Warped積多様体

(1)(2) は局所座標 $(x^i,y^\alpha)$ で $\tilde X=X^i(x)\partial_i$、$\tilde V=V^\alpha(y)\partial_\alpha$ と書けることから直接従う。たとえば $[\tilde X,\tilde V]=X^i\partial_i(V^\alpha)\partial_\alpha-V^\alpha\partial_\alpha(X^i)\partial_i=0$（$V^\alpha$ は $x$ によらず、$X^i$ は $y$ によらない）であり、$[\tilde X,\tilde Y]$ の成分は $X^j\partial_jY^i-Y^j\partial_jX^i$ で $[X,Y]$ の成分と一致する。(3) は $d\pi(\tilde V)=0$、$d\sigma(\tilde X)=0$ と $g$ の定義による。(4)：$(p,q)$ で $T_pB$ の正規直交基底 $x_1,\dots,x_m$ と $T_qF$ の正規直交基底 $E_1,\dots,E_d$ をとると、(3) により $\tilde x_1,\dots,\tilde x_m,f(p)^{-1}\tilde E_1,\dots,f(p)^{-1}\tilde E_d$ は $g$ に関する $T_{(p,q)}M$ の正規直交基底で、符号はそれぞれ $g_B(x_i,x_i)$、$g_F(E_j,E_j)$ である。(5)：(2)(3) により、水平持ち上げ $\widetilde{\mathrm{grad}f}$ は $g(\widetilde{\mathrm{grad}f},\tilde X)=g_B(\mathrm{grad}f,X)=Xf=\tilde X(f\circ\pi)$、$g(\widetilde{\mathrm{grad}f},\tilde V)=0=\tilde V(f\circ\pi)$ を満たし、持ち上げは各点で $T_{(p,q)}M$ を張るので $\widetilde{\mathrm{grad}f}$ は $f\circ\pi$ の勾配である。$\square$

Koszul の公式（リーマン接続）
$$ 2g(\nabla_AC,D)=A\,g(C,D)+C\,g(D,A)-D\,g(A,C)-g(A,[C,D])+g(C,[D,A])+g(D,[A,C]) $$
を、$A,C,D$ に持ち上げを代入して計算する。持ち上げは各点で接空間を張り $g$ は非退化なので、$\nabla_AC$ はすべての持ち上げ $D$ との内積で決まる。以下 lem-warped-product-lifts を断りなく用いる。
(1) $D=\tilde Z$（$Z\in\mathfrak{X}(B)$）のとき、右辺の各項は $B$ 上の対応する項の引き戻しになる（$\tilde X g(\tilde Y,\tilde Z)=(Xg_B(Y,Z))\circ\pi$、$g(\tilde X,[\tilde Y,\tilde Z])=g_B(X,[Y,Z])\circ\pi$ など）ので、$2g(\nabla_{\tilde X}\tilde Y,\tilde Z)=2g_B(\nabla^B_XY,Z)\circ\pi=2g(\widetilde{\nabla^B_XY},\tilde Z)$ である。$D=\tilde V$ のとき、$g(\tilde Y,\tilde V)=g(\tilde V,\tilde X)=0$、$\tilde Vg(\tilde X,\tilde Y)=\tilde V(g_B(X,Y)\circ\pi)=0$、$[\tilde Y,\tilde V]=[\tilde V,\tilde X]=0$、$g(\tilde V,[\tilde X,\tilde Y])=g(\tilde V,\widetilde{[X,Y]})=0$ なので右辺は $0$ である。よって $\nabla_{\tilde X}\tilde Y=\widetilde{\nabla^B_XY}$。
(2) $A=\tilde X$、$C=\tilde V$ とする。$D=\tilde Y$ のとき、$g(\tilde V,\tilde Y)=g(\tilde X,\tilde V)=0$、$\tilde Yg(\tilde X,\tilde V)=0$、$[\tilde V,\tilde Y]=[\tilde X,\tilde V]=0$、$g(\tilde V,[\tilde Y,\tilde X])=0$ より右辺は $0$ である。$D=\tilde W$ のとき、$\tilde Xg(\tilde V,\tilde W)=\tilde X\bigl(f^2\,g_F(V,W)\circ\sigma\bigr)=2f\,(Xf)\,g_F(V,W)\circ\sigma=\frac{2Xf}{f}g(\tilde V,\tilde W)$ であり、他の項は $g(\tilde W,\tilde X)=g(\tilde X,\tilde V)=0$、$[\tilde V,\tilde W]$ が垂直で $g(\tilde X,[\tilde V,\tilde W])=0$、$[\tilde W,\tilde X]=[\tilde X,\tilde V]=0$ によりすべて $0$ である。よって $2g(\nabla_{\tilde X}\tilde V,\tilde W)=\frac{2Xf}{f}g(\tilde V,\tilde W)$ となり、$\nabla_{\tilde X}\tilde V=\frac{Xf}{f}\tilde V$ である。さらに捩れがないことと $[\tilde X,\tilde V]=0$ から $\nabla_{\tilde V}\tilde X=\nabla_{\tilde X}\tilde V$ である。
(3) $A=\tilde V$、$C=\tilde W$ とする。$D=\tilde X$ のとき、$0$ でない項は $-\tilde Xg(\tilde V,\tilde W)=-\frac{2Xf}{f}g(\tilde V,\tilde W)$ だけである（$g(\tilde W,\tilde X)=g(\tilde X,\tilde V)=0$、$[\tilde W,\tilde X]=[\tilde X,\tilde V]=0$、$g(\tilde X,[\tilde V,\tilde W])=0$）。$Xf=g(\mathrm{grad}f,\tilde X)$ なので
$$ 2g(\nabla_{\tilde V}\tilde W,\tilde X)=-\frac{2g(\tilde V,\tilde W)}{f}g(\mathrm{grad}f,\tilde X) $$
であり、$\nabla_{\tilde V}\tilde W$ の水平成分は $-\frac{g(\tilde V,\tilde W)}{f}\mathrm{grad}f$ である。$D=\tilde U$（$U\in\mathfrak{X}(F)$）のとき、$f^2$ は垂直方向に定数なので $\tilde Vg(\tilde W,\tilde U)=f^2\,(Vg_F(W,U))\circ\sigma$ などとなり、括弧の項も $[\tilde W,\tilde U]=\widetilde{[W,U]}$ などから $f^2$ 倍の引き戻しになる。よって $2g(\nabla_{\tilde V}\tilde W,\tilde U)=f^2\cdot2g_F(\nabla^F_VW,U)\circ\sigma=2g(\widetilde{\nabla^F_VW},\tilde U)$ であり、垂直成分は $\widetilde{\nabla^F_VW}$ である。
局所座標の公式は、(1)–(3) に $X=\partial_i$、$Y=\partial_j$、$V=\partial_\alpha$、$W=\partial_\beta$ を代入して得られる。(1) から $\nabla_{\partial_i}\partial_j={}^B\Gamma^k_{ij}\partial_k$、(2) から $\nabla_{\partial_i}\partial_\beta=\frac{\partial_if}{f}\partial_\beta$、(3) から $\nabla_{\partial_\alpha}\partial_\beta={}^F\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\partial_\gamma-\frac{f^2(g_F)_{\alpha\beta}}{f}g_B^{kl}\partial_lf\,\partial_k$ である。$\square$

prop-warped-product-connection の (1)–(3) と lem-warped-product-lifts を用いる。$B$ 上の関数 $h$ に対し $\tilde V h=0$ であることを繰り返し使う。
(1) $\nabla_{\tilde X}\nabla_{\tilde Y}\tilde Z=\nabla_{\tilde X}\widetilde{\nabla^B_YZ}=\widetilde{\nabla^B_X\nabla^B_YZ}$ であり、$[\tilde X,\tilde Y]=\widetilde{[X,Y]}$ より $\nabla_{[\tilde X,\tilde Y]}\tilde Z=\widetilde{\nabla^B_{[X,Y]}Z}$ である。これらを組み合わせればよい。
(2) $[\tilde V,\tilde X]=0$ なので $R(\tilde V,\tilde X)\tilde Y=\nabla_{\tilde V}\nabla_{\tilde X}\tilde Y-\nabla_{\tilde X}\nabla_{\tilde V}\tilde Y$ である。第1項は $\nabla_{\tilde V}\widetilde{\nabla^B_XY}=\frac{(\nabla^B_XY)f}{f}\tilde V$ である。第2項は $\nabla_{\tilde V}\tilde Y=\frac{Yf}{f}\tilde V$ より
$$ \nabla_{\tilde X}\Bigl(\frac{Yf}{f}\tilde V\Bigr)=\tilde X\Bigl(\frac{Yf}{f}\Bigr)\tilde V+\frac{Yf}{f}\cdot\frac{Xf}{f}\tilde V=\Bigl(\frac{XYf}{f}-\frac{Xf\,Yf}{f^2}+\frac{Xf\,Yf}{f^2}\Bigr)\tilde V=\frac{XYf}{f}\tilde V $$
である。よって $R(\tilde V,\tilde X)\tilde Y=\frac{(\nabla^B_XY)f-XYf}{f}\tilde V=-\frac{H^f(X,Y)}{f}\tilde V$。
(3) (2) の計算と同じく $\nabla_{\tilde X}\nabla_{\tilde Y}\tilde V=\frac{XYf}{f}\tilde V$ なので、$\nabla_{\tilde X}\nabla_{\tilde Y}\tilde V-\nabla_{\tilde Y}\nabla_{\tilde X}\tilde V=\frac{[X,Y]f}{f}\tilde V$ である。一方 $\nabla_{[\tilde X,\tilde Y]}\tilde V=\nabla_{\widetilde{[X,Y]}}\tilde V=\frac{[X,Y]f}{f}\tilde V$ なので、差は $0$ である。
(4) $\nabla_{\tilde W}\tilde X=\frac{Xf}{f}\tilde W$ であり、$\frac{Xf}{f}$ は $B$ 上の関数なので $\nabla_{\tilde V}\nabla_{\tilde W}\tilde X=\frac{Xf}{f}\nabla_{\tilde V}\tilde W$ である。よって $\nabla_{\tilde V}\nabla_{\tilde W}\tilde X-\nabla_{\tilde W}\nabla_{\tilde V}\tilde X=\frac{Xf}{f}(\nabla_{\tilde V}\tilde W-\nabla_{\tilde W}\tilde V)=\frac{Xf}{f}[\tilde V,\tilde W]$ である。一方 $[\tilde V,\tilde W]=\widetilde{[V,W]}$ は垂直持ち上げなので $\nabla_{[\tilde V,\tilde W]}\tilde X=\frac{Xf}{f}[\tilde V,\tilde W]$ であり、差は $0$ である。
(5) $\phi:=g(\tilde V,\tilde W)/f=f\cdot g_F(V,W)\circ\sigma$ とおくと $\tilde X\phi=\frac{Xf}{f}\phi$ である。$[\tilde X,\tilde V]=0$ なので
\begin{align} \nabla_{\tilde X}\nabla_{\tilde V}\tilde W&=\nabla_{\tilde X}\bigl(\widetilde{\nabla^F_VW}-\phi\,\mathrm{grad}f\bigr)=\frac{Xf}{f}\widetilde{\nabla^F_VW}-\frac{Xf}{f}\phi\,\mathrm{grad}f-\phi\,\widetilde{\nabla^B_X\mathrm{grad}f},\\ \nabla_{\tilde V}\nabla_{\tilde X}\tilde W&=\nabla_{\tilde V}\Bigl(\frac{Xf}{f}\tilde W\Bigr)=\frac{Xf}{f}\nabla_{\tilde V}\tilde W=\frac{Xf}{f}\widetilde{\nabla^F_VW}-\frac{Xf}{f}\phi\,\mathrm{grad}f \end{align}
であり、差をとって $R(\tilde X,\tilde V)\tilde W=-\phi\,\widetilde{\nabla^B_X\mathrm{grad}f}$ を得る。
(6) $\psi(V,W):=g(\tilde V,\tilde W)/f=f\cdot g_F(V,W)\circ\sigma$ とおく。$\nabla_{\tilde W}\tilde U=\widetilde{\nabla^F_WU}-\psi(W,U)\,\mathrm{grad}f$ であり、$\nabla_{\tilde V}\mathrm{grad}f=\frac{(\mathrm{grad}f)f}{f}\tilde V=\frac{|\mathrm{grad}f|^2}{f}\tilde V$、$\tilde V\psi(W,U)=f\cdot(Vg_F(W,U))\circ\sigma$ なので
$$ \nabla_{\tilde V}\nabla_{\tilde W}\tilde U=\widetilde{\nabla^F_V\nabla^F_WU}-f\bigl(g_F(V,\nabla^F_WU)+Vg_F(W,U)\bigr)\mathrm{grad}f-\psi(W,U)\frac{|\mathrm{grad}f|^2}{f}\tilde V $$
である。$V,W$ を入れ替えて引く。$\mathrm{grad}f$ の係数は、$\nabla^F$ が計量的であること（$Vg_F(W,U)=g_F(\nabla^F_VW,U)+g_F(W,\nabla^F_VU)$）を用いると
$$ -f\bigl(g_F(V,\nabla^F_WU)-g_F(W,\nabla^F_VU)+Vg_F(W,U)-Wg_F(V,U)\bigr)=-f\,g_F(\nabla^F_VW-\nabla^F_WV,U)=-\psi([V,W],U) $$
となる。一方 $\nabla_{[\tilde V,\tilde W]}\tilde U=\widetilde{\nabla^F_{[V,W]}U}-\psi([V,W],U)\,\mathrm{grad}f$ なので、$\mathrm{grad}f$ の係数は打ち消し合う。残りは
$$ R(\tilde V,\tilde W)\tilde U=\widetilde{\nabla^F_V\nabla^F_WU-\nabla^F_W\nabla^F_VU-\nabla^F_{[V,W]}U}+\frac{|\mathrm{grad}f|^2}{f}\bigl(\psi(V,U)\tilde W-\psi(W,U)\tilde V\bigr) $$
であり、$\psi(V,U)=g(\tilde V,\tilde U)/f$ により主張の形になる。$\square$

点 $(p,q)$ で $T_pB$ の正規直交基底 $x_1,\dots,x_m$（$\epsilon_i:=g_B(x_i,x_i)$）と $T_qF$ の正規直交基底 $E_1,\dots,E_d$（$\delta_j:=g_F(E_j,E_j)$）をとり、これらを局所的にベクトル場に延長して持ち上げる。lem-warped-product-lifts (4) により $\tilde x_i$、$f^{-1}\tilde E_j$ は $g$ の正規直交基底なので、任意の $A,C$ に対し
$$ \mathrm{Ric}(A,C)=\sum_{i=1}^m\epsilon_i\,g(R(\tilde x_i,A)C,\tilde x_i)+\sum_{j=1}^d\delta_jf^{-2}\,g(R(\tilde E_j,A)C,\tilde E_j) $$
である。以下 prop-warped-product-curvature を用いる。
$A=\tilde X$、$C=\tilde Y$：第1の和は (1) により $\sum_i\epsilon_ig_B(R^B(x_i,X)Y,x_i)=\mathrm{Ric}^B(X,Y)$ である。第2の和は (2) により $g(R(\tilde E_j,\tilde X)\tilde Y,\tilde E_j)=-\frac{H^f(X,Y)}{f}g(\tilde E_j,\tilde E_j)=-\frac{H^f(X,Y)}{f}f^2\delta_j$ なので $\sum_j\delta_jf^{-2}\cdot\bigl(-\frac{H^f(X,Y)}{f}f^2\delta_j\bigr)=-\frac dfH^f(X,Y)$ である。
$A=\tilde X$、$C=\tilde V$：(3) により $R(\tilde x_i,\tilde X)\tilde V=0$ である。(5) により $R(\tilde E_j,\tilde X)\tilde V=-R(\tilde X,\tilde E_j)\tilde V=\frac{g(\tilde E_j,\tilde V)}{f}\widetilde{\nabla^B_X\mathrm{grad}f}$ は水平なので $\tilde E_j$ との内積は $0$ である。
$A=\tilde V$、$C=\tilde W$：(5) により $g(R(\tilde x_i,\tilde V)\tilde W,\tilde x_i)=-\frac{g(\tilde V,\tilde W)}{f}g_B(\nabla^B_{x_i}\mathrm{grad}f,x_i)$ なので、第1の和は $-\frac{g(\tilde V,\tilde W)}{f}\sum_i\epsilon_iH^f(x_i,x_i)=-\frac{g(\tilde V,\tilde W)}{f}\Delta f$ である。第2の和は (6) により
$$ g(R(\tilde E_j,\tilde V)\tilde W,\tilde E_j)=f^2g_F(R^F(E_j,V)W,E_j)+\frac{|\mathrm{grad}f|^2}{f^2}\bigl(g(\tilde E_j,\tilde W)g(\tilde V,\tilde E_j)-g(\tilde V,\tilde W)g(\tilde E_j,\tilde E_j)\bigr) $$
であり、$\sum_j\delta_jf^{-2}f^2g_F(R^F(E_j,V)W,E_j)=\mathrm{Ric}^F(V,W)$、$\sum_j\delta_jf^{-2}g(\tilde E_j,\tilde W)g(\tilde V,\tilde E_j)=f^2\sum_j\delta_jg_F(E_j,W)g_F(V,E_j)=f^2g_F(V,W)=g(\tilde V,\tilde W)$、$\sum_j\delta_jf^{-2}g(\tilde E_j,\tilde E_j)=d$ である。まとめると
$$ \mathrm{Ric}(\tilde V,\tilde W)=-\frac{g(\tilde V,\tilde W)}{f}\Delta f+\mathrm{Ric}^F(V,W)+\frac{|\mathrm{grad}f|^2}{f^2}(1-d)\,g(\tilde V,\tilde W) $$
となり、主張の形である。局所座標の式は $X=\partial_i$ などを代入し $g_{\alpha\beta}=f^2(g_F)_{\alpha\beta}$ を用いればよい。$\square$

$Q(u,w):=g(u,u)g(w,w)-g(u,w)^2$ とおく。第1式：prop-warped-product-curvature (1) により $g(R(\tilde X,\tilde Y)\tilde Y,\tilde X)=g_B(R^B(X,Y)Y,X)$ であり、$Q(\tilde X,\tilde Y)=Q_B(X,Y)$ である。第2式：(5) で $W=V$ とおくと $g(R(\tilde X,\tilde V)\tilde V,\tilde X)=-\frac{g(\tilde V,\tilde V)}{f}g_B(\nabla^B_X\mathrm{grad}f,X)=-\frac{g(\tilde V,\tilde V)}{f}H^f(X,X)$ であり、$g(\tilde X,\tilde V)=0$ より $Q(\tilde X,\tilde V)=g_B(X,X)g(\tilde V,\tilde V)$ である（$g(\tilde V,\tilde V)=f^2g_F(V,V)\neq0$ なので平面は非退化）。割って第2式を得る。第3式：(6) で $U=W$ とおくと
$$ g(R(\tilde V,\tilde W)\tilde W,\tilde V)=f^2g_F(R^F(V,W)W,V)+\frac{|\mathrm{grad}f|^2}{f^2}\bigl(g(\tilde V,\tilde W)^2-g(\tilde W,\tilde W)g(\tilde V,\tilde V)\bigr)=f^2K^F(V,W)Q_F(V,W)-\frac{|\mathrm{grad}f|^2}{f^2}Q(\tilde V,\tilde W) $$
であり、$Q(\tilde V,\tilde W)=f^4Q_F(V,W)$ なので、割って $K(\tilde V,\tilde W)=\frac{K^F(V,W)}{f^2}-\frac{|\mathrm{grad}f|^2}{f^2}$ を得る。$\square$

1. 葉 $B\times\{q\}$ の接空間は水平部分空間であり、その上で $g$ は $g_B$ の引き戻しなので $\pi$ は等長である。第2基本形式は $\mathrm{II}(\tilde X,\tilde Y)=\mathrm{nor}(\nabla_{\tilde X}\tilde Y)$（法成分）で与えられ、prop-warped-product-connection (1) により $\nabla_{\tilde X}\tilde Y=\widetilde{\nabla^B_XY}$ は水平なので法成分は $0$ である。よって葉は全測地的であり、$B$ の測地線の像は $M$ の測地線である。
2. ファイバーの接空間は垂直部分空間であり、その上で $g$ は $f(p)^2g_F$ なので $\sigma$ は $(F,f(p)^2g_F)$ への等長写像である。prop-warped-product-connection (3) により $\nabla_{\tilde V}\tilde W$ の法成分（水平成分）は $-\frac{g(\tilde V,\tilde W)}{f}\mathrm{grad}f$ であり、これが第2基本形式である。第2基本形式が計量の（法ベクトル値の）定数倍なのでファイバーは全臍的であり、$\mathrm{II}=0$ と $\mathrm{grad}f(p)=0$ は同値である。
3. 前半は lem-warped-product-lifts (3) による。後半は定義から明らかである。$\square$