有界型空間

概要

有界型空間（bornological space）とは、集合 $X$ と、$X$ を覆い、部分集合と有限和で閉じた部分集合族（有界型、bornology）の組であり、距離空間の直径が有限な集合全体から「どの集合を有界とよぶか」だけを取り出したものである。部分空間・積の有界型や、有界集合を有界集合に移す有界写像が定まる。有界型がある距離の有界集合全体になるのは可算な基をもつときに限るが、与えられた位相を定める距離にできるかには、さらに条件が要る。粗空間の有界集合全体が有界型になるのは粗構造が連結なときである。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 集合, 写像, 距離空間, 有界集合

距離空間では「有界な集合」が直径で定まり、有界集合の部分集合や 2 つの有界集合の和もまた有界である。距離の値そのものを忘れて、「どの集合を有界とよぶか」という族の性質だけを取り出したものが有界型（bornology、ボルノロジー）であり、集合と有界型の組を有界型空間という。有界型は、粗幾何学（粗空間）で「遠くから見て有限の大きさに見える集合」を扱うときや、位相空間に有界性を付け加えて関数空間・超空間の位相を考えるときに使われる。
関数解析では、局所凸空間のうち「有界集合をすべて吸収する凸集合が原点の近傍になる」ものを有界型空間（bornological space）とよぶことがある。これは局所凸空間の性質の名前で、この記事が扱う「集合と有界型の組」とは別の概念である。この記事では前者を扱わない。
この記事では、有界型の定義と基本的な構成（生成・部分空間・積）を述べ、有界型がある距離の有界集合全体になるのは可算な基をもつときに限ることを証明する。また、粗空間の有界集合が有界型になる条件を調べる。

定義

有界型と有界型空間

集合 $X$ の部分集合の族 $\mathfrak B$ が $X$ 上の有界型（bornology）であるとは、次の 3 条件を満たすことをいう。

  1. （被覆）$\bigcup\mathfrak B=X$。
  2. （遺伝）$B\in\mathfrak B$、$A\subset B$ なら $A\in\mathfrak B$。
  3. （有限和）$A,B\in\mathfrak B$ なら $A\cup B\in\mathfrak B$。
    組 $(X,\mathfrak B)$ を有界型空間といい、$\mathfrak B$ の元を有界集合という。

1 と 2 から、各一点集合 $\{x\}$ は有界であり、3 と合わせて空でない有限集合はすべて有界である。$X\ne\emptyset$ なら、空集合も一点集合の部分集合として有界である。逆に一点集合がすべて $\mathfrak B$ に属せば 1 が成り立つので、1 は「一点集合はすべて有界」と言い換えてよい。定義は Vro09 Definition 2（p. 2）による（そこでは 1 を一点集合の条件で述べている）。

基と有界写像

$(X,\mathfrak B)$ を有界型空間とする。

  1. 部分族 $\mathfrak B_0\subset\mathfrak B$ が $\mathfrak B$ の基であるとは、任意の $B\in\mathfrak B$ に対し $B\subset B_0$ となる $B_0\in\mathfrak B_0$ があることをいう。
  2. 有界型空間 $(X,\mathfrak B)$、$(Y,\mathfrak C)$ の間の写像 $f\colon X\to Y$ が有界写像であるとは、任意の $B\in\mathfrak B$ について $f(B)\in\mathfrak C$ となることをいう。

有界写像の合成は有界写像であり、恒等写像は有界写像である。粗空間 の記事では「粗一様」の英語として bornologous を挙げているが、そこでの意味は制御集合を制御集合に移すことで、有界集合を有界集合に移すこの記事の有界写像とは定義が違う（両者の関係は prop-born-coarse の 2）。

例

基本的な有界型
  1. 集合 $X$ の有限部分集合全体 $\mathfrak F_X$ は有界型であり、$X\ne\emptyset$ なら $X$ 上の有界型の中で最小である（どの有界型も有限部分集合をすべて含む）。
  2. $X$ の部分集合全体は最大の有界型である。$X$ 自身が有界になる有界型はこれに限る。
  3. 距離空間 $(X,d)$ で直径が有限な部分集合全体 $\mathfrak B_d$ は有界型である。一点集合の直径は $0$ であり、$A\subset B$ なら $\operatorname{diam}A\le\operatorname{diam}B$、また $a\in A$、$b\in B$ を固定すると $x\in A$、$y\in B$ について $d(x,y)\le\operatorname{diam}A+d(a,b)+\operatorname{diam}B$ なので $A\cup B$ の直径も有限である。これを $d$ の距離有界型という（直径による有界性は 有界集合 の記事を参照）。
  4. Hausdorff空間 $X$ の、閉包がコンパクトな部分集合（相対コンパクト集合）全体は有界型である。一点集合は閉かつコンパクト、$\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$ はコンパクト集合 2 つの和でコンパクト、$A\subset B$ なら $\overline A$ はコンパクト集合 $\overline B$ の閉部分集合でコンパクトだからである。$\mathbb R^n$ では、Heine–Borel の定理によりこれは通常の距離の距離有界型に一致する。
  5. 位相線形空間 $V$ の有界集合（任意の $0$ 近傍 $U$ に $B\subset tU$ となる $t>0$ がある集合）全体は有界型である。$U$ の中に均衡な $0$ 近傍 $W$ をとる（位相線形空間 の補題「均衡な近傍」）。スカラー倍の連続性から、各点 $x$ について十分小さい $\lambda>0$ で $\lambda x\in W$ となるので、一点集合は有界である。$A\subset sW$、$B\subset tW$、$s\le t$ なら、均衡性から $sW=t\cdot(s/t)W\subset tW$ なので $A\cup B\subset tW\subset tU$ であり、有限和も有界である。
生成される有界型

$X$ の部分集合の族 $\mathcal S$ で $\bigcup\mathcal S=X$ となるものについて、$\mathcal S$ の有限個の元の和に含まれる集合全体は有界型であり、$\mathcal S$ を含む最小の有界型である。これを $\mathcal S$ が生成する有界型という。たとえば $\mathbb R$ で $\mathcal S=\{[-n,n]:n\ge1\}$ が生成する有界型は通常の距離の距離有界型である。

実数直線の上の有界写像

$\mathbb R$ に通常の距離の距離有界型を入れる。

  1. 連続関数 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ は有界写像である。有界集合 $B$ はある $[-n,n]$ に含まれ、$f([-n,n])$ はコンパクトなので有界であり、$f(B)$ はその部分集合だからである。
  2. 床関数 $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ は連続でないが有界写像である。$B\subset[-n,n]$ なら $\lfloor B\rfloor\subset[-n,n]$ だからである。
  3. $f(x)=1/x$（$x\ne0$）、$f(0)=0$ は有界写像でない。有界集合 $(0,1]$ の像 $[1,\infty)$ が有界でないからである。

有界写像であることは有界集合の「大きさ」だけを見る条件で、近い点を近い点に移すかどうか（連続性）とは別の条件である。床関数は連続でない有界写像であり、逆に $(0,1]$ と $\mathbb R$ に通常の距離の距離有界型を入れると、$x\mapsto1/x$ は連続だが有界写像でない。

部分空間と積

有界型は、写像の族について「像が有界なものを有界とよぶ」ことで引き戻せる。

部分空間と積の有界型
  1. $(X,\mathfrak B)$ を有界型空間、$Y\subset X$ とする。$\mathfrak B_Y=\{B\in\mathfrak B: B\subset Y\}$ は $Y$ 上の有界型であり、包含写像 $Y\to X$ を有界写像にする。
  2. 有界型空間の族 $(X_i,\mathfrak B_i)_{i\in I}$ について、積集合 $X=\prod_iX_i$ の部分集合 $B$ で、すべての射影 $\pi_i(B)$ が有界なもの全体 $\mathfrak B$ は有界型である。有界型空間 $(Z,\mathfrak C)$ からの写像 $f\colon Z\to X$ が有界写像であることは、すべての $\pi_i\circ f$ が有界写像であることと同値である。

1：$\mathfrak B_Y$ が 3 条件を満たすことは $\mathfrak B$ の条件から直ちに分かる（一点集合 $\{y\}$ は $\mathfrak B$ に属し $Y$ に含まれる）。包含写像は $\mathfrak B_Y$ の元をそのまま $\mathfrak B$ の元に移す。
2：一点集合 $\{x\}$ の射影は一点集合なので有界である。$A\subset B$ なら $\pi_i(A)\subset\pi_i(B)$、また $\pi_i(A\cup B)=\pi_i(A)\cup\pi_i(B)$ なので、遺伝と有限和は各 $\mathfrak B_i$ の条件から従う。$f$ が有界写像なら、$\pi_i$ は定義から有界写像なので $\pi_i\circ f$ も有界写像である。逆にすべての $\pi_i\circ f$ が有界写像なら、$C\in\mathfrak C$ について $\pi_i(f(C))$ はすべて有界なので $f(C)\in\mathfrak B$ である。$\square$

これらは Vro09 p. 2 の部分空間と積の構造の、位相を忘れた形である。

距離で与えられる有界型

どの有界型がある距離の距離有界型になるかは、基の大きさだけで決まる。

距離有界型の特徴づけ

$X$ を空でない集合、$\mathfrak B$ を $X$ 上の有界型とする。次は同値である。

  1. $X$ 上のある距離 $d$ について $\mathfrak B=\mathfrak B_d$ である。
  2. $\mathfrak B$ は可算な基をもつ。

1 ⇒ 2：点 $x_0\in X$ を固定し、$B_n=\{x:d(x,x_0)\le n\}$（$n\ge1$）とおく。$B_n$ の直径は $2n$ 以下なので $B_n\in\mathfrak B_d$ である。直径が有限な $A\ne\emptyset$ は、$a\in A$ をとると $d(x,x_0)\le\operatorname{diam}A+d(a,x_0)$（$x\in A$）なので、ある $B_n$ に含まれる。$\emptyset$ も $B_1$ に含まれる。よって $\{B_n\}$ は可算な基である。
2 ⇒ 1：$\{C_n\}_{n\ge1}$ を可算な基とし、$B_n=C_1\cup\dots\cup C_n$ とおく。$B_n\in\mathfrak B$ で、$B_1\subset B_2\subset\cdots$ である。各 $\{x\}$ は有界なのでどれかの $C_n$ に含まれ、$\bigcup_nB_n=X$ である。そこで $n(x)=\min\{n:x\in B_n\}$ とおき、
$$ d(x,y)=\begin{cases}\max\{n(x),n(y)\}&(x\ne y),\\0&(x=y)\end{cases} $$
と定める。$d$ は対称で、$x\ne y$ なら $d(x,y)\ge1$ である。三角不等式 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ は、$x=z$ なら明らかで、$y=x$ または $y=z$ なら等号で成り立ち、$x,y,z$ が相異なるときは $\max\{n(x),n(z)\}\le\max\{n(x),n(y)\}+\max\{n(y),n(z)\}$ から従う。よって $d$ は距離である。
$\mathfrak B_d=\mathfrak B$ を示す。$A\in\mathfrak B$ なら、基の性質から $A\subset C_N\subset B_N$ となる $N$ があり、$A$ の相異なる 2 点の距離は $N$ 以下なので $\operatorname{diam}A\le N$ である。逆に $A$ の直径が有限で、$\operatorname{diam}A=D$ とする。$A$ が 2 点以上をもてば、各 $x\in A$ は相異なる $y\in A$ をもち $n(x)\le d(x,y)\le D$ なので、$N\ge D$ となる整数 $N$ について $A\subset B_N$ であり、遺伝性から $A\in\mathfrak B$ である。$A$ が 1 点以下なら有限集合なので $A\in\mathfrak B$ である。$\square$

この証明の距離では相異なる 2 点の距離がつねに $1$ 以上なので、$d$ が定める位相は離散位相である。位相空間 $X$ の上の有界型について、その位相を定める距離で距離有界型にできるかという問題には、Hu による特徴づけがある。$X$ が距離化可能で、$\mathfrak B$ が可算な基をもち、さらに任意の $B_1\in\mathfrak B$ に、$\overline{B_1}$ を内部に含む $B_2\in\mathfrak B$ があることが必要十分である（Vro09 Theorem 1, p. 1 が Hu の結果として述べている。この記事では証明しない）。最後の節の反例の表の 3 行目は、可算な基だけではこれに足りないことを示す。

距離有界型でない有界型

非可算集合 $X$ の有限部分集合全体 $\mathfrak F_X$ は、どの距離の距離有界型でもない。可算な基 $\{C_n\}$ があるとすると、各 $C_n$ は有限集合なので $\bigcup_nC_n$ は可算であり、それに属さない点 $x$ について $\{x\}$ はどの $C_n$ にも含まれず、基であることに反する。同じ理由で、非可算集合の可算部分集合全体も距離有界型でない。

粗空間の有界集合

粗空間 $(X,\mathcal E)$ では、$B\times B\in\mathcal E$ となる $B$ を有界集合とよぶ（粗空間 の定義「有界集合」）。これが有界型になるかは、粗構造が点の組をすべて「近い」とみなすかどうかで決まる。

粗空間の有界集合がなす有界型

$(X,\mathcal E)$ を粗空間とし、その有界集合全体を $\mathfrak B_{\mathcal E}$ とする。

  1. $\mathfrak B_{\mathcal E}$ が有界型であることは、任意の $x,y\in X$ について $\{(x,y)\}\in\mathcal E$ となること（粗構造が連結であること）と同値である。
  2. 連結な粗空間の間の粗一様写像 $f\colon X\to Y$ は、$\mathfrak B_{\mathcal E}$ と $\mathfrak B_{\mathcal F}$ について有界写像である。

1：$\mathfrak B_{\mathcal E}$ はつねに遺伝性をもち（$A\times A\subset B\times B$）、一点集合を含む（$\{(x,x)\}\subset\Delta_X$）。よって問題は有限和である。$\mathfrak B_{\mathcal E}$ が有界型なら、$\{x\}\cup\{y\}=\{x,y\}$ が有界なので $\{(x,y)\}\subset\{x,y\}^2\in\mathcal E$ である。逆に連結とし、$A,B$ を空でない有界集合、$a\in A$、$b\in B$ とする。$(x,z)\in A\times B$ なら $(x,a)\in A\times A$、$(a,b)$、$(b,z)\in B\times B$ なので
$$ A\times B\subset(A\times A)\circ\{(a,b)\}\circ(B\times B)\in\mathcal E $$
である。$B\times A$ はこの逆で $\mathcal E$ に属し、$(A\cup B)^2=A^2\cup B^2\cup(A\times B)\cup(B\times A)\in\mathcal E$ となる。どちらかが空なら明らかである。
2：$B$ が有界なら $B\times B\in\mathcal E$ なので、粗一様性から $(f\times f)(B\times B)=f(B)\times f(B)\in\mathcal F$ であり、$f(B)$ は有界である。$\square$

粗空間 の記事の「固有」は、有界集合の逆像が有界であることなので、有界型の言葉では逆向きの条件である。距離空間の有界粗構造は連結であり、その有界集合は距離有界型 $\mathfrak B_d$ に一致する（粗空間 の命題「有界粗構造における有界集合」）。

反例：条件を外すと成り立たない

外す条件反例成り立たなくなること
thm-born-metrizable の可算な基非可算集合の有限部分集合全体（ex-born-not-metric）ある距離の距離有界型であること
prop-born-coarse の連結性2 点集合 $\{x,y\}$ と粗構造 $\{\emptyset,\{(x,x)\},\{(y,y)\},\Delta\}$有界集合の有限和が有界であること
位相と両立する距離の存在に要る、閉包を内部に含む元の存在（可算な基は残す）$[0,1]$ と、ある $n$ で $\{0\}\cup[1/n,1]$ に含まれる集合全体その位相を定める距離の距離有界型であること

1 行目は ex-born-not-metric で確かめた。2 行目の族は粗構造の 5 条件を満たし、$\{x\}$ と $\{y\}$ は有界だが $\{x,y\}^2$ は族に属さない。3 行目の族は $\{0\}\cup[1/n,1]$（$n\ge1$）を可算な基とする有界型である（$0$ はすべての基の元に、$x>0$ は $1/n\le x$ となる元に属する）。$[0,1]$ はコンパクトなので、その位相を定める距離ではどの部分集合も直径が有限であり、距離有界型はすべての部分集合からなる。ところが $(0,1]$ はこの有界型に属さない。よってこの有界型は、$[0,1]$ の位相を定めるどの距離の距離有界型でもない（thm-born-metrizable により、位相を定めない距離の距離有界型ではある）。

関連項目

参考文献

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