格子点

$t>0$ を固定する。格子点 $v\in\mathbb Z^n$ ごとに半開の立方体
$$ C_v=\frac vt+\Bigl[0,\frac1t\Bigr)^n $$
をとる。$C_v$ は互いに交わらず $\mathbb R^n$ を覆い、体積は $t^{-n}$ である。$v\in tK$ と $v/t\in K$ は同値なので、数えるのは $v/t\in K$ となる $v$ の個数である。
$$ I_t=\#\{v\mid C_v\subset K\},\qquad B_t=\#\{v\mid C_v\cap\partial K\neq\emptyset\} $$
とおく（$K$ は有界なので有限）。
$C_v$ についての二者択一。 $C_v$ が $K$ の点を含み、$C_v\subset K$ でないとする。$C_v$ は凸集合で、$K$ の点 $p$ と $K$ の外の点 $q$ を含む。線分 $[p,q]\subset C_v$ 上で、$K$ に属する点の媒介変数の上限をとると、その点はどんな近くにも $K$ の点と $K$ の外の点をもつので $\partial K$ に属する。よって $C_v\cap\partial K\neq\emptyset$ である。
個数の評価。 $v/t\in K$ なら $C_v$ は $K$ の点 $v/t$ を含むので、$C_v\subset K$ か $C_v\cap\partial K\neq\emptyset$ である。逆に $C_v\subset K$ なら $v/t\in K$ である。よって
$$ I_t\le\#(tK\cap\mathbb Z^n)\le I_t+B_t $$
である。
体積の評価。 $C_v\subset K$ となる立方体の和集合は $K$ に含まれる。$K$ の各点はある $C_v$ に属し、その $C_v$ は二者択一により $K$ に含まれるか $\partial K$ と交わる。よって
$$ I_t\,t^{-n}\le\operatorname{vol}(K)\le(I_t+B_t)\,t^{-n} $$
である。2 つの評価から
$$ \Bigl|\frac{\#(tK\cap\mathbb Z^n)}{t^n}-\operatorname{vol}(K)\Bigr|\le B_t\,t^{-n} $$
を得る。
境界の立方体は少ない。 $\varepsilon>0$ とし、$\partial K$ を体積の和が $\varepsilon$ 未満の直方体 $R_1,\dots,R_N$ で覆う。$\partial K$ と交わる $C_v$ はどれかの $R_i$ と交わり、$R_i$ と交わる $C_v$ は、$R_i$ を各座標方向に両側へ $1/t$ ずつ広げた直方体 $R_i^{(t)}$ に含まれる。$C_v$ は互いに交わらないので
$$ B_t\,t^{-n}\le\sum_{i=1}^N\operatorname{vol}\bigl(R_i^{(t)}\bigr)\xrightarrow[t\to\infty]{}\sum_{i=1}^N\operatorname{vol}(R_i)<\varepsilon $$
である。$\varepsilon$ は任意なので $B_t\,t^{-n}\to0$ であり、定理が従う。$\square$

$tK\cap\Lambda$ は $A$ により $t(A^{-1}K)\cap\mathbb Z^n$ と一対一に対応する。$A^{-1}K$ は有界で、その境界 $A^{-1}(\partial K)$ も Jordan 零集合である。実際、$\partial K$ を覆う直方体のそれぞれを一辺 $h$ の小さな立方体の格子で覆い直すと（$h\to0$ で、覆う立方体の体積の和はもとの直方体の体積に近づく）、一辺 $h_j$ の立方体 $Q_j$ で体積の和 $\sum_jh_j^n$ がいくらでも小さいもので $\partial K$ を覆える。$|A^{-1}x-A^{-1}y|\le L|x-y|$（$L$ は $A^{-1}$ の作用素ノルム）なので、$A^{-1}Q_j$ は直径 $L\sqrt n\,h_j$ 以下で、一辺 $2L\sqrt n\,h_j$ の立方体に含まれ、体積の和は $(2L\sqrt n)^n\sum_jh_j^n$ 以下になる。thm-lp-volume と $\operatorname{vol}(A^{-1}K)=\operatorname{vol}(K)/|\det A|$ から従う。$\square$

1．$v/g$ は整数座標をもつので、$\frac kgv$ は格子点である。逆に $0\le\tau\le1$ で $\tau v$ が格子点だとする。$v\neq0$ なので $\tau$ はある $a_i\neq0$ について $\tau a_i\in\mathbb Z$ を満たし、有理数である。$\tau=c/d$（既約分数、$d\ge1$）と書くと、$ca_i/d\in\mathbb Z$ と $\gcd(c,d)=1$ からすべての $i$ で $d\mid a_i$ となり（互いに素 の記事の命題「互いに素な因子の消去」）、$d\mid g$ である。よって $\tau=c/d=(cg/d)/g$ は $1/g$ の整数倍である。
2．(a)⇔(b) は 1 から直ちに従う（線分上の格子点が両端だけであることと $g+1=2$ は同値）。
(b)⇒(c)：商群 $\mathbb Z^n/\mathbb Zv$ がねじれをもたないことを示す。$w\in\mathbb Z^n$ と整数 $k\ge1$ について $kw=cv$（$c\in\mathbb Z$）とする。Bézoutの等式 により $\sum_ix_ia_i=1$ となる整数 $x_i$ があり、$k$ は各 $ca_i=kw_i$ を割り切るので $c=\sum_ix_ica_i$ も割り切る。よって $w=(c/k)v\in\mathbb Zv$ である。$\mathbb Z^n/\mathbb Zv$ は有限生成でねじれがないので、有限生成アーベル群の基本定理 により自由アーベル群であり、その階数は $\mathbb Q$ 上の次元を比べて $n-1$ である。その基底 $\bar w_2,\dots,\bar w_n$ の代表 $w_2,\dots,w_n\in\mathbb Z^n$ をとる。任意の $x\in\mathbb Z^n$ は、像を $\bar w_i$ で表してから差をとれば $v,w_2,\dots,w_n$ の整数係数の 1 次結合になる。$c_1v+\sum_ic_iw_i=0$ なら、像をとって $\sum_ic_i\bar w_i=0$ より $c_i=0$、残る $c_1v=0$ から $c_1=0$ である。よって $v,w_2,\dots,w_n$ は $\mathbb Z^n$ の基底である。基底を列に並べた行列は逆行列も整数行列なので、行列式は $\pm1$ である（自由アーベル群 の記事の命題「行列式による基底の判定」）。
(c)⇒(b)：$v=gv'$（$v'\in\mathbb Z^n$）と書く。$v'$ を基底 $v,w_2,\dots,w_n$ の整数係数の 1 次結合で表すと、これは $\mathbb R^n$ の基底でもあるので、表し方は $v'=\frac1gv$ に限る。係数 $\frac1g$ が整数なので $g=1$ である。$\square$

1．$\Lambda'=\mathbb Zu+\mathbb Zv$ は $\mathbb Z^2$ の部分格子で、格子(群) の記事の定理「部分格子の指数と体積」により、指数 $[\mathbb Z^2:\Lambda']$ は $\operatorname{covol}(\Lambda')/\operatorname{covol}(\mathbb Z^2)=|\det(u,v)|$ である。各剰余類 $w+\Lambda'$ が $P$ にちょうど 1 つの代表をもつことを示せばよい。$w=su+tv$（$s,t\in\mathbb R$）と書くと、$w-\lfloor s\rfloor u-\lfloor t\rfloor v$ は同じ剰余類に属し $P$ に入る。$P$ の 2 点 $s_1u+t_1v$、$s_2u+t_2v$ が同じ剰余類に属すれば、差 $(s_1-s_2)u+(t_1-t_2)v$ は $\Lambda'$ の元で、係数は整数かつ $-1$ と $1$ の間にあるので $0$ である。
2．1 から $P\cap\mathbb Z^2=\{0\}$ は $|\det(u,v)|=1$ と同値である。$|\det|=1$ なら指数が $1$ で $\Lambda'=\mathbb Z^2$、すなわち $u,v$ は基底である。逆に基底なら $\Lambda'=\mathbb Z^2$ で指数は $1$ である。
3．$P\cap\mathbb Z^2=\{0\}$ を示す。$w=su+tv\in P\cap\mathbb Z^2$、$w\neq0$ とする。$s+t\le1$ なら $w\in T$ で、$s,t<1$ と $w\neq0$ から $w$ は頂点でない。$s+t>1$ なら $u+v-w=(1-s)u+(1-t)v$ は格子点で、係数は $0< 1-s\le1$、$0< 1-t\le1$、和は $1$ 未満なので $T$ に属し、頂点 $0,u,v$ のどれでもない。どちらも仮定に反する。よって 2 により $|\det(u,v)|=1$ で、$T$ の面積は $\frac12|\det(u,v)|=\frac12$ である。$\square$

$tQ$ も格子多角形で、面積は $t^2A$ である。$Q$ の辺 $PP'$ 上の格子点（両端を除く）の個数は、thm-lp-primitive の後の注意により $g-1$（$g$ は $P'-P$ の座標の最大公約数）で、$tQ$ の対応する辺では $tg-1$ になる。辺ごとに足すと、$tQ$ の境界の格子点の個数は $tB$ である。Pickの定理 により $tQ$ の内部の格子点の個数は $t^2A-\frac{tB}2+1$ で、境界の $tB$ 個を足すと主張の式を得る。$\square$