Kähler–Einstein計量
概要
Kähler–Einstein計量（Kähler–Einstein metric）とは、Ricci 形式が Kähler 形式の定数倍になる Kähler 計量である。定数の符号は第 1 Chern 類の符号で決まり、負と $0$ の場合は Aubin・Yau の存在定理がある。第 1 Chern 類が正の Fano 多様体では、正則ベクトル場の Lie 環の簡約性（松島）と二木不変量の消滅が必要条件で、計量が存在しないことがある。存在は $\mathrm{K}$ 多重安定性と同値である。
Ricci 曲率が計量に比例する Kähler 計量
Kähler–Einstein 計量（Kähler–Einstein metric）とは、Ricci 形式が Kähler 形式の定数倍になる Kähler 計量である。Riemann 計量としては、Ricci テンソルが計量の定数倍になる Einstein 計量にほかならない。与えられたコンパクト複素多様体がこの計量をもつかどうかは、複素幾何の中心的な問題である。
第 1 Chern 類 $c_1(X)$ の符号が事情を分ける。$c_1(X)=0$ の場合は Calabi予想 で解決し、$c_1(X)$ が負の場合は Aubin と Yau が存在を示した。難しいのは $c_1(X)$ が正の場合、すなわち $X$ が Fano多様体 の場合である。このときは計量が存在しないことがあり、しかも解があっても一意とは限らない。
この記事では Fano の場合を中心に、次のことを証明する。Monge–Ampère 方程式への帰着と符号の役割、固有値の下界、松島与三（Yozo Matsushima）による自己同型の Lie 環の簡約性、二木昭人（Akito Futaki）による不変量の障害、連続法の開性である。存在を判定する代数的な条件は K安定性 の記事で扱う。
定義と Kähler 類
$X$ を複素次元 $n$ の連結なコンパクト複素多様体とする。Kähler 形式を、局所正則座標で
$$
\omega=\frac i2\sum_{j,k}g_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k
$$
と書く。Ricci 形式を $\rho(\omega):=-i\partial\bar\partial\log\det(g_{j\bar k})$ と定める。これは大域的な閉じた実 $(1,1)$ 形式で、$[\rho(\omega)]=2\pi c_1(X)$ をみたす（Calabi予想 の命題「Ricci 形式と第 1 Chern 類」）。規約も同じ記事に合わせる。とくに $2$ つの Kähler 形式について
$$
\rho(\omega')-\rho(\omega)=-i\partial\bar\partial\log\frac{\omega'^n}{\omega^n}\qquad(1)
$$
が成り立つ。
Kähler 形式 $\omega$ が、ある実数 $\lambda$ について
$$
\rho(\omega)=\lambda\,\omega
$$
をみたすとき、$\omega$ の定める計量を Kähler–Einstein 計量という。
$\rho(u,v)=\mathrm{Ric}(Ju,v)$、$\omega(u,v)=g(Ju,v)$ なので、この式は $\mathrm{Ric}=\lambda g$ と同値である。正の定数 $c$ について $\rho(c\,\omega)=\rho(\omega)$ だから、$\lambda\ne0$ のときは計量の定数倍で $\lambda=\pm1$ にそろえられる。
$\rho(\omega)=\lambda\omega$ なら $2\pi c_1(X)=\lambda[\omega]$ である。したがって、$\lambda>0$ なら $c_1(X)$ は Kähler 類の正の定数倍で、$\lambda=0$ なら $H^2(X,\mathbb{R})$ で $c_1(X)=0$ で、$\lambda< 0$ なら $-c_1(X)$ は Kähler 類の正の定数倍である。$\lambda\ne0$ のとき $[\omega]$ は $\lambda$ から定まる。
$[\rho(\omega)]=2\pi c_1(X)$ と $\rho(\omega)=\lambda\omega$ の類をとればよい。$\square$
ここで $X$ が Fano 多様体であるとは、$c_1(X)$ が正の $(1,1)$ 形式で代表されること、すなわち反標準束が正であることをいう。$X$ は小平の埋め込み定理により射影的である。詳しくは Fano多様体 を見よ。
$\mathbb{P}^n$ の Fubini–Study 形式は $\rho(\omega_{\mathrm{FS}})=2(n+1)\,\omega_{\mathrm{FS}}$ をみたす（Fubini–Study計量）。したがって $\omega:=2(n+1)\,\omega_{\mathrm{FS}}$ は $\rho(\omega)=\omega$ をみたす。
$\rho(\omega_i)=\lambda\omega_i$ となる $(X_i,\omega_i)$（$i=1,2$）について、$\log\det$ が和になるので $\mathrm{pr}_1^*\omega_1+\mathrm{pr}_2^*\omega_2$ も同じ $\lambda$ の Kähler–Einstein 形式である。たとえば $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ は $\lambda=1$ の Kähler–Einstein 計量をもつ。
$n=1$ では $\rho(\omega)=K\omega$ である（$K$ は Gauss 曲率）。Kähler–Einstein 計量は定曲率計量にほかならず、種数 $0,1$、$2$ 以上がそれぞれ $\lambda>0$、$\lambda=0$、$\lambda< 0$ にあたる。存在は 一意化定理 と合っている。
Monge–Ampère 方程式と符号の役割
$\lambda\ne0$ とし、$\varepsilon:=\pm1$ に正規化する。$2\pi c_1(X)=\varepsilon[\omega]$ となる Kähler 形式 $\omega$ を固定する。∂∂̄-補題 により、実数値の $C^\infty$ 級関数 $h$ で
$$
\rho(\omega)-\varepsilon\omega=i\partial\bar\partial h
$$
となるものが定数を除いて一意にある。これを Ricci ポテンシャルと呼ぶ。類 $[\omega]$ の Kähler 形式は $\omega_\varphi:=\omega+i\partial\bar\partial\varphi$ と書ける。
$\omega_\varphi$ が正のとき、$\rho(\omega_\varphi)=\varepsilon\omega_\varphi$ であることと、$\varphi$ に定数を足すと
$$
\omega_\varphi^n=e^{h-\varepsilon\varphi}\,\omega^n\qquad(2)
$$
が成り立つことは同値である。
式 (1) により
$$
\rho(\omega_\varphi)-\varepsilon\omega_\varphi=\rho(\omega)-\varepsilon\omega-i\partial\bar\partial\log\frac{\omega_\varphi^n}{\omega^n}-\varepsilon i\partial\bar\partial\varphi=i\partial\bar\partial\Bigl(h-\varepsilon\varphi-\log\frac{\omega_\varphi^n}{\omega^n}\Bigr)
$$
である。コンパクト多様体上で $i\partial\bar\partial$ の核は定数だから、左辺が $0$ であることは $h-\varepsilon\varphi-\log(\omega_\varphi^n/\omega^n)$ が定数 $c$ であることと同値である。$\varphi$ を $\varphi+\varepsilon c$ に替えると $c=0$ になる。$\omega_\varphi$ は変わらない。$\square$
Calabi予想 の方程式 $\omega_\varphi^n=e^F\omega^n$ と違い、(2) の右辺には未知関数 $\varphi$ が入る。この項の符号が決定的である。
$\varepsilon=-1$ とする。$\varphi$ が (2) の解で $\omega_\varphi$ が正なら、$\sup_X|\varphi|\le\sup_X|h|$ である。
$\varphi$ が最大になる点 $p$ では $(\partial_j\partial_{\bar k}\varphi(p))$ が半負定値なので、$\omega_\varphi$ の係数行列 $g+2\partial\bar\partial\varphi$ は $p$ で $g$ 以下である。よって $\omega_\varphi^n\le\omega^n$ で、(2) から $h(p)+\varphi(p)\le0$ を得る。同様に、最小になる点 $q$ では $h(q)+\varphi(q)\ge0$ である。$\square$
$\varepsilon=1$ では同じ計算が $\varphi(p)\ge h(p)$、$\varphi(q)\le h(q)$ を与えるだけで、$\varphi$ の上界も下界も出ない。これが Fano の場合の困難の出どころである。負の場合は $C^0$ 評価がこのように簡単に得られ、$c_1(X)=0$ の場合のような難しい積分評価が要らない（高階の評価は PSS12 §6・§7 と同じである）。次の表の負の行の存在はこの記事では証明しない。
| $c_1(X)$ | Kähler–Einstein 計量 | 所在 |
|---|---|---|
| 負 | $\lambda=-1$ でただ 1 つ存在する（Aubin、Yau） | PSS12 §2.1 Theorem 2、Yau77 |
| $0$ | 各 Kähler 類に $\lambda=0$ でただ 1 つ存在する | Calabi予想 の系「Ricci 平坦な Kähler 計量」 |
| 正 | 存在するとは限らず、$\lambda=1$ の計量は一意とは限らない | 以下の節 |
固有値の下界
以下、$\omega$ を Kähler 形式とし、積分はすべて体積形式 $\omega^n$ に関するものとする。記号を用意する。
- $\rho=i\sum R_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k$ とする。すなわち $R_{j\bar k}=-\partial_j\partial_{\bar k}\log\det(g_{j\bar k})$ である。$\rho=\lambda\omega$ は $R_{j\bar k}=\frac\lambda2g_{j\bar k}$ と同値である。
- $\Box f:=\sum g^{\bar kj}\partial_j\partial_{\bar k}f$ とおく（Laplace作用素 の $\frac14$ 倍にあたる）。$\Box$ は実の作用素で、$L^2$ で自己随伴である。
- 複素数値の関数 $f$ に対し、$(1,0)$ ベクトル場 $V_f$ を $V_f^j:=\sum_kg^{\bar kj}\partial_{\bar k}f$ で定める。
- $(1,0)$ ベクトル場 $W$ の発散を $\operatorname{div}W:=\sum_j(\partial_jW^j+W^j\partial_j\log\det g)$ と書く。これは座標によらず、$\int_X\operatorname{div}W=0$ である。Kähler 条件により $\operatorname{div}V_f=\Box f$ である。
複素数値の $C^\infty$ 級関数 $f$ について、$V:=V_f$ とおくと
$$
\int_X|\bar\partial V|^2=\int_X|\Box f|^2-\int_X\sum_{j,k}R_{j\bar k}V^j\overline{V^k}\qquad(3)
$$
である。さらに、任意の $(1,0)$ ベクトル場 $W$ について
$$
\partial_{\bar k}\operatorname{div}W=\sum_j\bigl(\partial_j(\partial_{\bar k}W^j)+(\partial_{\bar k}W^j)\,\partial_j\log\det g\bigr)-\sum_jR_{j\bar k}W^j\qquad(4)
$$
が成り立つ。
要点：(4) は座標での微分そのものである。これを $\overline{W^k}$ と縮約して積分し、$V_f$ の場合の対称性を使う。
証明を開く
式 (4) は $\operatorname{div}W$ の定義を $\bar z_k$ で微分し、$R_{j\bar k}$ の定義を使えば出る。
(4) に $\overline{W^k}$ を掛けて $k$ について和をとる。$Y^j:=\sum_k(\partial_{\bar k}W^j)\overline{W^k}$ は大域的な $(1,0)$ ベクトル場で、$$\operatorname{div}Y=\sum_{j,k}\bigl(\partial_j(\partial_{\bar k}W^j)+(\partial_{\bar k}W^j)\,\partial_j\log\det g\bigr)\overline{W^k}+\sum_{j,k}(\partial_{\bar k}W^j)\,\overline{\partial_{\bar j}W^k}$$ である。また $(\operatorname{div}W)\,\overline W$ は $(0,1)$ ベクトル場で、その発散は $\sum_k\partial_{\bar k}(\operatorname{div}W)\,\overline{W^k}+|\operatorname{div}W|^2$ である。積分すると発散は消えるので、 $$-\int_X|\operatorname{div}W|^2=-\int_X\sum_{j,k}(\partial_{\bar k}W^j)\,\overline{\partial_{\bar j}W^k}-\int_X\sum_{j,k}R_{j\bar k}W^j\overline{W^k}$$ を得る。
$W=V_f$ とし、$A_{\bar k\bar l}:=\sum_jg_{j\bar l}\partial_{\bar k}W^j$ とおく。$W^j=\sum_mg^{\bar mj}\partial_{\bar m}f$ を代入すると $$A_{\bar k\bar l}=\partial_{\bar k}\partial_{\bar l}f-\sum_{j,m}(\partial_{\bar k}g_{j\bar l})\,g^{\bar mj}\partial_{\bar m}f$$ である。Kähler 条件 $\partial_{\bar k}g_{j\bar l}=\partial_{\bar l}g_{j\bar k}$ により $A$ は対称である。この対称性から $\sum_{j,k}(\partial_{\bar k}W^j)\overline{\partial_{\bar j}W^k}=|A|^2=|\bar\partial W|^2$ となる。$\operatorname{div}V_f=\Box f$ と合わせて (3) を得る。$\square$
$t>0$ とし、$\rho(\omega)\ge t\,\omega$ とする。$f$ を定数でない複素数値関数で、$\Box f=-\nu f$（$\nu>0$）をみたすものとする。このとき $\nu\ge t/2$ である。さらに、$\rho(\omega)>t\,\omega$ なら $\nu>t/2$ である。$\rho(\omega)=t\,\omega$ のとき、$\nu=t/2$ であることと $V_f$ が正則であることは同値である。
$\operatorname{div}(\bar fV_f)=\bar f\,\Box f+g^{\bar kj}\partial_{\bar k}f\,\partial_j\bar f$ を積分すると $\int_X|V_f|^2=\nu\int_X|f|^2>0$ である。(3) により
$$
0\le\int_X|\bar\partial V_f|^2=\nu^2\int_X|f|^2-\int_X\sum R_{j\bar k}V^j\overline{V^k}\le\Bigl(\nu^2-\frac t2\nu\Bigr)\int_X|f|^2
$$
である。よって $\nu\ge t/2$ である。$\rho>t\omega$ なら右の不等号が狭義になり、$\nu>t/2$ である。$\rho=t\omega$ なら右の不等号は等号で、$\bar\partial V_f=0$ と $\nu=t/2$ が同値である。$\square$
計量の言葉では、$\mathrm{Ric}\ge tg$ のとき $-\Delta$ の正の固有値は $2t$ 以上である。$(\mathbb{P}^1,\omega_{\mathrm{FS}})$ は半径 $\frac12$ の球面で（$\lambda=4$）、第 1 固有値は $8$ であり、等号が成り立つ。
松島の定理
$\mathfrak{h}(X)$ を $X$ の正則ベクトル場全体のなす複素 Lie 環とする。これは自己同型群の単位成分 $\mathrm{Aut}^0(X)$ の Lie 環である。Lie環 が簡約であるとは、中心と 半単純Lie環 の直和であることをいう。簡約な Lie 環の可換イデアルは中心に含まれる（半単純成分への射影は可換イデアルなので $0$ である）。
正則ベクトル場 $V$ に実ベクトル場 $V+\overline V$ を対応させ、$\mathfrak{h}(X)$ を実の正則ベクトル場の空間と同一視する。$iV$ には $J(V+\overline V)$ が対応する。
$\omega$ を $\rho(\omega)=\omega$ をみたす Kähler 形式とし、$\mathfrak{k}$ を正則な Killing ベクトル場全体のなす実 Lie 環とする。このとき
$$
\mathfrak{h}(X)=\mathfrak{k}\oplus J\mathfrak{k}
$$
である。とくに $\mathfrak{h}(X)$ はコンパクト Lie 群の Lie 環の複素化であり、簡約である。
要点：正則ベクトル場は固有値 $\frac12$ の固有関数の勾配と $1$ 対 $1$ に対応する。実の固有関数の $i$ 倍が Killing 場を与え、実の固有関数が $J$ 倍の側を与える。
証明を開く
段 1．$V\in\mathfrak{h}(X)$ とする。$\alpha:=\sum g_{j\bar k}V^j\,d\bar z_k$ は Kähler 条件と $V$ の正則性により $\bar\partial$ 閉である。反標準束は正なので、小平の消滅定理 により $H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$ である。よって $\alpha=\bar\partial f$ となる複素数値関数 $f$ があり、$V=V_f$ である。$f$ は定数を除いて定まる。
段 2．$R_{j\bar k}=\frac12g_{j\bar k}$ と (4)（$W=V$）により $\partial_{\bar k}\Box f=-\frac12\partial_{\bar k}f$ である。よって $\Box f+\frac12f$ は正則関数で、定数である。$\int_Xf=0$ と正規化すると $\Box f=-\frac12f$ である。逆に、$\Box f=-\frac12f$ なら prop-ke-eigenvalue により $V_f$ は正則である。こうして、固有空間 $E:=\{f\mid\Box f=-\frac12f\}$ から $\mathfrak{h}(X)$ への複素線形な全単射 $f\mapsto V_f$ を得る。$\Box$ は実の作用素なので $E=E_{\mathbb{R}}\oplus iE_{\mathbb{R}}$ である。
段 3．$V$ が $V_f$ のとき、$Y:=V+\overline V$ について $i_Y\omega=\frac i2(\bar\partial f-\partial\bar f)$ である。$u\in E_{\mathbb{R}}$ で $f=iu$ なら $i_Y\omega=-\frac12du$ は閉なので $L_Y\omega=0$ である。$Y$ は正則なので $L_YJ=0$ で、$L_Yg=0$ を得る。よって $Y\in\mathfrak{k}$ である。$f=u$ のときは $Y=\frac12\operatorname{grad}u$ で、その発散は $2\Box u=-u$ である。
段 4．$\mathfrak{k}':=\{V_{iu}+\overline{V_{iu}}\mid u\in E_{\mathbb{R}}\}\subset\mathfrak{k}$ とおくと、段 2 により $\mathfrak{h}(X)=\mathfrak{k}'\oplus J\mathfrak{k}'$ である。$Y\in\mathfrak{k}$ を $Y=Y_1+Y_2$（$Y_1=\frac12\operatorname{grad}u$、$Y_2\in\mathfrak{k}'$）と分けると、$Y_1=Y-Y_2$ は Killing 場なので発散が $0$ で、$u=0$ である。よって $\mathfrak{k}=\mathfrak{k}'$ である。
段 5．$\mathfrak{k}$ は等長変換群（コンパクト）の閉部分群である正則等長変換群の Lie 環なので、不変な内積をもち、簡約である。$\mathfrak{h}(X)=\mathfrak{k}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ も簡約である。$\square$
この定理は 1957 年の松島与三の結果の Lie 環の形である（CDS15 III の序文、Sze18 §1）。ここでの証明は標準的な固有関数の議論を、この記事の記号で書いたものである。
$X$ を $\mathbb{P}^2$ の点 $p=[1:0:0]$ の 爆発 とする。$X$ は Fano 多様体である。例外曲線は自己交点数が負の唯一の既約曲線なので、$\mathrm{Aut}^0(X)$ はこれを保つ。Hartogs の定理により、$X$ の正則ベクトル場は $\mathbb{P}^2$ の $p$ で消える正則ベクトル場に下り、逆もそうである。$H^0(\mathbb{P}^2,T_{\mathbb{P}^2})=\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$ なので、
$$
\mathfrak{h}(X)=\{A\in\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})\mid A\,e_1\in\mathbb{C}e_1\}
$$
である。$A$ の第 1 行の第 2・3 成分だけが $0$ でない行列の全体 $\mathfrak{n}$ は可換イデアルである。しかし $D=\mathrm{diag}(2,-1,-1)$ について $[D,N]=3N$（$N\in\mathfrak{n}$）なので、$\mathfrak{n}$ は中心に含まれない。よって $\mathfrak{h}(X)$ は簡約でなく、thm-ke-matsushima により $X$ は Kähler–Einstein 計量をもたない。2 点の爆発も同様で、$e_1,e_2$ を固有ベクトルにもつ行列のうち第 3 列の上 2 成分の全体が、中心に含まれない可換イデアルである。
二木不変量
$X$ を Fano 多様体とする。$[\omega]=2\pi c_1(X)$ となる Kähler 形式 $\omega$ の Ricci ポテンシャル $h_\omega$（$\rho(\omega)-\omega=i\partial\bar\partial h_\omega$）は定数を除いて定まるので、$V\in\mathfrak{h}(X)$ に対し
$$
\mathrm{Fut}_X(V):=\int_XV(h_\omega)\,\omega^n
$$
が定まる。これを 二木不変量（Futaki invariant）という。
$\mathrm{Fut}_X(V)$ は $\omega$ のとり方によらず、$V$ だけで定まる。$X$ が $\rho(\omega)=\omega$ となる Kähler 形式をもつなら、$\mathrm{Fut}_X=0$ である。
要点：$V$ の正則性と (4) から $\Box\theta+\frac12\theta+V(h)$ が定数になる。これを使うと、計量の変分が部分積分で消える。
証明を開く
後半を先に述べる。$\rho(\omega)=\omega$ なら $h_\omega$ は定数なので、この $\omega$ で計算して $\mathrm{Fut}_X(V)=0$ である。
前半を示す。類 $2\pi c_1(X)$ の $2$ つの Kähler 形式を線分で結び、$\omega_t=\omega_0+i\partial\bar\partial\varphi_t$、$\psi:=\dot\varphi_t$ とする。$\log\det(g+2\partial\bar\partial\varphi_t)$ を微分して $\frac{d}{dt}\omega_t^n=2\Box_t\psi\;\omega_t^n$ である。prop-ke-ma の証明の計算（$\varepsilon=1$）により $h_t:=h_0-\varphi_t-\log(\omega_t^n/\omega_0^n)$ は $\omega_t$ の Ricci ポテンシャルで、$\dot h=-\psi-2\Box_t\psi$ である。
以下 $t$ を固定し、$\omega_t$ に関する量の添字を省く。thm-ke-matsushima の証明の段 1 により $V=V_\theta$ となる関数 $\theta$ がある。$R_{j\bar k}=\frac12g_{j\bar k}+\partial_j\partial_{\bar k}h$ と $V$ の正則性を (4) に入れると、 $$\partial_{\bar k}\bigl(\Box\theta+\tfrac12\theta+V(h)\bigr)=0$$ である。よって $\Box\theta+\frac12\theta+V(h)=c$（定数）である。部分積分により、任意の関数 $a$ について $$\int_XV(a)=-\int_Xa\,\Box\theta=-\int_X\theta\,\Box a\qquad(5)$$ である。
これらを使うと $$\frac{d}{dt}\int_XV(h_t)\,\omega_t^n=-\int_XV(\psi)-2\int_XV(\Box\psi)+2\int_XV(h)\,\Box\psi$$ の右辺の第 1 項は (5) により $\int_X\theta\,\Box\psi$、第 2 項は $2\int_X\Box\theta\,\Box\psi$ であり、第 3 項は $2\int_X(c-\Box\theta-\frac12\theta)\Box\psi=-2\int_X\Box\theta\,\Box\psi-\int_X\theta\,\Box\psi$ である。和は $0$ である。$\square$
$\mathrm{Fut}_X$ の値が $0$ でない $V$ があれば、$X$ に Kähler–Einstein 計量はない。この障害は二木昭人が 1983 年に発見した（CDS15 III の序文、Sze18 §2.3）。トーラスの作用をもつ Fano 多様体では、これが多面体の重心の計算になる。K安定性 の節「トーリックな場合」で $\mathbb{P}^2$ の爆発を計算する。
一意性
$c_1(X)$ が負または $0$ の場合と違い、$\lambda>0$ の Kähler–Einstein 形式は一意とは限らない。$\rho(\omega)=\omega$ で $F\in\mathrm{Aut}(X)$ なら $F^*\omega$ も同じ式をみたすからである。これだけが非一意性の原因であることを次の定理が述べる。
$X$ を Fano 多様体とする。$\rho(\omega_1)=\omega_1$、$\rho(\omega_2)=\omega_2$ なら、ある $F\in\mathrm{Aut}^0(X)$ について $\omega_2=F^*\omega_1$ である。
これは Bando と Mabuchi の定理である。この記事では証明しない（Bern15 §5 に、測地線に沿う体積の対数の凹性による証明がある）。
連続法
Fano の場合の古典的な方法を述べる。$\int_Xe^h\omega^n=\int_X\omega^n$ と正規化し、$t\in[0,1]$ について
$$
\omega_\varphi^n=e^{h-t\varphi}\,\omega^n\qquad(6_t)
$$
を考える。$t=1$ が (2) である。$t=0$ は Calabi予想 の Yau の定理により解ける。式 (1) により、$(6_t)$ の解は
$$
\rho(\omega_\varphi)=t\,\omega_\varphi+(1-t)\,\omega\qquad(7)
$$
をみたす（Sze18 (4.1)）。
$0< t< 1$ とし、$\varphi$ を $(6_t)$ の解で $\omega_\varphi$ が正なものとする。$\psi\mapsto2\Box_\varphi\psi+t\psi$ は Hölder 空間の同型 $C^{k+2,\alpha}\to C^{k,\alpha}$ である。したがって、解をもつ $t$ の集合は $(0,1)$ の中で開である。
$\log(\omega_\varphi^n/\omega^n)+t\varphi-h$ の $\varphi$ についての微分がこの作用素である。(7) により $\rho(\omega_\varphi)>t\,\omega_\varphi$ なので、prop-ke-eigenvalue により $-\Box_\varphi$ の正の固有値は $t/2$ より大きい。定数の上では作用素は $t$ 倍である。よって核は $0$ である。この作用素は自己随伴な楕円型作用素なので指数は $0$ で、同型である。あとは陰関数定理による。$\square$
$t=1$ では固有値 $\frac12$ が現れうる。その固有関数は thm-ke-matsushima の証明により正則ベクトル場に対応する。閉であることの証明には、$\sup_X|\varphi|$ の一様な評価が要る。これは一般には成り立たず、ex-ke-blowup の $X$ では $t$ は $1$ に届かない。
存在の判定
一様評価が成り立つ十分条件として、次が知られている。この節の定理はこの記事では証明しない。
| 条件 | 結論 | 所在 |
|---|---|---|
| Tian の $\alpha$ 不変量が $\alpha(X)>\frac n{n+1}$ | Kähler–Einstein 計量をもつ | Xu21 §1.1 |
| $n=2$ で $\mathfrak{h}(X)$ が簡約 | Kähler–Einstein 計量をもつ（Tian） | Sze18 §5.1、OSS16 |
| トーリックで、二木不変量が消える | Kähler–Einstein 計量をもつ（Wang–Zhu） | Sze18 §5.1 |
$n=2$ の Fano 多様体は $\mathbb{P}^2$、$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$、$\mathbb{P}^2$ の $k$ 点（$1\le k\le8$）の一般の位置の爆発である（Fano多様体）。$k=3$ では $\mathfrak{h}(X)$ は $\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$ の対角行列の全体で、$k\ge4$ では $0$ である（$4$ 点を固定する $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{C})$ の元は単位元だけである）。どちらも簡約なので、ex-ke-blowup と合わせると、計量をもたないのは $k=1,2$ だけである。
完全な判定条件は次のとおりである。$X$ が Kähler–Einstein 計量をもつことと、$X$ が K多重安定であることは同値である（K安定性）。ここで障害は自己同型だけでは尽きない。自己同型群が自明なのに計量をもたない Fano 多様体がある（CDS15 III の序文）。
反例：条件を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\lambda< 0$ | $\mathbb{P}^1$ で $\lambda>0$ | 同じ類の Kähler–Einstein 形式は等しい |
| $c_1(X)$ の符号が定まること | $\mathbb{P}^1\times C$（$C$ は種数 $2$ 以上の曲線） | 積の多様体が Kähler–Einstein 計量をもつ |
| Kähler–Einstein 計量の存在 | $\mathbb{P}^2$ の 1 点の爆発 | Fano 多様体の $\mathfrak{h}(X)$ は簡約 |
| $n\ge2$ | $n=1$ の定曲率でない計量 | $\rho=f\omega$ なら $f$ は定数 |
$\mathbb{P}^1$． $F\in\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})$ が等長変換でないとき、$\omega:=4\,\omega_{\mathrm{FS}}$ と $F^*\omega$ は同じ類の異なる形式で、$\rho(\omega)=\omega$、$\rho(F^*\omega)=F^*\omega$ をみたす。$\lambda< 0$ の場合の一意性は Calabi予想 の命題「負の場合の一意性」である。
$\mathbb{P}^1\times C$． $\rho(\omega)=\lambda\omega$ とする。prop-ke-class を $\mathbb{P}^1\times\{\mathrm{pt}\}$ と $\{\mathrm{pt}\}\times C$ の上で積分すると、$\lambda$ に正の面積を掛けたものが $4\pi>0$ にも $2\pi(2-2g_C)< 0$ にもなる。これは矛盾である。各因子は定曲率の計量をもつが、$\lambda$ の符号が異なるので ex-ke-product は当たらない。
爆発． ex-ke-blowup による。
$n\ge2$ と $n=1$． $\rho=f\omega$（$f$ は実数値関数）とする。$d\rho=0$ から $df\wedge\omega=0$ である。$n\ge2$ では $\omega\wedge$ は $1$ 形式の上で単射なので $f$ は定数である。つまり $n\ge2$ では、定義の定数を関数に替えても同じ概念である。$n=1$ では $\rho=K\omega$ が任意の計量で成り立つので、この主張は成り立たない。
関連項目
- 前提: Kähler多様体, 第1Chern類, ∂∂̄-補題, Calabi予想
- 比較: Fubini–Study計量, Calabi–Yau多様体, Ricci流
- 直後に読む: Fano多様体, K安定性
- 発展: 宮岡–Yau不等式, Bochnerの方法, 幾何学的不変式論
参考文献
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