局所コンパクト空間

3 から 4：$x$ の近傍 $N$ に対し $O:=\operatorname{Int}N$ に 3 を適用すると、$\overline{V}$ は $x\in V\subset\overline{V}\subset N$ を満たすコンパクト近傍である。4 から 1、および 2 から 1 は直ちに従う。1 から 2：$K$ を $x$ のコンパクト近傍とすると、コンパクト空間の記事の命題（保存と閉性）により Hausdorff 空間のコンパクト部分集合 $K$ は閉集合なので、開近傍 $\operatorname{Int}K$ の閉包は $K$ に含まれ、コンパクト集合の閉部分集合としてコンパクトである。
1 から 3 を示す。$x\in O$ をとり、$x$ のコンパクト近傍 $K$ をとって $N:=\operatorname{Int}K\cap O$ とおく。$N$ は $x$ を含む開集合であり、$C:=K\setminus N$ は $K$ の閉部分集合なのでコンパクトで、$x\notin C$ である。Hausdorff 空間では点とそれを含まないコンパクト集合を交わらない開集合で分離できる（コンパクト空間の記事の命題（保存と閉性）の証明の第 3 項で示されている）。そこで交わらない開集合 $P,Q$ で $x\in P$、$C\subset Q$ となるものをとる。
$V:=P\cap N$ とおく。$V\subset K$ で $K$ は閉集合だから $\overline{V}\subset K$ である。また $P\subset X\setminus Q$ で右辺は閉集合だから $\overline{V}\subset\overline{P}\subset X\setminus Q$ であり、$\overline{V}$ は $C$ と交わらない。したがって $\overline{V}\subset K\setminus C=N\subset O$ である。$\overline{V}$ はコンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトであり、3 を得る。$\square$

各 $x\in K$ に対し、thm-locally-compact-space-equivalences の 3 により $x\in V_x\subset\overline{V_x}\subset O$ かつ $\overline{V_x}$ がコンパクトとなる開集合 $V_x$ がある（各 $x$ について一つずつ選ぶので、$K$ が無限集合のときは選択公理を使う）。$\{V_x\mid x\in K\}$ は $K$ の開被覆なので、有限個の $x_1,\dots,x_n$ で $K\subset V:=V_{x_1}\cup\cdots\cup V_{x_n}$ となる。$\overline{V}=\overline{V_{x_1}}\cup\cdots\cup\overline{V_{x_n}}$ は有限個のコンパクト集合の和なのでコンパクトであり、$O$ に含まれる。$K=\emptyset$ のときは $V=\emptyset$ とすればよい。$\square$

$A\subset X$ を閉集合とし相対位相を入れ、$a\in A$ とする。$X$ における $a$ のコンパクト近傍 $K$ をとる。$A\cap K$ はコンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトであり、$A$ の開集合 $A\cap\operatorname{Int}K\ni a$ を含むから、$A$ における $a$ の近傍である。Hausdorff 性は部分空間に遺伝する（分離公理の記事の命題（基本的な分離公理の遺伝性））ので、$A$ は局所コンパクトである。$\square$

$U\subset X$ を開集合とし、$x\in U$ とする。thm-locally-compact-space-equivalences の 3 により、開集合 $V$ で $x\in V\subset\overline{V}\subset U$ かつ $\overline{V}$ がコンパクトとなるものがある。$V$ は $U$ でも開であり、$\overline{V}$ は $U$ における $x$ のコンパクト近傍である。Hausdorff 性は部分空間へ遺伝するので、$U$ は局所コンパクトである。$\square$

$A$ が $\overline{A}$ で開なら、$\overline{A}$ は prop-lc-closed-subspace により局所コンパクトで、その開部分空間 $A$ は prop-lc-open-subspace により局所コンパクトである。なお「$\overline{A}$ で開」と「$A=U\cap F$ の形」は同値である：前者なら $A=U\cap\overline{A}$ となる開集合 $U$ があり、後者なら $A\subset\overline{A}\subset F$ から $A=U\cap\overline{A}$ である。
逆に $A$ が局所コンパクトとし、$x\in A$ をとる。$A$ における $x$ のコンパクト近傍 $K$ をとると、相対位相の定義により $X$ の開集合 $U$ で $x\in U\cap A\subset K$ となるものがある。$K$ は Hausdorff 空間 $X$ のコンパクト部分集合なので $X$ の閉集合であり、したがって $\overline{U\cap A}\subset K\subset A$ である。ここで開集合 $U$ について $U\cap\overline{A}\subset\overline{U\cap A}$ が成り立つ：$y\in U\cap\overline{A}$ と $y$ の開近傍 $W$ に対し、$W\cap U$ は $y$ の開近傍なので $A$ と交わり、よって $W$ は $U\cap A$ と交わる。以上から $x\in U\cap\overline{A}\subset A$ であり、$U\cap\overline{A}$ は $\overline{A}$ の開集合である。$x\in A$ は任意だったから、$A$ はこのような開集合の和として $\overline{A}$ の開集合である。$\square$

$y\in Y$ に対し $f(x)=y$ となる $x\in X$ をとり、$x$ のコンパクト近傍 $K$ をとる。$f(K)$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトであり、$f$ が開写像なので $f(\operatorname{Int}K)$ は $y$ を含む $Y$ の開集合で $f(K)$ に含まれる。よって $f(K)$ は $y$ のコンパクト近傍である。$\square$

1. Hausdorff 空間の積は Hausdorff である（Tychonoffの定理 の記事の命題（Hausdorff 性の保存））。点 $(x_1,\dots,x_n)$ に対し、各 $x_i$ のコンパクト近傍 $K_i$ をとる。$K_1\times\cdots\times K_n$ は有限個のコンパクト空間の積なのでコンパクトであり（Tychonoffの定理。有限個の場合は選択公理を要しない）、開集合 $\operatorname{Int}K_1\times\cdots\times\operatorname{Int}K_n$ を含むので、この点のコンパクト近傍である。
2. 後半を示せば、$\mathbb{R}$ がコンパクトでないことから前半が従う。$X=\prod_{i\in I}X_i$ が局所コンパクトで空でないとし、点 $x\in X$ のコンパクト近傍 $K$ をとる。射影 $\pi_i\colon X\to X_i$ は連続な開写像であり全射なので、各 $X_i$ は prop-locally-compact-space-image により局所コンパクトである。また直積位相の定義により、有限集合 $J\subset I$ と各 $j\in J$ の開集合 $U_j\subset X_j$ で
   $$x\in\bigcap_{j\in J}\pi_j^{-1}(U_j)\subset K$$
   となるものがある。$i\notin J$ に対し、$\pi_i$ は左辺の集合を $X_i$ 全体に写すので $\pi_i(K)=X_i$ であり、コンパクト集合の連続像として $X_i$ はコンパクトである。$\square$

上の集合族を $\mathcal{T}$ と書く。$\emptyset$ は $X$ の開集合、$X^*=X^*\setminus\emptyset$ は $\emptyset$ がコンパクトなので、ともに $\mathcal{T}$ に属する。$X$ のコンパクト集合は Hausdorff 性により $X$ の閉集合であることを繰り返し使う。
有限交叉：$U_1\cap U_2$ は $X$ の開集合である。$U\cap(X^*\setminus K)=U\cap(X\setminus K)$ は $X$ の開集合である。$(X^*\setminus K_1)\cap(X^*\setminus K_2)=X^*\setminus(K_1\cup K_2)$ で、$K_1\cup K_2$ はコンパクトである。
任意の和：$X$ の開集合だけの和は $X$ の開集合である。$X^*\setminus K_\lambda$（$\lambda\in\Lambda\neq\emptyset$）の和は $X^*\setminus\bigcap_\lambda K_\lambda$ であり、$\bigcap_\lambda K_\lambda$ は閉集合の共通部分としてコンパクト集合 $K_{\lambda_0}$ の閉部分集合なのでコンパクトである。両方の型が混じる和は、$U:=\bigcup U_\mu$（$X$ の開集合）と $K:=\bigcap K_\lambda$（コンパクト）により $U\cup(X^*\setminus K)=X^*\setminus(K\setminus U)$ と書け、$K\setminus U=K\cap(X\setminus U)$ はコンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトである。よって $\mathcal{T}$ は位相である。
$X$ の相対位相：$U\cap X=U$、$(X^*\setminus K)\cap X=X\setminus K$ はどちらも $X$ の開集合であり、逆に $X$ の開集合は $\mathcal{T}$ に属する。よって $X$ の相対位相はもとの位相に一致し、$X$ 自身が $\mathcal{T}$ に属するので $X$ は $X^*$ の開部分空間である。
コンパクト性：$X^*$ の開被覆 $\mathcal{U}$ をとる。$\infty$ を含む成員はある $X^*\setminus K$ の形である。$K$ は $X$ のコンパクト集合で、$\mathcal{U}$ の成員と $X$ との共通部分は $X$ の開集合なので、有限個の成員 $W_1,\dots,W_n\in\mathcal{U}$ で $K\subset W_1\cup\cdots\cup W_n$ となる。これに $X^*\setminus K$ を加えた有限個の成員が $X^*$ を覆う。
Hausdorff 性：$X$ の相異なる二点は $X$ の交わらない開集合で分離でき、それらは $X^*$ でも開である。$x\in X$ と $\infty$ については、$x$ のコンパクト近傍 $K$ をとると $\operatorname{Int}K$ と $X^*\setminus K$ が交わらない開集合で、それぞれ $x$、$\infty$ を含む。ここで $X$ の局所コンパクト性を使った。
稠密性と孤立性：$\infty$ の近傍は $X^*\setminus K$（$K$ コンパクト）を含む。$X$ がコンパクトでなければ $K\neq X$ なので $X^*\setminus K$ は $X$ と交わり、$X$ は稠密である。$X$ がコンパクトなら $\{\infty\}=X^*\setminus X$ は開集合である。$\square$

$X$ を $e(X)$ と同一視する。1 を仮定し、Hausdorff コンパクト化 $cX$ と $x\in X$ をとり、$X$ における $x$ のコンパクト近傍 $K$ をとる。相対位相の定義から、$cX$ の開集合 $O$ で $x\in O$ かつ $O\cap X\subset K$ となるものをとれる。$K$ は $cX$ のコンパクト部分集合だから閉である。$O\setminus K$ は $X$ と交わらない開集合だが、$X$ は $cX$ で稠密なので空である。よって $O\subset K\subset X$ であり、$X$ は $cX$ で開である。したがって 1 から 2 が従う。
2 から 3：Tychonoff 空間には Hausdorff コンパクト化が存在する（Tychonoff空間の記事の命題（Hausdorff コンパクト化による特徴づけ））ので、その一つに 2 を適用すればよい。
3 を仮定する。コンパクト Hausdorff 空間 $cX$ は正規である（コンパクト空間の記事の命題（コンパクト Hausdorff 空間の正規性））から、任意の $x\in X$ に対し、交わらない閉集合 $\{x\}$ と $cX\setminus X$（$X$ が開なので閉）を分離する交わらない開集合 $V\ni x$、$V'\supset cX\setminus X$ をとると、$\overline{V}\subset cX\setminus V'\subset X$ なので、$cX$ の開集合 $V$ で $x\in V\subset\overline{V}\subset X$ となるものが得られる（$cX\setminus X=\emptyset$ なら $V=cX$ でよい）。$\overline{V}$ は $cX$ の閉部分集合なのでコンパクトで、$X$ における $x$ のコンパクト近傍でもある。$X$ は Hausdorff なので 1 が従う。$\square$

thm-locally-compact-space-equivalences の 3 を $O:=X\setminus F$ に適用し、$x\in V\subset\overline{V}\subset X\setminus F$ かつ $\overline{V}$ がコンパクトとなる開集合 $V$ をとる。$\overline{V}$ はコンパクト Hausdorff 空間なので正規であり（コンパクト空間の記事の命題（コンパクト Hausdorff 空間の正規性））、$\{x\}$ と $\overline{V}\setminus V$ はその交わらない閉集合である（$\{x\}$ は Hausdorff 性から閉、$\overline{V}\setminus V=\overline{V}\cap(X\setminus V)$ は閉）。Urysohnの補題（第2可算公理の記事の補題（閉集合を関数で分離する）、Mun00 §33 Theorem 33.1）により、連続写像 $g\colon\overline{V}\to[0,1]$ で $g(x)=0$、$\overline{V}\setminus V$ 上で $1$ となるものがある。$\overline{V}\setminus V=\emptyset$ のときは $g$ を $0$ にとる。
$f\colon X\to[0,1]$ を、$\overline{V}$ 上では $g$、$X\setminus V$ 上では定数 $1$ と定める。二つの定義域は閉集合で $X$ を覆い、共通部分 $\overline{V}\setminus V$ の上では両方の定義が $1$ で一致するので、$f$ は well-defined で、閉集合上の連続写像の貼り合わせとして連続である。$f(x)=g(x)=0$ であり、$F\subset X\setminus V$ 上で $f=1$ である。$X$ は Hausdorff なので Tychonoff 空間である。Tychonoff 空間が正則であることは分離公理の記事の命題（完全正則性を経由する含意）による。$\square$

$p:=\operatorname{id}_X\times q$ とおく。$q$ は全射なので $p$ も全射かつ連続である。$W\subset X\times Y$ を開集合で、$p$ のファイバーの和（$W=p^{-1}(p(W))$）になっているものとし、$p(W)$ が開であることを示せばよい。$(x,z)\in p(W)$ をとり、$q(y)=z$ かつ $(x,y)\in W$ となる $y$ をとる。直積位相により $x\in O$、$y\in N$ かつ $O\times N\subset W$ となる開集合 $O,N$ がある。thm-locally-compact-space-equivalences の 3 により、$x\in U\subset K\subset O$ となる開集合 $U$ とコンパクト集合 $K$ をとれる。
$B:=(K\times Y)\setminus W$ は $K\times Y$ の閉集合である。コンパクト因子に沿う射影 $K\times Y\to Y$ は閉写像である（完全写像の記事の命題（コンパクトな因子に沿う積射影）を座標交換の同相 $K\times Y\cong Y\times K$ と合成する）ので、$B$ の $Y$ への射影 $p_Y(B)$ は閉である。$V:=Y\setminus p_Y(B)$ は開で、$K\times\{y\}\subset O\times N\subset W$ より $y\in V$ であり、$K\times V\subset W$ である。$q(y')=q(y'')$ なら各 $k\in K$ について $(k,y')$ と $(k,y'')$ は $p$ で同じ像を持ち、$W$ は $p$ のファイバーの和だから、一方が $W$ に属することと他方が属することは同値である。よって $V$ は $q$ のファイバーの和である。$q$ が商写像だから $q(V)$ は $Z$ で開であり、$U\times q(V)$ は $(x,z)$ を含む開集合で $p(K\times V)\subset p(W)$ に含まれる。よって $p(W)$ は開であり、$p$ は商写像である。$\square$