Brauer–鈴木の定理

1．$N_1,N_2$ が位数が奇数の正規部分群なら、$N_1N_2$ は正規部分群で、位数 $|N_1||N_2|/|N_1\cap N_2|$ は奇数である。有限群なので、すべての積も位数が奇数の正規部分群である。
2．$\overline G$ の位数が奇数の正規部分群の $G$ での逆像は、位数が $|O(G)|$ と奇数の積の正規部分群なので、1 により $O(G)$ に含まれる。よってその部分群は自明である。
3．$S\cap O(G)$ は $2$-群かつ位数が奇数の群なので自明で、$SO(G)/O(G)\cong S/(S\cap O(G))\cong S$ である。その位数は $|\overline G|=|G|/|O(G)|$ を割る $2$ の最大冪に等しいので、Sylow $2$-部分群である。$\square$

1．$b^2=-I=a^{2^{n-2}}$、$bab^{-1}=a^{-1}$ なので、$a^ib\,a^j=a^{i-j}b$、$a^ib\,a^jb=a^{i-j}b^2=a^{i-j+2^{n-2}}$ となり、右辺の集合は積で閉じる。$a$ の位数は $2^{n-1}$ である。$a^i$ は対角行列、$a^ib$ は対角成分が $0$ の行列なので、$2^n$ 個の元は相異なる。
2．$(a^ib)^2=a^i(ba^ib^{-1})b^2=a^ia^{-i}b^2=-I\ne I$ なので $a^ib$ の位数は $4$ である。$a^i$ が位数 $2$ になるのは $i=2^{n-2}$ のときだけである。
3．$a^i$ が $b$ と可換であることは $a^i=a^{-i}$、すなわち $i\in\{0,2^{n-2}\}$ と同値である。$a^ib$ は $a$ と可換でない。実際 $a\cdot a^ib=a^{i+1}b$、$a^ib\cdot a=a^{i-1}b$ で、$n\ge3$ なので $a^2\ne1$ である。$-I$ は中心にある。
4．$\{1\}$ でない部分群は $1$ でない元 $x$ を含み、$x$ の位数は $2^k$（$k\ge1$）なので $x^{2^{k-1}}$ は対合であり、2 により $t$ に等しい。$\square$

$\overline G:=G/O(G)$ とし、像に上線を付ける。prop-bs-odd-core の 3 により $\overline S\cong S$ である。
1⇔2． $Z:=Z(\overline G)$ は可換なので、位数が奇数の元の全体 $Z_{\mathrm{odd}}$ は部分群で、$Z$ の自己同型で保たれるので $\overline G$ の正規部分群になる。prop-bs-odd-core の 2 により $Z_{\mathrm{odd}}=1$ で、$Z$ は $2$-群である。一般に、正規な $2$-部分群 $N$ は任意の Sylow $2$-部分群 $P$ に含まれる（$NP$ は位数 $|N||P|/|N\cap P|$ の $2$-群で $P$ を含むので $NP=P$）。よって $Z\subset\overline S$ で、$Z$ は $\overline S$ の元と可換なので $Z\subset Z(\overline S)=\langle\overline t\rangle$（prop-bs-quaternion の 3）である。したがって 1、すなわち $\overline t\in Z$ は、$Z=\langle\overline t\rangle$ と同値である。
3⇒1． $g=xc$（$x\in O(G)$、$c\in C_G(t)$）なら $gtg^{-1}t^{-1}=xtx^{-1}t^{-1}\in O(G)$ なので、$\overline t$ は $\overline g$ と可換である。
1⇒3． $g\in G$ をとり $t':=gtg^{-1}$ とおく。1 により $t'\in tO(G)$ なので、$t$ と $t'$ はどちらも部分群 $M:=O(G)\langle t\rangle$ に属する。$|M|=2|O(G)|$ なので $\langle t\rangle$ と $\langle t'\rangle$ は $M$ の Sylow $2$-部分群であり、Sylowの定理 によりある $y\in M$ で $y\langle t\rangle y^{-1}=\langle t'\rangle$、すなわち $yty^{-1}=t'$ となる。$y=xt^{\varepsilon}$（$x\in O(G)$、$\varepsilon\in\{0,1\}$）と書くと $xtx^{-1}=t'$ である。すると $x^{-1}g$ は $t$ と可換なので、$g=x\cdot x^{-1}g\in O(G)C_G(t)$ である。$\square$

$G$ をそのような単純群とする。$|G|$ は $8$ で割り切れるので $O(G)\ne G$ で、単純性から $O(G)=1$ である。thm-bs-main により $G$ の中心 $\langle t\rangle$ は位数 $2$ の正規部分群なので、$G=\langle t\rangle$ となり、Sylow $2$-部分群の位数が $2$ であることに反する。$\square$

交換子群 $[N,N]$ は $N$ の自己同型で保たれるので、$G$ の元による共役でも保たれ、$G$ の正規部分群である。$N$ は可解群 $G$ の部分群なので可解であり（可解群）、$N\ne1$ だから $[N,N]\ne N$ である。極小性から $[N,N]=1$ で、$N$ は可換である。$|N|$ を割る素数 $p$ をとると、$x^p=1$ となる $x\in N$ の全体 $N[p]$ は（$N$ が可換なので）部分群で、$N$ の自己同型で保たれるので $G$ の正規部分群であり、Cauchy の定理により $\{1\}$ でない。極小性から $N=N[p]$ である。$\square$

$\overline G:=G/O(G)$ とする。prop-bs-odd-core の 3 により $\overline S\cong S$ は $\overline G$ の Sylow $2$-部分群で、$\overline t$ はそのただ 1 つの対合である。
まず後半を示す。$N\ne1$ を $\overline G$ の正規な $2$-部分群とする。prf-bs-equivalent で見たように $N\subset\overline S$ であり、prop-bs-quaternion の 4 により $\overline t\in N$ である。$N$ の中の対合は $\overline t$ だけなので、$\langle\overline t\rangle$ は $N$ の位数 $2$ の部分群としてただ 1 つであり、$\overline g\in\overline G$ による共役は $N$ を保つので $\overline g\,\overline t\,\overline g^{-1}=\overline t$ である。よって $\overline t$ は中心にある。
$G$ が可解なら $\overline G$ も可解で、$|\overline G|$ は $|\overline S|\ge8$ で割り切れるので $\overline G\ne1$ である。極小正規部分群 $N$ をとると、lem-bs-minimal-normal により $1$ でない元の位数がすべて素数 $p$ である。$p$ が奇数なら $N$ は位数が奇数の正規部分群で、prop-bs-odd-core の 2 に反する。よって $p=2$ で、$N$ は正規な $2$-部分群であり、後半に帰着する。$\square$

$|S|=2^k$ についての帰納法で $|G:O(G)|=2^k$ を示す。Feit–Thompsonの定理 の命題「巡回な Sylow 2-部分群」により、$G$ は指数 $2$ の正規部分群 $G_1$ をもつ。$S\cap G_1$ は $G_1$ の Sylow $2$-部分群で、位数 $2^{k-1}$ の巡回群である（$|G_1|$ の $2$ の冪の部分は $2^{k-1}$ で、$|S:S\cap G_1|\le2$）。$k=1$ なら $G_1$ は位数が奇数の正規部分群で指数 $2$ なので、$O(G)=G_1$ である。$k\ge2$ なら、帰納法の仮定により $|G_1:O(G_1)|=2^{k-1}$ である。$O(G_1)$ は $G_1$ の自己同型で保たれるので $G$ の正規部分群で、位数は奇数、$|G:O(G_1)|=2^k$ である。$O(G)/O(G_1)$ は $2$-群 $G/O(G_1)$ の位数が奇数の部分群なので自明で、$O(G)=O(G_1)$ となる。
$|G:O(G)|=|S|$ と $S\cap O(G)=1$ から $G=O(G)S$ で、$O(G)$ は正規なので半直積であり、$G/O(G)\cong S$ は可換群である。$\square$

$\overline G:=G/O(G)$ とすると $O(\overline G)=1$ で、$\overline t$ は $\overline G$ の Sylow $2$-部分群 $\overline S\cong S$ の対合である。$u:=\overline g\,\overline t\,\overline g^{-1}\ne\overline t$ が $\overline t$ と可換だとすると、$\langle\overline t,u\rangle$ は位数 $4$ の $2$-部分群で、Sylowの定理 によりある Sylow $2$-部分群 $\overline h\,\overline S\,\overline h^{-1}$ に含まれる。この群は $\overline S$ と同型で対合を 1 つしかもたないが、$\overline t$ と $u$ は異なる対合なので矛盾する。よって thm-bs-zstar により $\overline t$ は $\overline G$ の中心に属する。$\square$