となる $u\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ が得られる。
3：$y\in Y$、$x:=h(y)$ とする。スキームの射は茎の準同型 $h^\sharp_y\colon\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{Y,y}$ を与え、これは $f_x$ を $(h^\sharp f)_y$ に写す。$h^\sharp_y$ は局所準同型なので、$a\in\mathcal{O}_{X,x}$ が単元であることとその像が単元であることは同値である（単元の像は単元であり、単元でない $a$ は極大イデアルに属するから像も極大イデアルに属する）。よって $y\in Y_{h^\sharp(f)}$ ⟺ $x\in X_f$ である。$\operatorname{Spec}\varphi$ の大域切断の準同型は $\varphi$ なので（アフィンスキーム の命題「環準同型が定める射」）、最後の主張が従う。
4：$X\cong\operatorname{Spec}A$ なら、1 により $X_f$ は $D(f)$ に対応し、$D(f)\cong\operatorname{Spec}A_f$ はアフィンである（アフィンスキーム の命題「基本開集合はアフィン」）。$\square$

$X$ は準コンパクトなので、有限個のアフィン開集合 $U_1,\dots,U_n$ で覆える。$U_i=\operatorname{Spec}C_i$、$f_i:=f|_{U_i}$、$b_i:=b|_{U_i}\in C_i$ とおく。dos-prop-scheme の 1 により $U_i\cap X_f=D(f_i)$ であり、$b_i$ の $D(f_i)$ への制限は $0$ である。アフィンスキーム の定理「基本開集合の上の切断」の同型 $(C_i)_{f_i}\cong\mathcal{O}_{U_i}(D(f_i))$ のもとでこの制限は $b_i/1$ に当たるから、$(C_i)_{f_i}$ で $b_i/1=0$、すなわち $f_i^{N_i}b_i=0$ となる $N_i\ge0$ がある。$N:=\max_iN_i$ とおけば、$f^Nb$ の各 $U_i$ への制限は $f_i^{N}b_i=0$ であり、層の公理により $f^Nb=0$ である。$\square$

$\rho$ が定まることは局所化の普遍性による。
単射性：$\rho(b/f^m)=0$ とすると、$(f|_{X_f})^{-m}$ は単元なので $b|_{X_f}=0$ である。dos-lem-qc により $f^Nb=0$ となる $N$ があり、$B_f$ で $b/f^m=0$ である。
全射性：$s\in\Gamma(X_f,\mathcal{O}_X)$ をとる。有限個のアフィン開集合 $U_i=\operatorname{Spec}C_i$（$1\le i\le n$）で $X$ を覆い、$f_i:=f|_{U_i}$ とおく。$U_i\cap X_f=D(f_i)$ であり、$s|_{D(f_i)}\in\mathcal{O}_{U_i}(D(f_i))\cong(C_i)_{f_i}$ だから、$a_i\in C_i$ と $m_i\ge0$ により $s|_{D(f_i)}=a_i/f_i^{m_i}$ と書ける。分子と分母に $f_i$ の冪を掛けて、$m_i$ は共通の $m$ にそろえておく。
$i,j$ を固定し、$U_{ij}:=U_i\cap U_j$ とおく。$c:=a_i|_{U_{ij}}-a_j|_{U_{ij}}\in\Gamma(U_{ij},\mathcal{O}_X)$ は、$(U_{ij})_{f}=U_{ij}\cap X_f$ の上で $f^m\cdot s-f^m\cdot s=0$ に等しいので、$c$ の $(U_{ij})_f$ への制限は $0$ である。$X$ は準分離的なので $U_{ij}$ は準コンパクトであり、スキーム $U_{ij}$ と $f|_{U_{ij}}$ に dos-lem-qc を当てると、$f^{N_{ij}}c=0$ となる $N_{ij}$ がある。$N:=\max_{i,j}N_{ij}$ とおくと、すべての $i,j$ について $U_{ij}$ の上で $f^Na_i=f^Na_j$ である。
したがって切断 $f^Na_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$ たちは層の公理により貼り合い、$b|_{U_i}=f^Na_i$ となる $b\in B$ が得られる。各 $D(f_i)$ の上で
$$ \rho\Bigl(\frac{b}{f^{N+m}}\Bigr)\Big|_{D(f_i)}=\frac{f_i^Na_i}{f_i^{N+m}}=\frac{a_i}{f_i^m}=s|_{D(f_i)} $$
であり、$D(f_i)$ たちは $X_f$ を覆うので、$\rho(b/f^{N+m})=s$ である。$\square$

全射性：$A_f$ の元 $a/f^n$ は $\psi(aT^n)$ である。$\psi(fT-1)=f\cdot(1/f)-1=0$ なので、$\psi$ は $A$ 代数の準同型 $\bar\psi\colon A[T]/(fT-1)\to A_f$ を誘導する。
$\bar\psi$ が同型であることを示す。$R:=A[T]/(fT-1)$ において $T$ の像を $\bar T$ とすると $f\bar T=1$ なので、$f$ の像は $R$ の単元である。局所化の普遍性により、$A\to R$ は $A$ 代数の準同型 $\chi\colon A_f\to R$、$a/f^n\mapsto a\bar T^n$ を経由する。$\bar\psi\circ\chi(a/f^n)=a/f^n$ なので $\bar\psi\circ\chi=\mathrm{id}$ である。$\chi\circ\bar\psi$ は $A$ 代数の準同型 $R\to R$ で、$\bar T\mapsto 1/f\mapsto\bar T$ と $R$ の $A$ 代数としての生成元 $\bar T$ を固定するので、恒等写像である。よって $\bar\psi$ は同型であり、$\ker\psi=(fT-1)$ である。
幾何的な主張は、環の同型 $A_f\cong A[T]/(fT-1)$ が $A$ 代数の同型であることと、アフィンスキームの射と環準同型の対応（アフィンスキーム の系「可換環の圏とアフィンスキームの圏の反同値」）による。$\square$