平均・中央値・分散

同義語：平均と中央値mean, median and variance

概要

前提知識: Σ記法の使い方, 絶対値, 期待値

平均・中央値・分散とは

データの「中心」と「散らばり」を 1 つの数で表す量を、高校では代表値・散布度として習う。この記事は、その基本の 3 つ（平均値・中央値・分散）を定義し、「平均値はずれの 2 乗の和を最小にする」「中央値はずれの絶対値の和を最小にする」という 2 つの性質をこの記事の中で証明したうえで、それぞれを大学の数学の目で見直す 5 本の記事への案内をする。

平均値・中央値・分散

$n$ 個の数値からなるデータ $x_1,\dots,x_n$ を考え、小さい順に並べ替えたものを $x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)}$ と書く。

平均値：$\bar x:=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$。
中央値：$n=2m+1$（奇数）なら $x_{(m+1)}$、$n=2m$（偶数）なら $\frac12\bigl(x_{(m)}+x_{(m+1)}\bigr)$。
分散：偏差 $x_i-\bar x$ の 2 乗の平均 $s^2:=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$。その正の平方根 $s$ を標準偏差という。

奇数個のデータ

データ $1,2,3,4,10$ では

平均値：$\bar x=\frac{20}5=4$。
中央値：真ん中の $x_{(3)}=3$。
分散：偏差は $-3,-2,-1,0,6$ なので $s^2=\frac{9+4+1+0+36}5=10$。
最後の値を $100$ に変えると、平均値は $\frac{110}5=22$ に跳ね上がるが、中央値は $3$ のままである。

偶数個のデータ

データ $1,2,4,7$ では

平均値：$\bar x=\frac{14}4=3.5$。
中央値：真ん中の 2 つ $2$ と $4$ の平均で $3$。
分散：偏差は $-2.5,-1.5,0.5,3.5$ なので $s^2=\frac{6.25+2.25+0.25+12.25}4=\frac{21}4=5.25$。

データ 1, 2, 3, 4, 10 と、最後の値を 100 に変えたデータ。平均値は 4 から 22 に動くが、中央値は 3 のまま。
平均値と中央値は、どちらも「中心」と呼ばれるのに値が違う。それぞれは何の意味で中心なのか。分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-\bar x^2$ や、相関係数の $-1\le r\le1$ はなぜ成り立つのか。平均をとるとばらつきが減るのはなぜか。最初の問いには次の節で答え、残りは 5 本の記事で答える。

平均値と中央値は何を最小にするか

データの「中心」を 1 つの数 $a$ で代表させるとき、各データと $a$ のずれを全部合わせた量が小さいほど、$a$ はよい代表だと考えられる。ずれの測り方を 2 通り用意する。
$$ Q(a):=\sum_{i=1}^n(x_i-a)^2\quad(\text{ずれの 2 乗の和}),\qquad L(a):=\sum_{i=1}^n|x_i-a|\quad(\text{ずれの絶対値の和}) $$
平均値は $Q$ を、中央値は $L$ を最小にする。この節ではこの 2 つを証明する。

平均値はずれの 2 乗の和を最小にする

データ $x_1,\dots,x_n$ の平均値を $\bar x$ とする。すべての実数 $a$ について
$$ \sum_{i=1}^n(x_i-a)^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2+n(a-\bar x)^2 $$
が成り立つ。したがって $Q(a)$ は $a=\bar x$ のときに限って最小になり、最小値は $ns^2$ である。特に $a=0$ とおくと、分散の公式
$$ s^2=\overline{x^2}-\bar x^2\qquad\Bigl(\overline{x^2}:=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i^2\Bigr) $$
が得られる。

偏差の和が 0 になることを使う

段 1（偏差の和は $0$）。$\bar x$ の定義から $\sum_{i=1}^nx_i=n\bar x$ なので
$$ \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)=\sum_{i=1}^nx_i-n\bar x=0 $$
である。
段 2（2 つに分けて 2 乗する）。$x_i-a=(x_i-\bar x)+(\bar x-a)$ と分けて 2 乗すると
$$ (x_i-a)^2=(x_i-\bar x)^2+2(\bar x-a)(x_i-\bar x)+(\bar x-a)^2 $$
である。$i=1,\dots,n$ について足す。$\bar x-a$ は $i$ によらない数なので和の外に出せて、真ん中の項の和は $2(\bar x-a)\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)=0$（段 1）になる。最後の項は同じ数 $(\bar x-a)^2$ を $n$ 個足すので $n(a-\bar x)^2$ である。これで等式が示された。
段 3（最小値）。右辺の第 1 項 $\sum(x_i-\bar x)^2=ns^2$ は $a$ によらない。第 2 項 $n(a-\bar x)^2$ は $0$ 以上で、$0$ になるのは $a=\bar x$ のときだけである。よって $Q(a)\ge ns^2$ で、等号は $a=\bar x$ のときに限る。
段 4（分散の公式）。等式に $a=0$ を入れると $\sum x_i^2=ns^2+n\bar x^2$ である。両辺を $n$ で割って移項すると $s^2=\overline{x^2}-\bar x^2$ となる。$\square$

等式は、$Q(a)$ を $a$ の 2 次関数とみて平方完成したものでもある。グラフは頂点が $(\bar x,\ ns^2)$ の下に凸な放物線である（2次関数の最大・最小）。
次の定理のために、データを小さい順に並べた $x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}$ を使う。$L(a)$ は足す順番によらないので、$L(a)=\sum_{i=1}^n|x_{(i)}-a|$ と書いてよい。

2 点までの距離の和

$p\le q$ とする。すべての実数 $a$ について $|p-a|+|q-a|\ge q-p$ であり、等号が成り立つのは $p\le a\le q$ のときに限る。

$a$ の位置で 3 つに分ける

$a< p$ のとき：$p-a>0$、$q-a>0$ なので $|p-a|+|q-a|=(p-a)+(q-a)=(q-p)+2(p-a)>q-p$。
$p\le a\le q$ のとき：$|p-a|+|q-a|=(a-p)+(q-a)=q-p$。
$a>q$ のとき：$|p-a|+|q-a|=(a-p)+(a-q)=(q-p)+2(a-q)>q-p$。
どの場合も $q-p$ 以上で、等号は真ん中の場合だけである。$\square$

数直線で見ると、$|p-a|+|q-a|$ は点 $a$ から 2 点 $p,q$ までの距離の和である。$a$ が 2 点の間にあれば和は 2 点の間の距離 $q-p$ で、外に出ると往復の分だけ長くなる。

中央値はずれの絶対値の和を最小にする

データ $x_1,\dots,x_n$ を小さい順に並べたものを $x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}$ とする。

$n=2m+1$（奇数）のとき、$L(a)$ を最小にする $a$ は中央値 $x_{(m+1)}$ ただ 1 つである。
$n=2m$（偶数）のとき、$L(a)$ を最小にする $a$ 全体は閉区間 $[x_{(m)},x_{(m+1)}]$ である。高校の中央値 $\frac12\bigl(x_{(m)}+x_{(m+1)}\bigr)$ はこの区間の中点なので、$L$ を最小にする。

外側から 2 つずつ組にする

段 1（組にする）。$i=1,\dots,m$ について、小さいほうから $i$ 番目と大きいほうから $i$ 番目を組にする。組 $x_{(i)}\le x_{(n+1-i)}$ に lem-mmv-two-points を使うと
$$ \lvert x_{(i)}-a\rvert+\lvert x_{(n+1-i)}-a\rvert\ge x_{(n+1-i)}-x_{(i)} $$
で、等号は $a\in I_i:=[x_{(i)},x_{(n+1-i)}]$ のときに限る。区間は $I_1\supset I_2\supset\cdots\supset I_m$ と内側へ入れ子になっている（$x_{(i)}\le x_{(i+1)}$、$x_{(n-i)}\le x_{(n+1-i)}$ だから）。
段 2（偶数個）。$n=2m$ なら、$m$ 組でデータ全部を使い切る。$m$ 個の不等式を足すと
$$ L(a)\ge\sum_{i=1}^m\bigl(x_{(n+1-i)}-x_{(i)}\bigr)=:c $$
で、右辺の $c$ は $a$ によらない。等号は $m$ 個すべてで等号が成り立つとき、つまり $a$ がすべての $I_i$ に入るときに限る。入れ子なので、それは $a\in I_m=[x_{(m)},x_{(m+1)}]$ と同じである。この区間は空でないので、$L$ の最小値は $c$ で、最小にする $a$ 全体はちょうど $I_m$ である。
段 3（奇数個）。$n=2m+1$ なら、$m$ 組のほかに真ん中の $x_{(m+1)}$ が 1 つ残る。足すと
$$ L(a)\ge c+|x_{(m+1)}-a|\ge c $$
である。等号は、$a$ がすべての $I_i$ に入り、かつ $a=x_{(m+1)}$ のときに限る。$x_{(m+1)}$ はどの $I_i$ にも入っている（$x_{(i)}\le x_{(m+1)}\le x_{(n+1-i)}$）ので、等号は $a=x_{(m+1)}$ のときちょうど成り立つ。よって $L$ を最小にするのは $x_{(m+1)}$ ただ 1 つである（$m=0$、つまり $n=1$ なら組はなく、$L(a)=|x_1-a|$ なので明らかである）。$\square$

2 つの定理と同じ主張は、各論の記事平均値と二乗誤差の定理「平均値は二乗誤差の和を最小にする」と、中央値と絶対誤差の定理「中央値は絶対誤差の和を最小にする」でも証明されている。各論の記事では、確率変数の期待値への広がりや、平均値と中央値の使い分けまで扱う。

高校の計算と大学の概念

高校の計算	大学の言葉	詳しい記事
平均値 $\bar x$	ずれの 2 乗の和 $\sum(x_i-a)^2$ を最小にするただ 1 つの $a$	平均値と二乗誤差
分散の公式 $s^2=\overline{x^2}-\bar x^2$	直交分解とピタゴラスの定理	平均値と二乗誤差、相関係数（高校数学）
中央値	ずれの絶対値の和 $\sum\vert x_i-a\vert$ を最小にする $a$（偶数個なら区間）	中央値と絶対誤差
確率分布の中央値	$E\vert X\vert<\infty$ なら $E\vert X-a\vert$ を最小にする $a$、確率を半分ずつに分ける点	確率分布の中央値
共分散・相関係数	偏差ベクトルの内積・なす角の余弦	相関係数（高校数学）
$-1\le r\le1$	Cauchy–Schwarz の不等式	相関係数（高校数学）
標本平均の標準偏差 $\frac{\sigma}{\sqrt n}$	直交するベクトルの和の長さ	標本平均の分散

同じデータで 3 つの見方を比べる

データ $1,2,3,4,10$ について、ずれの測り方ごとに「ずれの合計」を計算する。

2 乗の和 $Q(a)=\sum(x_i-a)^2$：$Q(3)=4+1+0+1+49=55$、$Q(4)=9+4+1+0+36=50$。平均値 $4$ のほうが小さい。
絶対値の和 $L(a)=\sum|x_i-a|$：$L(3)=2+1+0+1+7=11$、$L(4)=3+2+1+0+6=12$。中央値 $3$ のほうが小さい。
どちらの測り方でも、最小になるのはそれぞれ平均値と中央値である（thm-mmv-mean、thm-mmv-median）。$Q$ の最小値 $50$ は分散 $10$ の $5$ 倍であり、$Q(3)=50+5\cdot(3-4)^2=55$ も thm-mmv-mean の等式どおりである。

分散の公式

データ $1,2,3,4,10$ では、$x_i^2$ の平均は $\overline{x^2}=\frac{1+4+9+16+100}5=26$ なので
$$ \overline{x^2}-\bar x^2=26-16=10 $$
となり、偏差から計算した分散 $10$（ex-mmv-odd-data）と一致する。この一致がいつも起こることは thm-mmv-mean で証明した。相関係数（高校数学）では、同じ等式を直角三角形の三辺の関係として見直す。

相関係数を角として見る

2 つの変量 $\boldsymbol x=(1,2,3,4,5)$、$\boldsymbol y=(1,3,2,5,4)$ では、偏差は $(-2,-1,0,1,2)$ と $(-2,0,-1,2,1)$ である。$s_x^2=s_y^2=2$、共分散は $s_{xy}=\frac{4+0+0+2+2}5=\frac85$ なので、相関係数は $r=\frac{8/5}{2}=0.8$ である。$r=\cos\theta$ となる角は $\theta=36.86\ldots^\circ$ で、これは 2 つの偏差ベクトルのなす角である（相関係数（高校数学））。

平均するとばらつきが減る

表なら $1$、裏なら $0$ とする公正な硬貨 1 枚の分散は $\frac14$ である。2 枚を独立に投げた平均は $0,\frac12,1$ を確率 $\frac14,\frac12,\frac14$ でとり、分散は $\frac14\cdot\frac14+\frac12\cdot0+\frac14\cdot\frac14=\frac18$ である。1 枚の分散の半分になる。$n$ 枚なら $\frac1{4n}$ になることが標本平均の分散で示される。

条件を外すと崩れること

ここまでの主張には、それぞれ前提がある。前提を 1 つ外すと結論が崩れる反例を表にする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
ずれを 2 乗で測る	データ $1,2,3,4,10$ で $L(4)=12>L(3)=11$	平均値がずれの合計を最小にする
データが奇数個	データ $1,2,4,7$ で、$2\le a\le4$ のどの $a$ でも $L(a)=8$	ずれの絶対値の和を最小にする $a$ がただ 1 つ
分散は $n$ で割る	データ $1,2,3,4,10$ で、$n-1=4$ で割ると $12.5$	$s^2=\overline{x^2}-\bar x^2$（右辺は $10$）
2 回の結果が無相関	1 枚の硬貨の結果 $X$ を 2 回とも使う	2 つの平均の分散が 1 つの分散の半分

反例：前提を外した 4 つの場合

2 乗を絶対値に替える。 ex-mmv-compare のとおり、データ $1,2,3,4,10$ では平均値 $4$ より中央値 $3$ のほうが $L$ が小さい。「平均値はずれの合計を最小にする」という主張は、ずれを 2 乗で測るという前提（thm-mmv-mean）を外すと成り立たない。
偶数個にする。 データ $1,2,4,7$ では、$2\le a\le4$ のとき $|1-a|+|7-a|=6$、$|2-a|+|4-a|=2$（lem-mmv-two-points）なので $L(a)=8$ で一定である。$a=2.5$ でも $a=4$ でも最小になり、最小にする値はただ 1 つに決まらない。高校の中央値 $3$ は、この区間 $[2,4]$ の中点を選ぶ約束である。この反例は「$L$ を最小にする $a$ は 1 つ」という含意を、奇数個という前提（thm-mmv-median の 1 つ目）を外して破る。
$n-1$ で割る。 データ $1,2,3,4,10$ の偏差の 2 乗の和は $50$ である。$n-1=4$ で割った $12.5$（統計で不偏分散と呼ばれる量）は、$\overline{x^2}-\bar x^2=10$ と等しくない。分散の公式は「$n$ で割る」定義のもとでの等式である。
無相関でない場合。 公正な硬貨 1 枚の結果 $X$（表なら $1$、裏なら $0$）を、2 回目の結果としてもそのまま使う（$Y=X$）。平均 $\frac{X+Y}2=X$ の分散は $\frac14$ のままで、ex-mmv-average の $\frac18$ にならない。「平均をとるとばらつきが減る」という含意は、2 回の結果が無相関であるという前提を外すと成り立たない。

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同じ測定をくり返して平均すると、なぜ精度が上がるのか	標本平均の分散
何回くり返せば精度が 2 倍になるか	標本平均の分散

読む順番

平均値と二乗誤差：平均値は、ずれの 2 乗の和を最小にするただ 1 つの値である。偏差の和が $0$ になることから等式 $\sum(x_i-a)^2=\sum(x_i-\bar x)^2+n(a-\bar x)^2$ を導き、分散の公式を系として得る。確率変数の期待値でも同じことが成り立つ。
中央値と絶対誤差：中央値は、ずれの絶対値の和を最小にする値である。偶数個のときは最小にする値が区間になり、高校の中央値はその中点であることがわかる。平均値との使い分けも扱う。
確率分布の中央値：確率変数の中央値を確率の釣り合いで定義し、$E|X-a|$ を最小にするのが中央値であることを示す。期待値をもたない Cauchy 分布でも中央値は使える。
相関係数（高校数学）：データをベクトルとみると、分散は長さの 2 乗、共分散は内積、相関係数は角の余弦になる。$-1\le r\le1$ を 2 次関数の判別式で証明し、$r=\pm1$ となる条件を求める。1 のあとに読むとよい。
標本平均の分散：分散がどれも $\sigma^2$ で、どの 2 つも無相関な $n$ 個の確率変数の平均は、分散が $\frac{\sigma^2}n$ になる。共分散の性質から証明し、相関があると成り立たない例を見る。1 のあとに読むとよい。
1 → 2 → 3 の順に読むと、平均と中央値の違いがはっきりする。4 と 5 は 1 を読んでいれば、どちらからでも読める。

平均・中央値・分散

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