2次曲面

$\frac{\partial q}{\partial x_i}(p)=2(Ap)_i$ で、標数が $2$ でないので、すべての偏微分が $p$ で $0$ になることは $Ap=0$ と同値である。$Ap=0$ なら $q(p)=p^{\mathsf T}Ap=0$ なので、$[p]$ は自動的に $Q$ の点である。$Ap=0$ となる $p\ne0$ が存在しないことは $A$ が正則であること、すなわち階数が $4$ であることと同値である。$\square$

1：2次形式 の定理「平方完成による対角化」により、正則行列 $P$ で $q(Py)=d_0y_0^2+\cdots+d_3y_3^2$ とできる。$P^{\mathsf T}AP$ の階数は $r$ なので、並べ替えて $d_0,\dots,d_{r-1}\ne0$、$d_r=\cdots=d_3=0$ としてよい。$k$ は代数閉体なので $e_i^2=d_i$ となる $e_i$ があり、$y_i=x_i/e_i$（$i< r$）と変数を取り替えると $x_0^2+\cdots+x_{r-1}^2$ になる。階数は射影同値で変わらないので、$r$ は $Q$ だけで決まる。
2：prop-quad-singular による。
3：$q=x_0^2+x_1^2+x_2^2$ としてよい。行列の核は $(0,0,0,1)$ が張るので、特異点は $v=[0:0:0:1]$ だけである。$C:=V_+(x_0^2+x_1^2+x_2^2)\subset\{x_3=0\}\cong\mathbb{P}^2$ は階数 $3$ の円錐曲線なので非特異である。$[p_0:p_1:p_2:0]\in C$ と $v$ を結ぶ直線の点 $[sp_0:sp_1:sp_2:t]$ で $q$ の値は $s^2q(p)=0$ なので、この直線は $Q$ に含まれる。逆に $Q$ の点 $[p_0:p_1:p_2:p_3]\ne v$ は、$[p_0:p_1:p_2:0]\in C$ と $v$ を結ぶ直線にのる。よって $Q$ は $C$ の点と $v$ を結ぶ直線の和集合である。
4：$r=2$ では、$i^2=-1$ となる $i\in k$ をとると $x_0^2+x_1^2=(x_0+ix_1)(x_0-ix_1)$ で、標数が $2$ でないので 2 つの一次式は比例しない。$r=1$ では $x_0^2=0$ の零点は平面 $x_0=0$ である。$\square$

$\det Z=z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10}$ の行列は、座標の順を $(z_{00},z_{11},z_{01},z_{10})$ として
$$ \frac12\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&-1&0\end{pmatrix} $$
であり、行列式は $\frac{1}{16}\ne0$ なので階数は $4$ である。thm-quad-classification により、階数 $4$ の 2 次曲面はどれも $V_+(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)$ と射影同値なので、$Q$ と $Q_0$ は射影同値である。射影同値は $\mathbb{P}^3$ の自己同型が引き起こす同型である。$Q_0=\Sigma_{1,1}$ は Segre 埋め込みによって $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ と同一視される（Segre埋め込み の例「射影直線の積と 2 次曲面」。スキームとしての同型は 射影射 の命題「Segre埋め込みは閉埋め込みである」による）。$\square$

1：直線 $\mathbb{P}(W)$ が $Q_0$ に含まれるとする。$W$ の $0$ でない元はすべて $\det=0$、すなわち階数 $1$ の行列である。$W$ の基底 $A=ab^{\mathsf T}$、$B=cd^{\mathsf T}$ をとる。もし $a,c$ が一次独立かつ $b,d$ も一次独立なら、$b^{\mathsf T}u=1$、$d^{\mathsf T}u=0$ となる $u$ と、$b^{\mathsf T}u'=0$、$d^{\mathsf T}u'=1$ となる $u'$ があり、$(A+B)u=a$、$(A+B)u'=c$ なので $A+B\in W$ の階数は $2$ になって矛盾する。よって $[a]=[c]$ か $[b]=[d]$ である。$[a]=[c]$ なら $c=\lambda a$ とおくと $W=\{a(\alpha b+\beta\lambda d)^{\mathsf T}\}$ で、$A,B$ が一次独立なので $b,d$ は一次独立であり、$\alpha b+\beta\lambda d$ は $k^2$ 全体を動く。よって $\mathbb{P}(W)=\Lambda_a$ である。$[b]=[d]$ なら同様に $\mathbb{P}(W)=\Lambda'_b$ である。
2：$[ab^{\mathsf T}]\in\Lambda_{a'}$ なら単射性により $[a']=[a]$、$[ab^{\mathsf T}]\in\Lambda'_{b'}$ なら $[b']=[b]$ である。1 と合わせて、この点を通る直線は $\Lambda_a$ と $\Lambda'_b$ に限る。$\Lambda_a\cap\Lambda'_b$ は 1 点なので、2 本は異なる。
3：$q=\det$ の行列 $A_0$ は正則なので、$V:=\{w\in k^4\mid p^{\mathsf T}A_0w=0\}$ は 3 次元であり、接平面は $\mathbb{P}(V)$ である。$Q_0$ に含まれ $p$ を通る直線 $\mathbb{P}(U)$ について、$w\in U$ なら $q(p+tw)=q(p)+2t\,p^{\mathsf T}A_0w+t^2q(w)$ がすべての $t$ で $0$ なので $p^{\mathsf T}A_0w=0$ であり、$U\subset V$ である。2 により $U_1$（$\Lambda_a$ の部分空間）と $U_2$（$\Lambda'_b$ の部分空間）は $V$ の相異なる 2 次元部分空間で、$q|_V$ はその上で $0$ になる。
$q|_V\ne0$ である。実際 $q|_V=0$ なら、平面 $\mathbb{P}(V)$ の中で $p$ を通る直線（少なくとも $3$ 本ある）がすべて $Q_0$ に含まれ、2 に反する。$V$ の一次形式 $\ell_1,\ell_2$ で $U_i=\ker\ell_i$ となるものをとり、$\ell_1$ を座標の 1 つにとると、$U_1$ の上で消える 2 次形式 $q|_V$ のすべての単項式はその座標を含むので、$q|_V=\ell_1m$（$m$ は一次形式）と書ける。$U_2$ の上で $\ell_1$ は恒等的に $0$ ではないので $m|_{U_2}=0$ であり、$m\ne0$ なので $m=c\,\ell_2$（$c\ne0$）である。よって $q|_V=c\,\ell_1\ell_2$ で、その零点は $U_1\cup U_2$ である。$\square$

$k$ 上の座標変換で $p=[1:0:0:0]$ としてよい。$q(p)=0$ なので $q$ に $x_0^2$ の項はなく、
$$ q=x_0\,\ell(x_1,x_2,x_3)+g(x_1,x_2,x_3) $$
（$\ell$ は一次形式、$g$ は 2 次形式）と書ける。$\frac{\partial q}{\partial x_0}(p)=0$、$\frac{\partial q}{\partial x_i}(p)$（$i\ge1$）は $\ell$ の $x_i$ の係数なので、$p$ が特異点でないことは $\ell\ne0$ を意味する。$g=0$ なら $q=x_0\ell$ は既約でないので、$g\ne0$ である。
アフィン座標 $x=x_1/x_0$、$y=x_2/x_0$、$z=x_3/x_0$ をとると、$Q$ の開集合 $\{x_0\ne0\}$ は $f:=\ell(x,y,z)+g(x,y,z)=0$ で定まり、$f$ は既約で、$K(Q)$ は $k[x,y,z]/(f)$ の分数体である。$f$ は次数 $2$ なので $x\notin(f)$、すなわち $K(Q)$ の中で $x\ne0$ であり、$s:=y/x$、$t:=z/x\in K(Q)$ が定まる。$f(x,sx,tx)=0$ を $x$ について整理すると
$$ x\,\ell(1,s,t)+x^2g(1,s,t)=0 $$
である。$g(1,s,t)=g(x,y,z)/x^2$ は $K(Q)$ の中で $0$ でない。実際 $g\in(f)$ なら次数を比べて $g=cf$（$c\in k$）となり、一次の部分を比べて $c\ell=0$、したがって $c=0$、$g=0$ となって矛盾する。$x\ne0$ で割ると
$$ x=-\frac{\ell(1,s,t)}{g(1,s,t)},\qquad y=sx,\qquad z=tx $$
となり、$K(Q)=k(x,y,z)\subset k(s,t)\subset K(Q)$ である。$Q$ は 2 次元なので $K(Q)$ の $k$ 上の超越次数は $2$ であり、$s,t$ は代数的に独立である。よって $K(Q)=k(s,t)$ は 2 変数の有理関数体と同型であり、双有理写像 の定理「関数体と支配的有理写像」の 3 により $Q$ は $\mathbb{P}^2_k$ と双有理同値である。
$s,t$ は点 $(x,y,z)$ と $p$（アフィン座標の原点）を結ぶ直線の方向 $[1:s:t]=[x:y:z]$ であり、上の式は、方向 $[1:s:t]$ の直線と $Q$ の原点以外の交点を与える。$\square$