平均・中央値・分散
概要
平均・中央値・分散（mean, median and variance）とは、データの中心と散らばりを表す基本の量である。平均値 $\bar x$ はずれの 2 乗の和 $\sum(x_i-a)^2$ を最小にするただ 1 つの $a$、中央値はずれの絶対値の和 $\sum|x_i-a|$ を最小にする $a$ であり（データが偶数個のとき最小にする $a$ は区間になり、高校の中央値はその中点）、分散は 2 乗の和の最小値を $n$ で割ったものである。データをベクトルとみると、分散は偏差ベクトルの長さの 2 乗、共分散は内積、相関係数は角の余弦になる。どの 2 つも無相関で分散 $\sigma^2$ の $n$ 個の確率変数の平均の分散は $\sigma^2/n$ である。
平均・中央値・分散とは
データの「中心」と「散らばり」を 1 つの数で表す量を、高校では代表値・散布度として習う。この記事は、その基本の 3 つ（平均値・中央値・分散）を短く定義し、それぞれを大学の数学の目で見直す 5 本の記事への案内をする。証明は各記事に書いてある。
$n$ 個の数値からなるデータ $x_1,\dots,x_n$ を考え、小さい順に並べ替えたものを $x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)}$ と書く。
- 平均値：$\bar x:=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$。
- 中央値：$n=2m+1$（奇数）なら $x_{(m+1)}$、$n=2m$（偶数）なら $\frac12\bigl(x_{(m)}+x_{(m+1)}\bigr)$。
- 分散：偏差 $x_i-\bar x$ の 2 乗の平均 $s^2:=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$。その正の平方根 $s$ を標準偏差という。
データ $1,2,3,4,10$ では
- 平均値：$\bar x=\frac{20}5=4$。
- 中央値：真ん中の $x_{(3)}=3$。
- 分散：偏差は $-3,-2,-1,0,6$ なので $s^2=\frac{9+4+1+0+36}5=10$。
最後の値を $100$ に変えると、平均値は $\frac{110}5=22$ に跳ね上がるが、中央値は $3$ のままである。
データ $1,2,4,7$ では
- 平均値：$\bar x=\frac{14}4=3.5$。
- 中央値：真ん中の 2 つ $2$ と $4$ の平均で $3$。
- 分散：偏差は $-2.5,-1.5,0.5,3.5$ なので $s^2=\frac{6.25+2.25+0.25+12.25}4=\frac{21}4=5.25$。
図1：データ 1, 2, 3, 4, 10 と、最後の値を 100 に変えたデータ。平均値は 4 から 22 に動くが、中央値は 3 のまま。
平均値と中央値は、どちらも「中心」と呼ばれるのに値が違う。それぞれは何の意味で中心なのか。分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-\bar x^2$ や、相関係数の $-1\le r\le1$ はなぜ成り立つのか。平均をとるとばらつきが減るのはなぜか。これらに 5 本の記事で答える。
高校の計算と大学の概念
| 高校の計算 | 大学の言葉 | 詳しい記事 |
|---|---|---|
| 平均値 $\bar x$ | ずれの 2 乗の和 $\sum(x_i-a)^2$ を最小にするただ 1 つの $a$ | 平均値と二乗誤差 |
| 分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-\bar x^2$ | 直交分解とピタゴラスの定理 | 平均値と二乗誤差、相関係数（高校数学） |
| 中央値 | ずれの絶対値の和 $\sum\vert x_i-a\vert$ を最小にする $a$（偶数個なら区間） | 中央値と絶対誤差 |
| 確率分布の中央値 | $E\vert X\vert<\infty$ なら $E\vert X-a\vert$ を最小にする $a$、確率を半分ずつに分ける点 | 確率分布の中央値 |
| 共分散・相関係数 | 偏差ベクトルの内積・なす角の余弦 | 相関係数（高校数学） |
| $-1\le r\le1$ | Cauchy–Schwarz の不等式 | 相関係数（高校数学） |
| 標本平均の標準偏差 $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ | 直交するベクトルの和の長さ | 標本平均の分散 |
データ $1,2,3,4,10$ について、ずれの測り方ごとに「ずれの合計」を計算する。
データ $1,2,3,4,10$ では、$x_i^2$ の平均は $\overline{x^2}=\frac{1+4+9+16+100}5=26$ なので
$$
\overline{x^2}-\bar x^2=26-16=10
$$
となり、偏差から計算した分散 $10$（ex-mmv-odd-data）と一致する。この一致がいつも起こる理由は、平均値と二乗誤差 では 2 次関数の平方完成として、相関係数（高校数学） では直角三角形の三辺の関係として説明する。
2 つの変量 $\boldsymbol x=(1,2,3,4,5)$、$\boldsymbol y=(1,3,2,5,4)$ では、偏差は $(-2,-1,0,1,2)$ と $(-2,0,-1,2,1)$ である。$s_x^2=s_y^2=2$、共分散は $s_{xy}=\frac{4+0+0+2+2}5=\frac85$ なので、相関係数は $r=\frac{8/5}{2}=0.8$ である。$r=\cos\theta$ となる角は $\theta=36.86\ldots^\circ$ で、これは 2 つの偏差ベクトルのなす角である（相関係数（高校数学））。
表なら $1$、裏なら $0$ とする公正な硬貨 1 枚の分散は $\frac14$ である。2 枚を独立に投げた平均は $0,\frac12,1$ を確率 $\frac14,\frac12,\frac14$ でとり、分散は $\frac14\cdot\frac14+\frac12\cdot0+\frac14\cdot\frac14=\frac18$ である。1 枚の分散の半分になる。$n$ 枚なら $\frac1{4n}$ になることが 標本平均の分散 で示される。
疑問から記事を探す
| 疑問 | 答える記事 |
|---|---|
| 平均値はどういう意味で「中心」なのか | 平均値と二乗誤差 |
| 偶数個のとき、中央値を真ん中の 2 つの平均にするのはなぜか | 中央値と絶対誤差 |
| 外れ値があると平均値が動くのに、中央値が動かないのはなぜか | 中央値と絶対誤差 |
| 確率分布（さいころ、密度関数）の中央値はどう決めるか | 確率分布の中央値 |
| 期待値をもたない分布はあるか | 確率分布の中央値 |
| 相関係数が $-1$ と $1$ の間にあるのはなぜか | 相関係数（高校数学） |
| 相関係数が $0$ なら無関係か | 相関係数（高校数学） |
| 同じ測定をくり返して平均すると、なぜ精度が上がるのか | 標本平均の分散 |
| 何回くり返せば精度が 2 倍になるか | 標本平均の分散 |
読む順番
- 平均値と二乗誤差：平均値は、ずれの 2 乗の和を最小にするただ 1 つの値である。偏差の和が $0$ になることから等式 $\sum(x_i-a)^2=\sum(x_i-\bar x)^2+n(a-\bar x)^2$ を導き、分散の公式を系として得る。確率変数の期待値でも同じことが成り立つ。
- 中央値と絶対誤差：中央値は、ずれの絶対値の和を最小にする値である。偶数個のときは最小にする値が区間になり、高校の中央値はその中点であることがわかる。平均値との使い分けも扱う。
- 確率分布の中央値：確率変数の中央値を確率の釣り合いで定義し、$E|X-a|$ を最小にするのが中央値であることを示す。期待値をもたない Cauchy 分布でも中央値は使える。
- 相関係数（高校数学）：データをベクトルとみると、分散は長さの 2 乗、共分散は内積、相関係数は角の余弦になる。$-1\le r\le1$ を 2 次関数の判別式で証明し、$r=\pm1$ となる条件を求める。1 のあとに読むとよい。
- 標本平均の分散：分散がどれも $\sigma^2$ で、どの 2 つも無相関な $n$ 個の確率変数の平均は、分散が $\frac{\sigma^2}n$ になる。共分散の性質から証明し、相関があると成り立たない例を見る。1 のあとに読むとよい。
1 → 2 → 3 の順に読むと、平均と中央値の違いがはっきりする。4 と 5 は 1 を読んでいれば、どちらからでも読める。
関連項目
- 前提: 総和記号, 絶対値, 期待値
- 次に読む: 平均値と二乗誤差, 中央値と絶対誤差, 確率分布の中央値, 相関係数（高校数学）, 標本平均の分散, 四分位数と箱ひげ図
- 関連（高校数学）: 2次関数の最大・最小, 絶対値と三角不等式, 大数の法則とさいころの平均, 確率変数の期待値と分散
- 発展: 分散, 大数の法則, 最小二乗法
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