楕円積分

$\Delta(k,\theta):=\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}$ とおく。1：$0<\theta\le\frac\pi2$ では $\Delta$ は $k$ について狭義単調減少で、$0<\Delta\le1$ である。よって $1/\Delta$ の積分 $K$ は増加し、$\Delta$ の積分 $E$ は減少する。$k=0$ では $\Delta=1$ である。
2：$k_0<1$ を固定すると、$\Delta$ と $1/\Delta$ は $[0,k_0]\times[0,\frac\pi2]$ 上で連続、したがって一様連続なので、$K$ と $E$ は $[0,k_0]$ 上連続である。$\Delta$ は $[0,1]\times[0,\frac\pi2]$ 上でも連続なので $E$ は $[0,1]$ 上連続で、$E(1)=\int_0^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=1$ である。
3：$0<\delta<\frac\pi2$ とする。$[0,\frac\pi2-\delta]$ では $\cos\theta>0$ なので、$k\to1$ で $1/\Delta\to1/\cos\theta$ が一様に成り立ち、$\liminf_{k\to1}K(k)\ge\int_0^{\pi/2-\delta}\frac{d\theta}{\cos\theta}=\log\frac{1+\cos\delta}{\sin\delta}$ である。$\delta\to0$ で右辺は $+\infty$ に近づく。$\square$

一般二項定理（二項定理と組合せの恒等式の定理「一般二項定理」）を $\alpha=\mp\frac12$ と $-x$ に使う。$\binom{-1/2}n(-1)^n=\frac{\frac12\cdot\frac32\cdots\frac{2n-1}2}{n!}=c_n$ であり、$n\ge1$ では $\binom{1/2}n(-1)^n=-\frac{\frac12\cdot\frac12\cdot\frac32\cdots\frac{2n-3}2}{n!}=-\frac{c_n}{2n-1}$ である。よって $0\le x<1$ で
$$ \frac1{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n,\qquad\sqrt{1-x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{c_n}{1-2n}x^n $$
である。$x=k^2\sin^2\theta$ とおくと、$\theta\in[0,\frac\pi2]$ で各項の絶対値は $c_nk^{2n}$ 以下であり、$\sum_nc_nk^{2n}=(1-k^2)^{-1/2}<\infty$ である。一様収束の定理「Weierstrassの優級数判定法」により 2 つの級数は $[0,\frac\pi2]$ 上一様収束し、定理「一様収束と積分の交換」により項別に積分できる。Wallis積分（高校数学）の命題「Wallis 積分の値」により $\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\theta\,d\theta=\frac\pi2c_n$ なので、主張を得る。$\square$

$k=0$ では両辺とも $\frac\pi2$ である。$0< k<1$ とし、$f(\theta):=\sin\theta\cos\theta/\Delta$ とおく。$s:=\sin^2\theta$ と書くと $\Delta^2=1-k^2s$ であり、
$$ f'(\theta)=\frac{(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\Delta^2+k^2\sin^2\theta\cos^2\theta}{\Delta^3}=\frac{(1-2s)(1-k^2s)+k^2s(1-s)}{\Delta^3}=\frac{1-2s+k^2s^2}{\Delta^3} $$
である。$s=(1-\Delta^2)/k^2$ を代入すると分子は $\frac{\Delta^4-k'^2}{k^2}$ となるので、$f'=\frac1{k^2}\bigl(\Delta-\frac{k'^2}{\Delta^3}\bigr)$ である。$f(0)=f(\frac\pi2)=0$ なので、$0$ から $\frac\pi2$ まで積分して $E(k)=k'^2\int_0^{\pi/2}\Delta^{-3}\,d\theta$ を得る。$\square$

$k_0<1$ を固定すると、$\Delta$ と $1/\Delta$ の $k$ についての偏導関数は $[0,k_0]\times[0,\frac\pi2]$ 上連続なので、積分記号下で微分できる（Rud76 Theorem 9.42, p. 236）。$k^2\sin^2\theta=1-\Delta^2$ を使うと
$$ \frac{dE}{dk}=\int_0^{\pi/2}\frac{-k\sin^2\theta}{\Delta}\,d\theta=\frac1k\int_0^{\pi/2}\frac{\Delta^2-1}{\Delta}\,d\theta=\frac{E-K}k $$
であり、
$$ \frac{dK}{dk}=\int_0^{\pi/2}\frac{k\sin^2\theta}{\Delta^3}\,d\theta=\frac1k\int_0^{\pi/2}\Bigl(\frac1{\Delta^3}-\frac1\Delta\Bigr)d\theta=\frac1k\Bigl(\frac{E}{k'^2}-K\Bigr) $$
である（最後は lem-ell-delta-cube）。$\square$

置換 $t=\sin\theta$ により $K(\kappa)=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\kappa^2t^2)}}$ である。$0\le t<1$ で $1-t^2\ge1-t$、$1-\kappa^2t^2\ge1-\kappa t$ なので、$s=1-t$ と置換して
$$ K(\kappa)\le\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t)(1-\kappa t)}}=\int_0^1\frac{ds}{\sqrt{s\,(1-\kappa+\kappa s)}} $$
である。$G(s):=\frac2{\sqrt\kappa}\log\bigl(\sqrt{\kappa s}+\sqrt{1-\kappa+\kappa s}\bigr)$ を微分すると $G'(s)=\frac1{\sqrt s\sqrt{1-\kappa+\kappa s}}$ となるので、右辺は $G(1)-G(0)=\frac2{\sqrt\kappa}\log\frac{\sqrt\kappa+1}{\sqrt{1-\kappa}}$ である。$\square$

左辺を $L(k)$ とおく。$k'=\sqrt{1-k^2}$ は $\frac{dk'}{dk}=-\frac k{k'}$ を満たすので、prop-ell-derivatives を母数 $k'$ で使い、$k'^2$ と $k^2$ の役割を入れ替えると
$$ \frac{dE'}{dk}=-\frac{k(E'-K')}{k'^2},\qquad\frac{dK'}{dk}=-\frac{E'-k^2K'}{k\,k'^2} $$
である。$\frac{dE}{dk}-\frac{dK}{dk}=\frac{k'^2(E-K)-E+k'^2K}{kk'^2}=-\frac{kE}{k'^2}$ に注意して $L=(E-K)K'+E'K$ を微分し、$kk'^2$ を掛けると
$$ kk'^2\frac{dL}{dk}=-k^2EK'-(E-K)(E'-k^2K')-k^2(E'-K')K+E'(E-k'^2K) $$
である。$k'^2=1-k^2$ を使って右辺を展開すると
$$ -k^2EK'+\bigl(-EE'+k^2EK'+KE'-k^2KK'\bigr)+\bigl(-k^2E'K+k^2KK'\bigr)+\bigl(EE'-E'K+k^2E'K\bigr)=0 $$
となる。よって $L$ は $(0,1)$ 上で定数である。
$k\to0$ の極限を求める。$K-E=\int_0^{\pi/2}\frac{1-\Delta^2}{\Delta}\,d\theta=\int_0^{\pi/2}\frac{k^2\sin^2\theta}{\Delta}\,d\theta$ なので $0\le K-E\le\frac{\pi k^2}{2k'}$ である。lem-ell-log-bound を $\kappa=k'$ に使い、$1-k'=\frac{k^2}{1+k'}\ge\frac{k^2}2$ を用いると $K'(k)\le\frac2{\sqrt{k'}}\log\frac{2\sqrt2}{k}$ である。よって $k\to0$ で $(E-K)K'\to0$ である。また $E'(k)=E(k')\to E(1)=1$、$K(k)\to K(0)=\frac\pi2$ である（prop-ell-basic）。したがって $L=(E-K)K'+E'K\to\frac\pi2$ であり、定数 $L$ は $\frac\pi2$ に等しい。$\square$

$\cos^2\theta+k'^2\sin^2\theta=1-k^2\sin^2\theta$ なので、算術幾何平均と積分の定理「算術幾何平均の積分表示」を $a=1$, $b=k'$ に使えばよい。$\square$