整環

1．$\mathcal{O}$ の $\mathbb{Z}$ 基底 $e_1,\dots,e_m$ をとる。$x\in\mathcal{O}$ による左からの掛け算 $L_x\colon y\mapsto xy$ は $\mathcal{O}$ をそれ自身に移すので、この基底について整数行列 $M$ で表される。$\chi(t):=\det(tI-M)$ は整数係数のモニック多項式で、Cayley–Hamiltonの定理 により $\chi(M)=0$、すなわち $\chi(L_x)=0$ である。結合法則により $y\mapsto L_y$ は環準同型なので $\chi(L_x)=L_{\chi(x)}$ であり、$\chi(x)=L_{\chi(x)}(1)=0$ となる。

2．1 により整環の元は代数的整数なので $\mathcal{O}\subset\mathcal{O}_K$ である。$\mathcal{O}_K$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群なので（判別式(代数体) の記事の定理「整数底の存在」）整環であり、すべての整環を含む。$\mathcal{O}$ の $\mathbb{Z}$ 基底は $K$ の $\mathbb{Q}$ 上の基底なので、同記事の系「指数公式」により $[\mathcal{O}_K:\mathcal{O}]$ は有限で $d(\mathcal{O})=[\mathcal{O}_K:\mathcal{O}]^2d_K$ である。

3．$m:=[\mathcal{O}_K:\mathcal{O}]$ とすると、有限アーベル群 $\mathcal{O}_K/\mathcal{O}$ の位数が $m$ なので $m\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}$、したがって $m\mathcal{O}_K\subset\mathfrak{f}$ である。残りは 導手イデアル の記事の定理「最大の共通イデアル」による。$\square$

1．$c_0:=\frac{d_K^2-d_K}4\in\mathbb{Z}$ とおくと $(f\omega_K)^2=f^2(d_K\omega_K-c_0)=fd_K\cdot f\omega_K-f^2c_0\in\mathbb{Z}+\mathbb{Z}f\omega_K$ なので、$\mathbb{Z}+\mathbb{Z}f\omega_K$ は積で閉じ、階数 $2$ の部分環として整環である。$\mathbb{Z}+f\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}+f\mathbb{Z}+\mathbb{Z}f\omega_K$ なので 2 つの表し方は一致する。基底の取り替え行列は $\operatorname{diag}(1,f)$ なので指数は $f$、判別式は $(f\omega_K-f\omega_K')^2=f^2d_K$ である。導手について、$f\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}_f$ は明らかである。逆に $x=m+n\omega_K\in\mathcal{O}_K$ が $x\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}_f$ を満たすなら、$x\in\mathcal{O}_f$ から $f\mid n$ であり、$x\omega_K=-nc_0+(m+nd_K)\omega_K\in\mathcal{O}_f$ から $f\mid m+nd_K$、したがって $f\mid m$ となる。よって $x\in f\mathcal{O}_K$ である。

2．整環 $\mathcal{O}$ は $\mathcal{O}_K$ に含まれ（thm-order-basic の 2）、$\mathbb{Z}$ を含む。$\mathcal{O}$ の元 $m+n\omega_K$ の $n$ の全体は $\mathbb{Z}$ の部分群なので $f\mathbb{Z}$（$f\ge0$）と書け、$\mathcal{O}$ の階数が $2$ なので $f\ge1$ である。$m+f\omega_K\in\mathcal{O}$ となる $m$ があり、$m\in\mathcal{O}$ なので $f\omega_K\in\mathcal{O}$、よって $\mathcal{O}_f\subset\mathcal{O}$ である。逆に $m+n\omega_K\in\mathcal{O}$ なら $f\mid n$ なので $\mathcal{O}\subset\mathcal{O}_f$ である。$f=[\mathcal{O}_K:\mathcal{O}]$ なので $f$ は一意である。

3．$\mathcal{O}_f\subset\mathcal{O}_g$ は $f\omega_K\in\mathbb{Z}+\mathbb{Z}g\omega_K$、すなわち $g\mid f$ と同値である。$\square$

$\mathfrak{a}$ は有限生成でねじれのない加法群で（$m\mathfrak{a}\subset\mathcal{O}$）、$0$ でない $x\in\mathfrak{a}$ について $x\mathcal{O}\subset\mathfrak{a}$ なので $\mathbb{Q}\mathfrak{a}=K$ であり、階数 $2$ の自由加群である。基底 $\alpha,\beta$ をとり $\tau:=\beta/\alpha$ とおけばよい。$\mathcal{O}(\mathfrak{a})=\mathcal{O}(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau)$ である。$x\in\mathcal{O}(L)$（$L:=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$）なら $x=x\cdot1\in L$ なので $x=n+m\tau$ と書け、$x\tau=-\frac{mC}A+\bigl(n-\frac{mB}A\bigr)\tau$ が $L$ に入る条件は $A\mid mB$ かつ $A\mid mC$、$\gcd(A,B,C)=1$ によりこれは $A\mid m$ と同値である。よって $\mathcal{O}(L)=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}A\tau$ である（虚数乗法 の記事の定理「乗数環の分類」の 2 と同じ計算で、$\tau$ が実数でもそのまま通る）。判別式は $(A\tau-A\tau')^2=A^2\bigl((\tau+\tau')^2-4\tau\tau'\bigr)=B^2-4AC$ である。

1．$\mathfrak{a}$ が $f$ と素とする。$(\mathfrak{a}+f\mathcal{O})\mathcal{O}_K=\mathcal{O}_K$ なので $\mathfrak{a}\mathcal{O}_K$ も $f$ と素である。$\mathfrak{c}:=\mathfrak{a}\mathcal{O}_K\cap\mathcal{O}$ は $\mathfrak{a}$ を含む $\mathcal{O}$ のイデアルで、$\mathfrak{c}=\mathfrak{c}(\mathfrak{a}+f\mathcal{O})\subset\mathfrak{a}+f\mathfrak{a}\mathcal{O}_K\subset\mathfrak{a}$（$f\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}$ なので $f\mathfrak{a}\mathcal{O}_K\subset\mathfrak{a}\mathcal{O}=\mathfrak{a}$）である。よって $\mathfrak{a}\mathcal{O}_K\cap\mathcal{O}=\mathfrak{a}$ で、$\mathcal{O}/\mathfrak{a}\to\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}\mathcal{O}_K$ は単射である。$\mathcal{O}_K=\mathfrak{a}\mathcal{O}_K+f\mathcal{O}_K\subset\mathfrak{a}\mathcal{O}_K+\mathcal{O}$ なので全射でもあり、指数は等しい。

逆に $\mathfrak{b}$ を $f$ と素な $\mathcal{O}_K$ のイデアルとする。$f\mathfrak{b}\subset\mathfrak{b}\cap f\mathcal{O}_K\subset\mathfrak{b}\cap\mathcal{O}$ に注意する。$f\mathcal{O}_K=f(\mathfrak{b}+f\mathcal{O}_K)\subset f\mathfrak{b}+f\cdot f\mathcal{O}_K\subset(\mathfrak{b}\cap\mathcal{O})+f\mathcal{O}$ なので、$1=b+fx$（$b\in\mathfrak{b}$、$x\in\mathcal{O}_K$）と書くと $b=1-fx\in\mathcal{O}$ で、$1\in(\mathfrak{b}\cap\mathcal{O})+f\mathcal{O}$ となり、$\mathfrak{b}\cap\mathcal{O}$ は $f$ と素である。$(\mathfrak{b}\cap\mathcal{O})+f\mathcal{O}=\mathcal{O}$ に $\mathfrak{b}$ を掛けて $\mathfrak{b}\subset\mathfrak{b}(\mathfrak{b}\cap\mathcal{O})+f\mathfrak{b}$ であり、$f\mathfrak{b}\subset\mathfrak{b}\cap\mathcal{O}$ なので $\mathfrak{b}\subset(\mathfrak{b}\cap\mathcal{O})\mathcal{O}_K$ で、逆の包含は明らかである。以上で 2 つの対応は互いに逆である。積は $(\mathfrak{a}_1\mathfrak{a}_2)\mathcal{O}_K=(\mathfrak{a}_1\mathcal{O}_K)(\mathfrak{a}_2\mathcal{O}_K)$ により保たれる。

2．$x\in\mathcal{O}(\mathfrak{a})$ とする。$x\mathfrak{a}\mathcal{O}_K\subset\mathfrak{a}\mathcal{O}_K$ で、$\mathfrak{a}\mathcal{O}_K$ は $\mathcal{O}_K$ の分数イデアルとして可逆なので、thm-order-invertible の 2 の前半（可逆なら固有）を $\mathcal{O}_K$ に当てて $x\in\mathcal{O}_K$ である。すると $x\mathcal{O}=x(\mathfrak{a}+f\mathcal{O})\subset\mathfrak{a}+f\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}$ なので $x\in\mathcal{O}$ である。よって $\mathfrak{a}$ は固有で、thm-order-invertible により可逆である。$\square$

1．整環 $\mathcal{O}\supset M_n(\mathbb{Z})$ と $x=(x_{jk})\in\mathcal{O}$ をとる。$E_{1j},E_{k1}\in\mathcal{O}$ なので $E_{1j}xE_{k1}=x_{jk}E_{11}\in\mathcal{O}$ であり、thm-order-basic の 1 により整数係数のモニック多項式 $g$ で $g(x_{jk}E_{11})=0$ となるものがある。$g(yE_{11})=g(y)E_{11}+g(0)(I-E_{11})$ なので $g(x_{jk})=0$、すなわち $x_{jk}$ は代数的整数で、有理数なので整数である（代数的整数 の記事の命題「有理数である代数的整数は整数」）。よって $\mathcal{O}=M_n(\mathbb{Z})$ である。

2．$X\mapsto\alpha X\alpha^{-1}$ は $M_2(\mathbb{Q})$ の自己同型なので、整環を整環に、包含を保って移し、極大整環を極大整環に移す。成分では $\alpha\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\alpha^{-1}=\begin{pmatrix}a&b/p\\pc&d\end{pmatrix}$ なので、$\alpha M_2(\mathbb{Z})\alpha^{-1}$ は $\frac1pE_{12}\notin M_2(\mathbb{Z})$ を含む。

3．2 の成分の形から、共通部分は $(1,2)$ 成分が $\mathbb{Z}$、$(2,1)$ 成分が $p\mathbb{Z}$ に入る整数行列の全体である。$\square$