純性

$k$ を分離閉体（分離閉包）、$d\ge1$、$X=\mathbb{A}^d_k$（アフィン空間）、$Z=\{0\}$ を原点、$n$ を $k$ の標数と素な整数、$F=\mu_n^{\otimes j}$ とする。原点は $k$ 上滑らかで余次元 $d$ の閉部分スキームなので、thm-purity-smooth-pair により
$$ H^i_{\{0\}}(\mathbb{A}^d_k,\mu_n^{\otimes j})\cong H^{i-2d}\bigl(\operatorname{Spec}k,\mu_n^{\otimes(j-d)}\bigr)=\begin{cases}\mu_n^{\otimes(j-d)}(k)\cong\mathbb{Z}/n,& i=2d,\\ 0,& i\ne2d\end{cases} $$
である（$k$ が分離閉なので $\operatorname{Spec}k$ の正の次数のコホモロジーは消え、$\mu_n^{\otimes(j-d)}(k)$ は位数 $n$ の巡回群である）。
これから $U=\mathbb{A}^d_k\setminus\{0\}$ のコホモロジーが計算できる。$\mathbb{A}^d_k$ は非輪状、すなわち $H^i(\mathbb{A}^d_k,\mu_n^{\otimes j})=0$（$i>0$）である（Mil80 VI §4）。長完全列 $H^i(\mathbb{A}^d)\to H^i(U)\to H^{i+1}_{\{0\}}(\mathbb{A}^d)\to H^{i+1}(\mathbb{A}^d)$ で $i\ge1$ とすれば両端が $0$ なので $H^i(U,\mu_n^{\otimes j})\cong H^{i+1}_{\{0\}}(\mathbb{A}^d,\mu_n^{\otimes j})$ であり、$i=0$ では $H^0(\mathbb{A}^d)\to H^0(U)$ が同型（どちらも $\mu_n^{\otimes j}(k)$）で $H^1_{\{0\}}=0$ である。よって
$$ H^i(\mathbb{A}^d_k\setminus\{0\},\mu_n^{\otimes j})\cong\begin{cases}\mu_n^{\otimes j}(k),& i=0,\\ \mu_n^{\otimes(j-d)}(k),& i=2d-1,\\ 0,& \text{その他}\end{cases} $$
となる。これは複素数体上で $\mathbb{C}^d\setminus\{0\}$ が $S^{2d-1}$ とホモトピー同値であることの代数版である。$d=1$ では $U=\mathbb{G}_m$ で $H^1(\mathbb{G}_m,\mu_n)\cong\mathbb{Z}/n$ となり、Kummer完全列による計算 $H^1(\mathbb{G}_m,\mu_n)\cong k[t,t^{-1}]^*/(k[t,t^{-1}]^*)^n\cong\mathbb{Z}/n$（生成元は $t$ の類）と一致する。

$k$ を体、$d\ge2$、$U=\mathbb{A}^d_k\setminus\{0\}$ とする。原点は余次元 $d\ge2$ であり $\mathbb{A}^d_k$ は正則なので、prop-purity-hartogs-functions と prop-purity-pic-extension により
$$ \mathcal{O}(U)=k[x_1,\dots,x_d],\qquad \operatorname{Pic}(U)=\operatorname{Pic}(\mathbb{A}^d_k)=0 $$
である。とくに $U$ はアフィンスキームでない：もしアフィンなら $U=\operatorname{Spec}\mathcal{O}(U)=\mathbb{A}^d_k$ となり矛盾する。さらに thm-purity-etale-cover-extension により、$U$ の有限エタール被覆はすべて $\mathbb{A}^d_k$ の有限エタール被覆の制限である。$d=1$ では関数の延長も被覆の延長も成り立たない：$\mathcal{O}(\mathbb{G}_m)=k[t,t^{-1}]\ne k[t]$ であり、$k$ の標数と素な $n\ge2$ について $t\mapsto t^n$ は $\mathbb{G}_m$ の次数 $n$ の有限エタール被覆だが $\mathbb{A}^1_k$ には延びない（ex-purity-counterexample-codim-one）。

純性の「余次元 $2$ 以上」の仮定は外せない。$k$ を体とする。

1. $X=\mathbb{P}^1_k$（射影空間）、$Z$ を一点とすると $U=\mathbb{A}^1_k$ であり、$\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^1_k)=\mathbb{Z}\to\operatorname{Pic}(\mathbb{A}^1_k)=0$ は単射でない（Har77 II 6.2, 6.4, 6.16）。
2. $X=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$、$Z=\{0\}$、$U=\mathbb{G}_m$ とし、$n\ge2$ を $k$ の標数と素とする。$\varphi\colon\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$、$s\mapsto s^n$ は $k[t,t^{-1}]\to k[s,s^{-1}]$、$t\mapsto s^n$ に対応し、$k[s,s^{-1}]=k[t,t^{-1}][s]/(s^n-t)$ で $\frac{d}{ds}(s^n-t)=ns^{n-1}$ が単元なので有限エタールである。これが $\mathbb{A}^1_k$ の有限エタール被覆 $Y\to\mathbb{A}^1_k$ に延びたとすると、$Y$ は正規（エタール射は正規性を保つ、Mil80 I §3）で連結（$Y\times_XU=\mathbb{G}_m$ が連結で、$Y$ の各連結成分は $X$ の上に全射するから $U$ の逆像と交わる）、したがって関数体 $k(s)$ をもつ整スキームであり、$\mathbb{A}^1_k$ の $k(s)$ における正規化 $\operatorname{Spec}k[s]\to\operatorname{Spec}k[t]$ に一致する（Har77 II Exercise 3.8）。しかし $t=s^n$ の $t=0$ 上のファイバー $k[s]/(s^n)$ は被約でなく、有限エタール射のファイバーは被約なので矛盾する。
   この例は「$Z$ の余次元が $2$ 以上」という仮定を満たさず、thm-purity-etale-cover-extension と prop-purity-pic-extension の結論を満たさない。

$k$ を標数 $2$ でない体、$B=k[x,y]$、$\sigma$ を $\sigma(x)=-x$、$\sigma(y)=-y$ で定まる $B$ の $k$ 代数自己同型、$G=\{1,\sigma\}$ とし、$A:=B^G$ を不変式環、$X=\operatorname{Spec}A$、$Y=\operatorname{Spec}B=\mathbb{A}^2_k$、$f\colon Y\to X$ を包含 $A\subset B$ に対応する射とする。
まず $A$ の構造を調べる。$\sigma$ は単項式 $x^ay^b$ を $(-1)^{a+b}x^ay^b$ に送り、$-1\ne1$ なので、多項式が不変であることは偶数次の単項式だけからなることと同値である。偶数次の単項式は $x^2,xy,y^2$ の積である（$a,b$ がともに偶数なら $(x^2)^{a/2}(y^2)^{b/2}$、ともに奇数なら $xy\cdot(x^2)^{(a-1)/2}(y^2)^{(b-1)/2}$）。よって $A=k[x^2,xy,y^2]$ であり、$u\mapsto x^2$、$v\mapsto xy$、$w\mapsto y^2$ で定まる全射 $k[u,v,w]\to A$ の核は $uw-v^2$ を含む。$uw-v^2$ は既約なので $k[u,v,w]/(uw-v^2)$ は次元 $2$ の整域、$A$ も次元 $2$ の整域（$x^2,y^2\in A$ により $B$ は $A$ 上整で $\dim A=\dim B=2$）であり、有限生成 $k$ 代数である整域の間の次元を保つ全射は同型なので
$$ A\cong k[u,v,w]/(uw-v^2) $$
である。$X$ は 2 次錐（2次曲面の錐）である。$B$ は $A$ 加群として $1,x,y$ で生成される（奇数次の単項式は $x$ または $y$ と偶数次の単項式の積である）ので $f$ は有限であり、整拡大なので全射である。
次に $X$ が正規だが正則でないことを見る。$z\in\operatorname{Frac}(A)$ が $A$ 上整ならば $B$ 上整で、$B$ は正規なので $z\in B$、また $z\in\operatorname{Frac}(A)\subset k(x,y)^G$ なので $\sigma(z)=z$、よって $z\in B^G=A$ である。ゆえに $A$ は整閉で $X$ は正規である。原点 $\mathfrak{m}=(u,v,w)$ では $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ が $u,v,w$ を基底とする $3$ 次元空間（関係式 $uw-v^2$ は $\mathfrak{m}^2$ に属する）なので、埋め込み次元 $3$ は $\dim A_{\mathfrak{m}}=2$ より大きく、$A_{\mathfrak{m}}$ は正則でない。
$f$ が原点以外でエタールであることを示す。$X$ の点 $\mathfrak{p}$ が $u,w\in\mathfrak{p}$ を満たせば $v^2=uw\in\mathfrak{p}$ から $v\in\mathfrak{p}$、よって $\mathfrak{p}=\mathfrak{m}$ である。ゆえに $U:=X\setminus\{\mathfrak{m}\}=D(u)\cup D(w)$ である。$D(u)$ 上では $B_u=B[1/x^2]$ であり、$\sigma$ による固有分解 $B_u=B_u^+\oplus B_u^-$（$\pm1$ 固有空間、$2$ が可逆なので直和）で $B_u^+=A_u$ である。奇な元 $z\in B_u^-$ は $z=x\cdot(x^{-1}z)$ と書け $x^{-1}z$ は偶なので、$B_u^-=xA_u$ であり、$x$ は非零因子なので $B_u=A_u\oplus xA_u\cong A_u[T]/(T^2-u)$ は自由 $A_u$ 加群である。$\frac{d}{dT}(T^2-u)=2T$ は $T^2=u$ のもとで $2T\cdot T=2u$ が $A_u$ の単元なので $A_u[T]/(T^2-u)$ において単元であり、この拡大は標準エタールである（Mil80 I §3）。$D(w)$ 上も $y$ を用いて同様である。よって $f$ は $U$ 上有限エタール（次数 $2$）である。
最後に $f$ が原点でエタールでないことを示す。$f$ の $\mathfrak{m}$ 上のファイバーは $B/\mathfrak{m}B=k[x,y]/(x^2,xy,y^2)$ であり、$x\ne0$ かつ $x^2=0$ なので被約でない。エタール射のファイバーは有限個の分離拡大体のスペクトルの直和で被約だから（Mil80 I §3）、$f$ は $\mathfrak{m}$ 上の唯一の点である $Y$ の原点 $0=(x,y)$ でエタールでない。
したがって $f\colon Y\to X$ は正規な $Y$ から正規な $X$ への有限全射で、分岐跡は $R_f=\{0\}$、$Y=\mathbb{A}^2_k$ において余次元 $2$ である。この例は「$X$ が正則」という仮定だけを満たさず、thm-purity-zariski-nagata の結論「分岐跡は空か純余次元 $1$」を満たさない。同時に、$U$ の連結な有限エタール被覆 $Y\times_XU\to U$ は $X$ の有限エタール被覆に延びない（延びたとすると、ex-purity-counterexample-codim-one の 2 と同じ議論で、それは $X$ の $k(x,y)$ における正規化 $Y$ に一致し、$f$ が原点でエタールでないことに反する）ので、thm-purity-etale-cover-extension も破れる。

$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体、$X=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$、$Z=\{0\}$、$U=\mathbb{G}_m=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$、$F=\mathbb{Z}/p$ とする。$n$ が $p$ と素なら ex-purity-affine-space-punctured により $H^2_Z(X,\mathbb{Z}/n)\cong\mathbb{Z}/n$ は有限であるが、$H^2_Z(X,\mathbb{Z}/p)$ は $\mathbb{F}_p$ 上無限次元である。したがって、$H^2_Z(X,\mathbb{Z}/p)$ が一点 $Z$ 上の有限な層の切断群と同型になるという Gysin 同型の形の結論は $n=p$ では成り立たない。
証明。Artin–Schreier 列 $0\to\mathbb{Z}/p\to\mathbb{G}_a\xrightarrow{\wp}\mathbb{G}_a\to0$（$\wp(f)=f^p-f$）はエタール位相で完全であり（Mil80 III §4）、アフィンスキーム $V$ 上では $H^1(V,\mathbb{G}_a)=H^1(V,\mathcal{O}_V)=0$（Mil80 III §3、Har77 III 3.5）なので
$$ H^1(V,\mathbb{Z}/p)\cong\mathcal{O}(V)/\wp\bigl(\mathcal{O}(V)\bigr) $$
である。$V=X,U$ に適用し、$H^0(X,\mathbb{Z}/p)\to H^0(U,\mathbb{Z}/p)$ が全射（どちらも $\mathbb{Z}/p$）であることと長完全列から、
$$ \operatorname{coker}\bigl(k[t]/\wp(k[t])\to k[t,t^{-1}]/\wp(k[t,t^{-1}])\bigr)\hookrightarrow H^2_Z(X,\mathbb{Z}/p) $$
を得る。この余核が無限次元であることを示す。$p$ で割れない正整数 $m$ に対する $t^{-m}$ の類が $\mathbb{F}_p$ 上一次独立であることをいえばよい。$\sum_m c_mt^{-m}=f^p-f+g$（$c_m\in\mathbb{F}_p$、有限和、$f\in k[t,t^{-1}]$、$g\in k[t]$）とし、$f_-$ を $f$ の負冪の部分とする。標数 $p$ では $(\sum a_it^i)^p=\sum a_i^pt^{pi}$ なので、両辺の負冪の部分をとると $\sum_mc_mt^{-m}=f_-^p-f_-$ である。$f_-\ne0$ とし、その最低次の項を $at^{-e}$（$a\ne0$、$e\ge1$）とすると、$f_-^p-f_-$ の最低次の項は $a^pt^{-pe}$ で係数が $0$ でないが、左辺の $t^{-pe}$ の係数は $pe$ が $p$ で割れるので $0$ であり矛盾する。よって $f_-=0$ で、すべての $c_m=0$ である。$\square$
この例は「$n$ が $X$ 上可逆」という仮定だけを満たさず、thm-purity-smooth-pair の結論を満たさない。なお $H^1_Z(X,\mathbb{Z}/p)=0$ は $n=p$ でも成り立つ（prop-purity-h1-injective。$X$ は正規である）。