円分Z_p拡大

(a)：$E:=\mathbb{Q}(\zeta)$ は $\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})$ の有限次 Galois 部分体で、$\sigma\mapsto\chi(\sigma)\bmod qp^n$ は制限 $G\to\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/qp^n\mathbb{Z})^\times$ に一致する（Galois群 の記事の例「円分体の Galois 群」）。無限次 Galois 理論の対応により、$E\cap\mathbb{Q}_\infty$ は $\chi^{-1}(\Delta)$ の $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ での像 $\bar\Delta$ の固定体である。$\Delta\cap V_n\subseteq\Delta\cap V_0=\{1\}$ なので $\Delta\to(\mathbb{Z}/qp^n\mathbb{Z})^\times=\mathbb{Z}_p^\times/V_n$ は単射であり、$[E\cap\mathbb{Q}_\infty:\mathbb{Q}]=\varphi(qp^n)/\lvert\Delta\rvert=p^n$ である（$p$ が奇素数なら $p^n(p-1)/(p-1)$、$p=2$ なら $2^{n+1}/2$）。$\mathbb{Q}_\infty$ の次数 $p^n$ の部分体はただ 1 つなので、$E\cap\mathbb{Q}_\infty=\mathbb{Q}_n$ である。商は $\mathbb{Z}_p^\times/\Delta V_n\cong V_0/V_n$ で、$a$ の類は $\langle a\rangle$ の類に移る。$p$ が奇素数なら $(\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z})^\times\cong\Delta\times V_0/V_n$ は位数 $p-1$ と $p^n$ の巡回群の直積で、位数が互いに素なので巡回群である。巡回群には各約数の位数の部分群がただ 1 つあるので、次数 $p^n$ の部分体（位数 $p-1$ の部分群の固定体）はただ 1 つである。

(b)：複素共役 $c$ は $\zeta\mapsto\zeta^{-1}$ なので $\chi(c)=-1$ であり、$-1\in\Delta$（$p$ が奇素数なら $(-1)^{p-1}=1$）だから $c$ は $\mathbb{Q}_\infty$ を固定する。よって $\mathbb{Q}_n\subset\mathbb{R}$ である。$\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q}$ は Galois なので、$\mathbb{Q}_n$ の $\mathbb{C}$ への埋め込みの像はすべて $\mathbb{Q}_n$ 自身であり、すべて実である。

(c)：$\Delta=\{\pm1\}$（$p=2,3$）なら、(a) により $\mathbb{Q}_n$ は $c$ の固定体である。$\zeta$ は $x^2-(\zeta+\zeta^{-1})x+1$ の根なので $[E:\mathbb{Q}(\zeta+\zeta^{-1})]\le2$ であり、$\mathbb{Q}(\zeta+\zeta^{-1})\subseteq E^{\langle c\rangle}$、$[E:E^{\langle c\rangle}]=2$ から $\mathbb{Q}(\zeta+\zeta^{-1})=E^{\langle c\rangle}=\mathbb{Q}_n$ である。$p\ge5$ なら $\bar\Delta$ は位数 $p-1>2$ で $\{\pm1\}$ を真に含むので、$\mathbb{Q}_n\subsetneq E^{\langle c\rangle}$ である。$\square$

$E=\mathbb{Q}(\zeta_{qp^n})$ とする。円分体 の記事の命題「素数冪の円分体」の 5 により $p$ は $E$ で完全分岐する。$\mathfrak{P}$ を $p$ の上の $E$ の素イデアル、$\mathfrak{p}:=\mathfrak{P}\cap\mathbb{Q}_n$ とすると、分岐指数の乗法性から $[E:\mathbb{Q}]=e(\mathfrak{P}\mid p)=e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})\,e(\mathfrak{p}\mid p)\le[E:\mathbb{Q}_n]\,[\mathbb{Q}_n:\mathbb{Q}]$ であり、等号が成り立つので $e(\mathfrak{p}\mid p)=[\mathbb{Q}_n:\mathbb{Q}]$ である。$\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q}$ は Galois なので、分解群と惰性群 の記事の系「Galois 拡大での $efg=n$」から $f=g=1$ であり、$p\mathcal{O}_{\mathbb{Q}_n}=\mathfrak{p}^{p^n}$、剰余体は $\mathbb{F}_p$ である。$\ell\ne p$ は 円分体 の記事の定理「円分体における素数の分解」の 1 により $E$ で分岐しないので、Kronecker–Weberの定理 の記事の補題「部分体と合成体の惰性群」の 1 により $\mathbb{Q}_n$ でも分岐しない。無限素点は thm-czp-layers の (b) から分岐しない。$\square$

同型 $a\mapsto g^a$ は $p^j\mathbb{Z}_p$ を $V_j$ に移すので、$x=g^a\in V_0$ について「$x\in V_j\setminus V_{j+1}$」は「$v_p(a)=j$」と同値である。$p$ が奇素数なら $\ell^{p-1}=\langle\ell\rangle^{p-1}$（$\omega(\ell)^{p-1}=1$）であり、$p-1\in\mathbb{Z}_p^\times$ なので $v_p((p-1)a)=v_p(a)$、したがって $\ell^{p-1}$ も $V_m\setminus V_{m+1}$ に属し、$v_p(\ell^{p-1}-1)=m+1$ である。$p=2$ なら $\ell^2=\langle\ell\rangle^2$ は $V_{m+1}\setminus V_{m+2}$ に属するので、$v_2(\ell^2-1)=m+3$ である。$\square$

$E=\mathbb{Q}(\zeta_{qp^n})$ とし、$\sigma_\ell\in\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ を $\zeta\mapsto\zeta^\ell$ で定める。円分体 の記事の命題「円分体のFrobenius元」により、すべての $x\in\mathcal{O}_E$ について $\sigma_\ell(x)\equiv x^\ell\pmod{\ell\mathcal{O}_E}$ である。$\ell$ の上の $\mathbb{Q}_n$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ をとり、$\tau:=\sigma_\ell|_{\mathbb{Q}_n}$、$f:=f(\mathfrak{q}\mid\ell)$ とおく。$x\in\mathcal{O}_{\mathbb{Q}_n}$ について $\tau(x)\equiv x^\ell\pmod{\mathfrak{q}}$ なので、$x\in\mathfrak{q}$ なら $\tau(x)\in\mathfrak{q}$、すなわち $\tau(\mathfrak{q})=\mathfrak{q}$ であり、$\tau$ は剰余体 $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}_n}/\mathfrak{q}\cong\mathbb{F}_{\ell^f}$ に $\ell$ 乗写像を引き起こす。$\ell$ 乗写像の位数は $f$ なので、$\tau$ の位数 $r$ は $f$ の倍数である。逆に $\tau^f$ は $\mathfrak{q}$ の分解群に属し、剰余体に恒等写像を引き起こすので惰性群に属する。$\ell$ は不分岐（thm-czp-ramification）なので惰性群は自明で（分解群と惰性群 の記事の系「惰性群の位数と完全列」）、$\tau^f=1$、すなわち $r=f$ である。

thm-czp-layers の (a) により、$\tau$ は $\langle\ell\rangle\bmod V_n\in V_0/V_n$ に対応する。$\langle\ell\rangle=g^a$、$v_p(a)=m$ と書くと、$V_0/V_n\cong\mathbb{Z}_p/p^n\mathbb{Z}_p$ で $\langle\ell\rangle$ は $a\bmod p^n$ に対応し、その位数は $p^{\,n-\min(m,n)}$ である。よって $f=p^{\,n-\min(m,n)}$ である。$\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q}$ は Galois で $\ell$ は不分岐なので、$\ell$ の上の素イデアルの個数は $p^n/f=p^{\min(m,n)}$ である（分解群と惰性群 の記事の系「Galois 拡大での $efg=n$」）。$\square$

段 1（惰性群の形）。$N=p^aM$（$a\ge1$、$p\nmid M$）とし、素数 $\ell\mid M$ について $M=\ell^bM'$（$\ell\nmid M'$）と書く。中国剰余定理により $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_N)/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times=(\mathbb{Z}/\ell^b\mathbb{Z})^\times\times(\mathbb{Z}/p^aM'\mathbb{Z})^\times$ であり、第 1 成分は $\mathbb{Q}(\zeta_{\ell^b})$ への制限、第 2 成分は $\mathbb{Q}(\zeta_{p^aM'})$ への制限に当たる。$\ell$ の上の素イデアルの惰性群 $I_\ell$ は、$\ell$ が不分岐な $\mathbb{Q}(\zeta_{p^aM'})$ へ自明に制限されるので（Kronecker–Weberの定理 の記事の補題「部分体と合成体の惰性群」の 2）、$(\mathbb{Z}/\ell^b\mathbb{Z})^\times\times\{1\}$ に含まれる。一方 円分体 の記事の定理「円分体における素数の分解」により $\lvert I_\ell\rvert=\varphi(\ell^b)$ である。よって $I_\ell=(\mathbb{Z}/\ell^b\mathbb{Z})^\times\times\{1\}$ である。

段 2（$p$ の外で不分岐）。$F/\mathbb{Q}$ を $\mathbb{Z}_p$ 拡大とし、$F_n$ をその次数 $p^n$ の層とする（lem-czp-closed-subgroups と Galois 対応により一意に存在し、$F_n\subset F_{n+1}$、$F=\bigcup_nF_n$、$\operatorname{Gal}(F_n/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$）。$F_n/\mathbb{Q}$ は Abel 拡大なので、Kronecker–Weberの定理 により $F_n\subseteq\mathbb{Q}(\zeta_N)$ となる $N$ がある（$N$ を $p$ 倍して $p\mid N$ としてよい）。素数 $\ell\ne p$ と $c:=v_p(\ell-1)$ について、$\ell$ の $F_n/\mathbb{Q}$ での惰性群の位数は $p^c$ 以下であることを示す。$\ell\nmid N$ なら $\ell$ は $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ で分岐せず、$F_n$ でも分岐しない。$\ell\mid N$ なら、同じ補題の 2 によりその惰性群は段 1 の $I_\ell\cong(\mathbb{Z}/\ell^b\mathbb{Z})^\times$ の像であり、位数 $\varphi(\ell^b)=\ell^{b-1}(\ell-1)$ の群の商で、しかも $p$ 群 $\operatorname{Gal}(F_n/\mathbb{Q})$ の部分群なので、位数は $\varphi(\ell^b)$ の $p$ 部分 $p^c$ を割る。次に $F_{n+c}$ に当てはめる。$\ell$ の $F_{n+c}/\mathbb{Q}$ での惰性群は巡回群 $\mathbb{Z}/p^{n+c}\mathbb{Z}$ の位数 $p^c$ 以下の部分群なので、$p^n\mathbb{Z}/p^{n+c}\mathbb{Z}=\operatorname{Gal}(F_{n+c}/F_n)$ に含まれる。その $\operatorname{Gal}(F_n/\mathbb{Q})$ での像は自明であり、同じ補題の 2 によりこれが $\ell$ の $F_n/\mathbb{Q}$ での惰性群なので、$\ell$ は $F_n$ で分岐しない。

段 3（$\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})$ に入ること）。$F_n\subseteq\mathbb{Q}(\zeta_N)$、$N=p^aM$ とし、$H:=\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_N)/F_n)$ とおく。$\ell\mid M$ は $F_n$ で分岐しないので、同じ補題の 2 により $I_\ell$ の $\operatorname{Gal}(F_n/\mathbb{Q})$ での像は自明、すなわち $I_\ell\subseteq H$ である。$\ell$ が $M$ の素因数を動くとき、段 1 の $I_\ell$ たちは $(\mathbb{Z}/p^a\mathbb{Z})^\times\times(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})^\times$ の部分群 $\{1\}\times(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})^\times$ を生成するので、$H$ はこれを含む。この部分群の固定体は $\mathbb{Q}(\zeta_{p^a})$ なので、$F_n\subseteq\mathbb{Q}(\zeta_{p^a})\subseteq\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})$ である。

段 4（$\Delta$ の固定体）。段 3 から $F\subseteq\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})$ であり、$F$ は閉部分群 $H_F:=\chi(\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})/F))\subseteq\mathbb{Z}_p^\times$ の固定体で、$\mathbb{Z}_p^\times/H_F\cong\operatorname{Gal}(F/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}_p$ である。$\delta\in\Delta$ の像は $\mathbb{Z}_p$ の有限位数の元なので $0$ であり、$\Delta\subseteq H_F$、すなわち $F\subseteq\mathbb{Q}_\infty$ である。最後に $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_\infty/F)$ は $\Gamma$ の閉部分群で、商 $\operatorname{Gal}(F/\mathbb{Q})$ は無限群なので、lem-czp-closed-subgroups によりそれは $0$ である。よって $F=\mathbb{Q}_\infty$ である。$\square$

(a)：$\mathbb{Q}_\infty/\mathbb{Q}$ は Galois なので、制限は単射 $\operatorname{Gal}(K_\infty/K)\to\Gamma$ を与える。像は閉部分群で、その固定体は $K\cap\mathbb{Q}_\infty=\mathbb{Q}_e$ なので、像は $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_\infty/\mathbb{Q}_e)=p^e\Gamma\cong\mathbb{Z}_p$ である（岩澤理論 の記事の定理「円分 $\mathbb{Z}_p$ 拡大」の (c) の証明と同じ議論で、$p=2$ でもそのまま通る）。この同型で $K\mathbb{Q}_{n+e}$ は $p^{n+e}\Gamma$ に対応し、その $p^e\Gamma$ での指数は $p^n$ なので、$K\mathbb{Q}_{n+e}$ が次数 $p^n$ の層である。

(b)(c) の準備：$k:=n+e$、$L:=K_n=K\mathbb{Q}_k$ とし、$\mathfrak{P}$ を $L$ の素イデアル、$v:=\mathfrak{P}\cap K$、$\mathfrak{q}:=\mathfrak{P}\cap\mathbb{Q}_k$、$\ell$ をその下の素数とする。$L$ は $K$ と $\mathbb{Q}_k$ で生成されるので、制限 $\rho\colon\operatorname{Gal}(L/K)\to\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_k/\mathbb{Q})$ は単射である。$\sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}$ なら $\rho(\sigma)(\mathfrak{q})=\mathfrak{q}$ であり、すべての $x\in\mathcal{O}_L$ で $\sigma(x)\equiv x\pmod{\mathfrak{P}}$ なら $x\in\mathcal{O}_{\mathbb{Q}_k}$ でも成り立つので、$\rho$ は $\mathfrak{P}$ の分解群・惰性群を $\mathfrak{q}$ の分解群・惰性群の中へ移す。

(b)：$\ell\ne p$ なら $\mathfrak{q}$ の惰性群は自明なので（thm-czp-ramification）、$\mathfrak{P}$ の惰性群も自明である。$K$ の実素点 $\tau\colon K\to\mathbb{R}$ の $L$ への延長 $\tau'$ の像は $\tau(K)$ と $\tau'(\mathbb{Q}_k)=\mathbb{Q}_k\subset\mathbb{R}$（thm-czp-layers の (b)）で生成されるので実であり、実素点は分岐しない（複素素点はもともと分岐しない）。$\ell=p$ なら、分岐指数の乗法性と thm-czp-ramification から $e(\mathfrak{P}\mid p)\ge e(\mathfrak{q}\mid p)=p^k$ であり、$e(\mathfrak{P}\mid v)=e(\mathfrak{P}\mid p)/e(v\mid p)\ge p^{n+e}/[K:\mathbb{Q}]$ である。これは $n$ が大きいと $1$ より大きい。

(c)：$K_n/K$ は Galois なので $g_n(v)=p^n/(e(\mathfrak{P}\mid v)f(\mathfrak{P}\mid v))$ である（分解群と惰性群 の記事の系「Galois 拡大での $efg=n$」）。$\ell=p$ なら (b) の評価から $g_n(v)\le[K:\mathbb{Q}]/p^e\le[K:\mathbb{Q}]$ である。$\ell\ne p$ なら $e(\mathfrak{P}\mid v)=1$ で、剰余次数の乗法性から $f(\mathfrak{P}\mid v)=f(\mathfrak{P}\mid\ell)/f(v\mid\ell)\ge f(\mathfrak{q}\mid\ell)/[K:\mathbb{Q}]$ である。thm-czp-decomposition により $f(\mathfrak{q}\mid\ell)\ge p^{k-m}$（$m=m_p(\ell)$）なので、$g_n(v)\le p^n[K:\mathbb{Q}]/p^{n+e-m}\le p^m[K:\mathbb{Q}]$ である。どちらの場合も上界は $n$ によらない。$K_{n+1}$ の素イデアルはどれも $K_n$ の素イデアルの上にあり、$K_n$ の素イデアルの上には $K_{n+1}$ の素イデアルが少なくとも 1 つあるので、$g_n(v)$ は $n$ について減らず、有界なのである $n$ から先は一定である。$g_n(v)< p^n$ となる $n$ では $v$ は完全分解しない。

(d)：$\sigma\in\operatorname{Gal}(K(\mu_{p^\infty})/K)$ は $\zeta_q$ を固定するので $\chi(\sigma)\equiv1\pmod q$、すなわち $\chi(\sigma)\in V_0$ である。制限 $\operatorname{Gal}(K(\mu_{p^\infty})/K)\to G$ は単射で、その $\chi$ による像は $V_0\cong\mathbb{Z}_p$ の閉部分群であり、$[K:\mathbb{Q}]<\infty$ なので無限群である。lem-czp-closed-subgroups によりこれは $\mathbb{Z}_p$ に同型である。$K_\infty\subseteq K(\mu_{p^\infty})$ であり、$\operatorname{Gal}(K(\mu_{p^\infty})/K_\infty)$ はこの群の閉部分群で、商 $\operatorname{Gal}(K_\infty/K)$ が無限群なので、同じ補題により $0$ である。$\square$