Hille–吉田の定理
概要
Hille–吉田の定理（Hille–Yosida theorem）とは、Banach 空間上の線形作用素 $A$ が縮小半群（ノルムを増やさない強連続半群）を生成するための必要十分条件を、定義域が稠密で、各 $\lambda>0$ について $\lambda-A$ が有界な逆をもち $\|(\lambda-A)^{-1}\|\le1/\lambda$ となることとして与える定理である。この半群は、有界な吉田近似 $A_\lambda$ の指数関数 $e^{tA_\lambda}$ の極限として得られる。Hilbert 空間では、$A$ が極大単調なら発展方程式 $u'+Au=0$ が $D(A)$ の初期値に対してただ 1 つの解をもつ。発展方程式の解の存在を、定常方程式が解けることに帰着させる。
有限次元の線形常微分方程式 $u'=Au$ の解は行列の指数関数 $e^{tA}$ で $u(t)=e^{tA}u(0)$ と書ける。熱方程式や輸送方程式のような偏微分方程式も、関数空間の上の発展方程式 $u'=Au$ とみなせるが、このときの $A$ は微分作用素であり、全空間では定義されず有界でもない。そこで $e^{tA}$ の代わりに、半群の法則 $T(t+s)=T(t)T(s)$ と初期時刻での連続性だけを課した作用素の族 $T(t)$ を考え、$A$ をその時刻 $0$ での微分として取り出す。これが 強連続半群 とその 生成作用素 である。Hille–吉田の定理 は、どの作用素 $A$ が「ノルムを増やさない」強連続半群を生成するかを、レゾルベント $(\lambda-A)^{-1}$ だけで特徴づける。証明の鍵は、$A$ を有界作用素 $A_\lambda$ で近似し（吉田近似）、$e^{tA_\lambda}$ の極限として半群を作ることである。この定理により、発展方程式の解の存在は、定常方程式 $\lambda u-Au=f$ が解けることに帰着する。
強連続半群と生成作用素
以下、$X$ を $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ 上の Banach 空間、$\mathcal{L}(X)$ を $X$ 上の有界線形作用素全体（作用素ノルム）とする。区間上の連続な $X$ 値関数の Riemann 積分は実数値の場合と同じく定義され、$\bigl\|\int_a^bf\bigr\|\le\int_a^b\|f\|$、有界作用素と積分の交換、微積分学の基本定理 $\frac{d}{dt}\int_a^tf=f(t)$ と $\int_a^bg'=g(b)-g(a)$（$g$ が $C^1$ のとき）が成り立つ。
写像 $T\colon[0,\infty)\to\mathcal{L}(X)$ が次をみたすとき、強連続半群（strongly continuous semigroup）または $C_0$ 半群 という。
- $T(0)=I$、$T(t+s)=T(t)T(s)$（$s,t\ge0$）。
- 各 $x\in X$ について $\lim_{t\to0+}T(t)x=x$。
さらに $\|T(t)\|\le1$（$t\ge0$）のとき 縮小半群（contraction semigroup）という。
$C_0$ 半群 $T$ に対し、極限
$$
Ax:=\lim_{h\to0+}\frac{T(h)x-x}{h}
$$
が $X$ の中に存在する $x$ 全体を $D(A)$ とし、線形作用素 $A\colon D(A)\to X$ を $T$ の 生成作用素（infinitesimal generator）という。$A$ が $T$ を 生成する ともいう。
線形作用素 $A\colon D(A)\to X$（$D(A)$ は部分空間）について、$\lambda\in\mathbb{K}$ で $\lambda-A\colon D(A)\to X$ が全単射かつ逆写像 $R(\lambda,A):=(\lambda-A)^{-1}$ が $X$ 上の有界作用素になるとき、$\lambda$ は $A$ の レゾルベント集合 $\rho(A)$ に属するといい、$R(\lambda,A)$ を レゾルベント という。$\rho(A)\ne\emptyset$ なら $A$ は閉作用素である（グラフが有界作用素 $R(\lambda,A)$ のグラフの線形変換で写った閉集合になる）。
任意の $C_0$ 半群には定数 $M\ge1$、$\omega\in\mathbb{R}$ があって $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$（$t\ge0$）となる。とくに各有界区間 $[0,\tau]$ で $\|T(t)\|$ は有界である。
要点：時刻 $0$ の近くで有界であることを一様有界性原理で示し、半群の法則で全時刻へ広げる。
詳細
ある $\delta>0$ で $\sup_{0\le t\le\delta}\|T(t)\|<\infty$ となる。そうでなければ $t_n\to0+$ で $\|T(t_n)\|\to\infty$ となる列があるが、各 $x$ について $T(t_n)x\to x$ なので $\sup_n\|T(t_n)x\|<\infty$ であり、一様有界性原理に反する。$M:=\sup_{0\le t\le\delta}\|T(t)\|\ge\|T(0)\|=1$ とおく。$t=n\delta+r$（$n\in\mathbb{Z}_{\ge0}$、$0\le r<\delta$）と書くと $T(t)=T(\delta)^nT(r)$ なので $\|T(t)\|\le M^{n+1}\le M\cdot M^{t/\delta}=Me^{\omega t}$、$\omega:=(\log M)/\delta$ である。$\square$
$T$ を $C_0$ 半群、$A$ をその生成作用素とする。
- 各 $x\in X$ について $t\mapsto T(t)x$ は $[0,\infty)$ で連続である。
- $x\in D(A)$ なら $T(t)x\in D(A)$、$AT(t)x=T(t)Ax$ であり、$t\mapsto T(t)x$ は $C^1$ 級で $\frac{d}{dt}T(t)x=T(t)Ax$ をみたす。
- 各 $x\in X$、$t>0$ について $\int_0^tT(s)x\,ds\in D(A)$ かつ $A\int_0^tT(s)x\,ds=T(t)x-x$ である。
- $D(A)$ は $X$ で稠密であり、$A$ は閉作用素である。
要点：1 と 2 は半群の法則で時刻 $t$ の差分を時刻 $0$ の差分に移す。3 は積分の差分を計算する。4 の稠密性は 3 で $t\to0$ とし、閉性は 2 を積分した式 $T(h)x-x=\int_0^hT(s)Ax\,ds$ の極限をとる。
詳細
$M_\tau:=\sup_{0\le t\le\tau}\|T(t)\|$ とおく（rem-hy-local-bound）。1：$h\to0+$ で $\|T(t+h)x-T(t)x\|\le\|T(t)\|\,\|T(h)x-x\|\to0$、$0< h\le t\le\tau$ で $\|T(t-h)x-T(t)x\|\le M_\tau\|x-T(h)x\|\to0$。
2：$\frac{1}{h}(T(h)T(t)x-T(t)x)=T(t)\frac{1}{h}(T(h)x-x)\to T(t)Ax$ より $T(t)x\in D(A)$、$AT(t)x=T(t)Ax$ で、これは右微分でもある。左微分は $0< h\le t$ で $$ \frac{T(t)x-T(t-h)x}{h}-T(t)Ax=T(t-h)\Bigl(\frac{T(h)x-x}{h}-Ax\Bigr)+\bigl(T(t-h)Ax-T(t)Ax\bigr) $$ と書くと、第 1 項のノルムは $M_t\|\frac{T(h)x-x}{h}-Ax\|\to0$、第 2 項は 1 により $0$ に収束する。導関数 $T(t)Ax$ は 1 により連続である。
3：$y:=\int_0^tT(s)x\,ds$ とおくと $$ \frac{T(h)y-y}{h}=\frac1h\int_t^{t+h}T(s)x\,ds-\frac1h\int_0^hT(s)x\,ds\longrightarrow T(t)x-x\qquad(h\to0+) $$ である（1 による被積分関数の連続性）。
4：3 より $\frac1t\int_0^tT(s)x\,ds\in D(A)$ で、$t\to0+$ のときこれは $x$ に収束する。閉性：$x_n\in D(A)$、$x_n\to x$、$Ax_n\to y$ とする。2 と微積分学の基本定理から $T(h)x_n-x_n=\int_0^hT(s)Ax_n\,ds$ であり、$n\to\infty$ として $T(h)x-x=\int_0^hT(s)y\,ds$ を得る。$h$ で割って $h\to0+$ とすると $x\in D(A)$、$Ax=y$ である。$\square$
$A$ を $C_0$ 半群 $T$ の生成作用素とし、$x\in D(A)$ とする。$u\in C^1([0,\infty);X)$ で、各 $t$ で $u(t)\in D(A)$、
$$
u'(t)=Au(t)\quad(t\ge0),\qquad u(0)=x
$$
をみたすものは $u(t)=T(t)x$ ただ 1 つである。とくに、生成作用素が等しい 2 つの $C_0$ 半群は等しい。
要点：$u(t)=T(t)x$ が解であることは prop-hy-generator-basic の 2 による。一意性は、解 $u$ と $t>0$ について $v(s):=T(t-s)u(s)$（$0\le s\le t$）の導関数が $-T(t-s)Au(s)+T(t-s)u'(s)=0$ となることから $u(t)=v(t)=v(0)=T(t)x$ と従う。生成作用素が等しい半群は稠密な $D(A)$ の上で一致し、有界作用素なので全体で一致する。
詳細
$M_t:=\sup_{0\le r\le t}\|T(r)\|$ とおく。$v$ は $[0,t]$ で連続である：$\|v(s')-v(s)\|\le M_t\|u(s')-u(s)\|+\|(T(t-s')-T(t-s))u(s)\|$ と prop-hy-generator-basic の 1 による。$0< s< t$ とする。$0< h< t-s$ について $$ \frac{v(s+h)-v(s)}{h}=T(t-s-h)\frac{u(s+h)-u(s)}{h}-\frac{T(t-s)u(s)-T(t-s-h)u(s)}{h} $$ の第 1 項は $\|T(t-s-h)\|\le M_t$ と prop-hy-generator-basic の 1 により $T(t-s)u'(s)$ に、第 2 項は $u(s)\in D(A)$ と prop-hy-generator-basic の 2（左微分）により $T(t-s)Au(s)$ に収束する。$0< h< s$ については $T(t-s+h)=T(t-s)T(h)$ から $$ \frac{v(s)-v(s-h)}{h}=T(t-s)\Bigl(\frac{u(s)-u(s-h)}{h}-\frac{T(h)-I}{h}u(s)-(T(h)-I)\frac{u(s-h)-u(s)}{h}\Bigr) $$ であり、$z_h:=\frac{u(s-h)-u(s)}{h}\to z:=-u'(s)$ なので $\|(T(h)-I)z_h\|\le\|(T(h)-I)z\|+(M_t+1)\|z_h-z\|\to0$ である。よって両側の微分係数は $T(t-s)(u'(s)-Au(s))=0$ である。各 $\phi\in X^*$ について実数値関数 $\mathrm{Re}\,\phi(v(s))$、$\mathrm{Im}\,\phi(v(s))$ は $[0,t]$ で連続、$(0,t)$ で導関数 $0$ なので平均値の定理により定数であり、Hahn–Banach の定理で $X^*$ は $X$ の点を分離するから $v(t)=v(0)$ である。$\square$
$T$ を縮小半群、$A$ をその生成作用素とする。各 $\lambda>0$ について $\lambda\in\rho(A)$ であり、
$$
R(\lambda,A)x=\int_0^\infty e^{-\lambda t}T(t)x\,dt\quad(x\in X),\qquad \|R(\lambda,A)\|\le\frac1\lambda
$$
が成り立つ（右辺は広義 Riemann 積分）。
要点：右辺を $R_\lambda x$ とおくと、$\|e^{-\lambda t}T(t)x\|\le e^{-\lambda t}\|x\|$ から積分は絶対収束し $\|R_\lambda x\|\le\|x\|/\lambda$ である。差分を計算すると $R_\lambda x\in D(A)$、$(\lambda-A)R_\lambda x=x$ が出て、部分積分から $R_\lambda(\lambda-A)x=x$（$x\in D(A)$）が出る。
詳細
$h>0$ について、変数を $t\mapsto t-h$ とずらすと $$ \frac{T(h)R_\lambda x-R_\lambda x}{h}=\frac{e^{\lambda h}-1}{h}\int_h^\infty e^{-\lambda t}T(t)x\,dt-\frac1h\int_0^he^{-\lambda t}T(t)x\,dt\longrightarrow\lambda R_\lambda x-x $$ である。よって $R_\lambda x\in D(A)$、$AR_\lambda x=\lambda R_\lambda x-x$ である。$x\in D(A)$ なら prop-hy-generator-basic の 2 により $\frac{d}{dt}\bigl(e^{-\lambda t}T(t)x\bigr)=-\lambda e^{-\lambda t}T(t)x+e^{-\lambda t}T(t)Ax$ であり、$[0,s]$ で積分して $s\to\infty$ とすると $-x=-\lambda R_\lambda x+R_\lambda Ax$、すなわち $R_\lambda(\lambda-A)x=x$ である。したがって $\lambda-A$ は全単射で逆写像は $R_\lambda$ である。$\square$
例
$B\in\mathcal{L}(X)$ について $e^{tB}:=\sum_{n\ge0}t^nB^n/n!$ は作用素ノルムで収束し、$C_0$ 半群をなす。行列の場合と同じ計算で $\frac{d}{dt}e^{tB}=Be^{tB}$（作用素ノルムで）となるので、生成作用素は $B$（$D(B)=X$）である。$\|e^{tB}\|\le e^{t\|B\|}$ である。
$1\le p<\infty$、$X=L^p(\mathbb{R})$ とし、$(T(t)f)(x):=f(x+t)$ とおく。$T$ は等長な作用素からなる縮小半群で、強連続性は $L^p$ での平行移動の連続性による。生成作用素は $Af=f'$（弱微分）、$D(A)=W^{1,p}(\mathbb{R})$ である。
要点：$f\in W^{1,p}$ なら $\frac1h(f(\cdot+h)-f)=\frac1h\int_0^hf'(\cdot+s)\,ds\to f'$ なので、$B:=d/dx$（定義域 $W^{1,p}$）は $A$ に含まれる。一方 $\lambda>0$ で $\lambda-B$ は全射であり、$\lambda-A$ は単射なので（prop-hy-laplace）、lem-hy-extension により $A=B$ である。
詳細
前半：$W^{1,p}(\mathbb{R})$ の元は局所絶対連続な代表をもち $f(x+h)-f(x)=\int_0^hf'(x+s)\,ds$ となる。Minkowski の積分不等式から $\|\frac1h\int_0^h(f'(\cdot+s)-f')\,ds\|_p\le\sup_{0\le s\le h}\|f'(\cdot+s)-f'\|_p\to0$ である。後半：$g\in L^p$ に対し $u(x):=\int_0^\infty e^{-\lambda s}g(x+s)\,ds=e^{\lambda x}\int_x^\infty e^{-\lambda r}g(r)\,dr$ とおく。Minkowski の積分不等式で $\|u\|_p\le\|g\|_p/\lambda$、第 2 の表示から $u$ は局所絶対連続で $u'=\lambda u-g\in L^p$（a.e.）なので $u\in W^{1,p}$、$\lambda u-u'=g$ である。$\square$
線形作用素 $B\subset A$（$D(B)\subset D(A)$ かつ $D(B)$ 上で $A=B$）と $\lambda\in\mathbb{K}$ について、$\lambda-A$ が単射で $\lambda-B$ が全射なら $A=B$ である。
$y\in D(A)$ とする。$\lambda-B$ は全射なので $(\lambda-B)x=(\lambda-A)y$ となる $x\in D(B)$ がある。$(\lambda-A)x=(\lambda-B)x=(\lambda-A)y$ と単射性から $y=x\in D(B)$ である。$\square$
吉田近似
以下 thm-hy-main の条件、すなわち $A$ が稠密に定義され、$(0,\infty)\subset\rho(A)$、$\|R(\lambda,A)\|\le1/\lambda$（$\lambda>0$）であると仮定する。$R(\lambda):=R(\lambda,A)$ と書く。
$\lambda>0$ について
$$
A_\lambda:=\lambda AR(\lambda)=\lambda^2R(\lambda)-\lambda I\in\mathcal{L}(X)
$$
を $A$ の 吉田近似（Yosida approximation）という。2 つの表示が等しいのは $AR(\lambda)=\lambda R(\lambda)-I$ による。
- 各 $x\in X$ について $\lambda R(\lambda)x\to x$（$\lambda\to\infty$）。
- 各 $x\in D(A)$ について $A_\lambda x=\lambda R(\lambda)Ax\to Ax$（$\lambda\to\infty$）。
- $\|e^{tA_\lambda}\|\le1$（$t\ge0$、$\lambda>0$）。
- $\lambda,\mu>0$ について $R(\lambda)R(\mu)=R(\mu)R(\lambda)$、したがって $A_\lambda A_\mu=A_\mu A_\lambda$。
1：$x\in D(A)$ なら $\lambda R(\lambda)x-x=R(\lambda)Ax$ で、ノルムは $\|Ax\|/\lambda\to0$ である。$\|\lambda R(\lambda)\|\le1$ と $D(A)$ の稠密性から、$\varepsilon/3$ の議論で全ての $x$ に広がる。2：$x\in D(A)$ では $AR(\lambda)x=R(\lambda)Ax$ なので（$R(\lambda)(\lambda-A)x=x=(\lambda-A)R(\lambda)x$ を比べる）、$A_\lambda x=\lambda R(\lambda)Ax$ であり、1 を $Ax$ に当てる。3：$e^{tA_\lambda}=e^{-\lambda t}e^{t\lambda^2R(\lambda)}$ なので
$$
\|e^{tA_\lambda}\|\le e^{-\lambda t}e^{t\lambda^2\|R(\lambda)\|}\le e^{-\lambda t}e^{\lambda t}=1.
$$
4：$R(\lambda)-R(\mu)=R(\lambda)\bigl((\mu-A)-(\lambda-A)\bigr)R(\mu)=(\mu-\lambda)R(\lambda)R(\mu)$（レゾルベント方程式）で、$\lambda$ と $\mu$ を入れ替えた式と比べる。$\square$
$A$ が有界でなければ $\|A_\lambda\|\to\infty$（$\lambda\to\infty$）である。実際、ある列 $\lambda_n\to\infty$ で $\|A_{\lambda_n}\|\le C$ なら、2 により $\|Ax\|\le C\|x\|$（$x\in D(A)$）となり、$A$ は閉作用素なので $D(A)$ は閉集合、稠密性から $D(A)=X$ となって $A$ は有界になる。吉田近似は作用素ノルムでは $A$ に近づかず、$D(A)$ の各点でだけ近づく。
Hille–吉田の定理
Banach 空間 $X$ 上の線形作用素 $A\colon D(A)\to X$ について、次は同値である。
- $A$ は縮小半群の生成作用素である。
- $D(A)$ は $X$ で稠密であり、$(0,\infty)\subset\rho(A)$ かつすべての $\lambda>0$ について $\|R(\lambda,A)\|\le1/\lambda$ である。
このとき $A$ が生成する縮小半群はただ 1 つであり、$T(t)x=\lim_{\lambda\to\infty}e^{tA_\lambda}x$（各 $x\in X$、$t\ge0$ について。有界区間の $t$ について一様）で与えられる。
条件 2 のうち稠密性以外の部分は「$\lambda>0$ のとき $\|(\lambda-A)x\|\ge\lambda\|x\|$（$x\in D(A)$）かつ $\lambda-A$ が全射」と言い換えられる。前半の不等式をみたす $A$ を 散逸的（dissipative）といい、後半もみたすものを m-散逸的 という。$-A$ について言えば m-増大的（m-accretive）である。
1 ⇒ 2 は prop-hy-generator-basic の 4 と prop-hy-laplace である。一意性は prop-hy-cauchy による。2 ⇒ 1 を示す。$T_\lambda(t):=e^{tA_\lambda}$ とおく。
段 1（$D(A)$ 上での収束）．$x\in D(A)$、$\lambda,\mu>0$ とする。lem-hy-yosida の 4 から $A_\lambda,A_\mu,T_\lambda(s),T_\mu(r)$ はすべて互いに可換なので、
$$
T_\lambda(t)x-T_\mu(t)x=\int_0^t\frac{d}{ds}\bigl(T_\mu(t-s)T_\lambda(s)x\bigr)\,ds=\int_0^tT_\mu(t-s)T_\lambda(s)(A_\lambda x-A_\mu x)\,ds
$$
であり、lem-hy-yosida の 3 により $\|T_\lambda(t)x-T_\mu(t)x\|\le t\|A_\lambda x-A_\mu x\|$ である。lem-hy-yosida の 2 により右辺は $\lambda,\mu\to\infty$ で $0$ に近づくので、$T_\lambda(t)x$ は $t\in[0,\tau]$ について一様に Cauchy である。
段 2（全空間への拡張）．$\|T_\lambda(t)\|\le1$ と $D(A)$ の稠密性から、すべての $x\in X$ について $T_\lambda(t)x$ は $[0,\tau]$ 上一様に Cauchy であり、極限 $T(t)x$ が定まる。$T(t)$ は線形で $\|T(t)\|\le1$ である。
詳細
$x\in X$、$\varepsilon>0$ に対し $\|x-y\|<\varepsilon$ となる $y\in D(A)$ をとると、$\|T_\lambda(t)x-T_\mu(t)x\|\le2\|x-y\|+\|T_\lambda(t)y-T_\mu(t)y\|<3\varepsilon$（$\lambda,\mu$ が十分大きいとき、$t\in[0,\tau]$ について一様）。
段 3（縮小半群であること）．$T_\lambda(0)=I$、$T_\lambda(t+s)=T_\lambda(t)T_\lambda(s)$ の極限をとって $T(0)=I$、$T(t+s)=T(t)T(s)$ を得る。$t\mapsto T_\lambda(t)x$ は連続で、その一様極限 $t\mapsto T(t)x$ も連続なので、$T(t)x\to x$（$t\to0+$）である。
詳細
$\|T_\lambda(t)T_\lambda(s)x-T(t)T(s)x\|\le\|T_\lambda(t)\|\,\|T_\lambda(s)x-T(s)x\|+\|(T_\lambda(t)-T(t))T(s)x\|\to0$ である。
段 4（生成作用素が $A$ であること）．$T$ の生成作用素を $B$ とする。$x\in D(A)$ について
$$ T_\lambda(t)x-x=\int_0^tT_\lambda(s)A_\lambda x\,ds $$
であり、$\|T_\lambda(s)A_\lambda x-T(s)Ax\|\le\|A_\lambda x-Ax\|+\|T_\lambda(s)Ax-T(s)Ax\|$ は $[0,t]$ 上一様に $0$ に近づくので、$T(t)x-x=\int_0^tT(s)Ax\,ds$ を得る。$t$ で割って $t\to0+$ とすると $x\in D(B)$、$Bx=Ax$ である。よって $A\subset B$ である。$1\in\rho(A)$ なので $1-A$ は全射、$B$ は縮小半群の生成作用素なので prop-hy-laplace により $1-B$ は単射であり、lem-hy-extension から $A=B$ である。$\square$
thm-hy-main の条件 2 のもとで、各 $x\in D(A)$ に対し $u'=Au$（$t\ge0$）、$u(0)=x$ をみたす $u\in C^1([0,\infty);X)$（$u(t)\in D(A)$）がただ 1 つ存在し、$\|u(t)\|\le\|x\|$、$\|u'(t)\|=\|Au(t)\|\le\|Ax\|$ が成り立つ。
thm-hy-main と prop-hy-cauchy により $u(t)=T(t)x$ がただ 1 つの解であり、$u'(t)=Au(t)=T(t)Ax$ と $\|T(t)\|\le1$ から評価が従う。$\square$
$x\notin D(A)$ のときも $t\mapsto T(t)x$ は連続であり、$D(A)$ の元の解の極限として、方程式の「弱い意味での解」とみなされる。ただし微分可能とは限らない（ex-hy-nowhere）。
$\omega\in\mathbb{R}$ とする。$T$ が $C_0$ 半群で生成作用素が $A$ なら、$e^{-\omega t}T(t)$ は $C_0$ 半群で生成作用素は $A-\omega$ である。したがって thm-hy-main から、「$A$ が $\|T(t)\|\le e^{\omega t}$ をみたす $C_0$ 半群を生成する」ことと「$D(A)$ が稠密で $(\omega,\infty)\subset\rho(A)$、$\|R(\lambda,A)\|\le1/(\lambda-\omega)$（$\lambda>\omega$）」は同値である。
Hilbert 空間の極大単調作用素
Hilbert 空間では、条件 2 を内積だけで確かめやすい形に言い換えられる。発展方程式を $u'+Au=0$ と書く習慣に合わせ、符号を変えた作用素で述べる。
$H$ を Hilbert 空間とする。線形作用素 $A\colon D(A)\to H$ が $\mathrm{Re}\,(Av,v)\ge0$（$v\in D(A)$）をみたすとき 単調（monotone）といい、さらに $I+A\colon D(A)\to H$ が全射のとき 極大単調（maximal monotone）という。
$A$ を Hilbert 空間 $H$ 上の極大単調作用素とする。このとき $-A$ は縮小半群 $S(t)$ を生成し、各 $u_0\in D(A)$ に対して
$$
\frac{du}{dt}+Au=0\quad(t\ge0),\qquad u(0)=u_0
$$
をみたす $u\in C^1([0,\infty);H)$（各 $t$ で $u(t)\in D(A)$）がただ 1 つ存在する。解は $u(t)=S(t)u_0$ で、$|u(t)|\le|u_0|$、$|u'(t)|=|Au(t)|\le|Au_0|$ をみたす。
thm-hy-main の条件 2 を $-A$ について確かめればよく、あとは cor-hy-cauchy による。
段 1（評価と単射性）．$\lambda>0$、$v\in D(A)$ について、単調性と Cauchy–Schwarz の不等式から
$$
\lambda|v|^2\le\mathrm{Re}\,\bigl((\lambda+A)v,v\bigr)\le|(\lambda+A)v|\,|v|
$$
なので $|(\lambda+A)v|\ge\lambda|v|$ である。
段 2（すべての $\lambda>0$ での全射性）．$\mu>0$ で $\mu+A$ が全射とすると、$0<\lambda<2\mu$ でも $\lambda+A$ は全射である。実際、$f\in H$ に対し $\lambda u+Au=f$ は $u=\Phi(u):=(\mu+A)^{-1}\bigl(f+(\mu-\lambda)u\bigr)$ と同値で、段 1 から $\Phi$ は Lipschitz 定数 $|\mu-\lambda|/\mu<1$ の縮小写像なので、Banachの不動点定理により解がある。$\mu=1$ から始めて $\mu=(3/2)^k$ と順に広げると、すべての $\lambda>0$ で全射である。
段 3（稠密性）．$f\in H$ が $D(A)$ と直交するとする。$v_0+Av_0=f$ となる $v_0\in D(A)$ をとると、$0=\mathrm{Re}\,(f,v_0)=|v_0|^2+\mathrm{Re}\,(Av_0,v_0)\ge|v_0|^2$ なので $v_0=0$、よって $f=0$ である。
以上で $-A$ は thm-hy-main の条件 2 をみたす。$\square$
$A$ が極大単調のとき、$J_\lambda:=(I+\lambda A)^{-1}$ とおくと、$\frac1\lambda(I-J_\lambda)$ も「吉田近似」と呼ばれる（$J_\lambda$ は $A$ のレゾルベントと呼ばれる）。$-A$ の吉田近似（def-hy-yosida）を $\mu=1/\lambda$ で表すと $(-A)_\mu=-\frac1\lambda(I-J_\lambda)$ であり、両者は符号と助変数の付け方が違うだけである。
$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合とし、$H=L^2(\Omega)$、$D(A)=\{u\in H_0^1(\Omega)\mid\Delta u\in L^2(\Omega)\}$（$\Delta u$ は超関数の意味）、$Au=-\Delta u$ とする。$\mathrm{Re}\,(Au,u)=\int_\Omega|\nabla u|^2\ge0$ で、$u-\Delta u=f$ は Lax–Milgramの定理により $H_0^1(\Omega)$ に弱解をもつので、$A$ は極大単調である。thm-hy-hilbert により、Dirichlet 境界条件の熱方程式 $u_t-\Delta u=0$ は初期値 $u_0\in D(A)$ に対してただ 1 つの解をもち、$\|u(t)\|_{L^2}$ は増えない。
要点：$u\in D(A)$ について $(-\Delta u,u)=\int|\nabla u|^2$ は、$C_c^\infty(\Omega)$ の列で $u$ を $H^1$ 近似し、超関数の微分の定義 $(-\Delta u,\varphi)=\int\nabla u\cdot\overline{\nabla\varphi}$ の極限をとって得られる。
詳細
$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について超関数の微分の定義から $\langle-\Delta u,\bar\varphi\rangle=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\bar\varphi$ である。$\Delta u\in L^2$ なので左辺は $(-\Delta u,\varphi)$ で、両辺は $\varphi$ について $H^1$ ノルムで連続である。$u\in H_0^1$ を近似する $\varphi_k\to u$ をとれば $(-\Delta u,u)=\int|\nabla u|^2$ である。全射性：形式 $a(u,v)=\int(u\bar v+\nabla u\cdot\nabla\bar v)$ は $H_0^1(\Omega)$ の内積そのものなので、Riesz の表現定理（Lax–Milgram の定理の特別な場合）により $a(u,v)=(f,v)$（$v\in H_0^1$）となる $u\in H_0^1$ がある。$v\in C_c^\infty$ とすると $u-\Delta u=f$（超関数の意味）で、$\Delta u=u-f\in L^2$ だから $u\in D(A)$ である。$\square$
ex-hy-translation の平行移動の半群で、$f\in L^p(\mathbb{R})\setminus W^{1,p}(\mathbb{R})$ とすると、$t\mapsto T(t)f$ は連続だが、どの $t_0\ge0$ でも（右）微分可能でない。実際、$t_0$ で右微分可能なら $\frac1h(T(h)T(t_0)f-T(t_0)f)$ が収束するので $T(t_0)f=f(\cdot+t_0)\in D(A)=W^{1,p}$ となり、平行移動で $W^{1,p}$ は保たれるから $f\in W^{1,p}$ となって矛盾する。たとえば $p=2$ で区間の定義関数 $f=\mathbf{1}_{[0,1]}$ がそうである。
仮定を外すと成り立たなくなること
thm-hy-main の条件 2 は、稠密性・全射性・レゾルベントの評価の 3 つからなる。それぞれ 1 つだけを外した例を挙げる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $D(A)$ の稠密性 | $X=C([0,1])$、$Au=-u'$、$D(A)=\{u\in C^1([0,1])\mid u(0)=0\}$ | $(0,\infty)\subset\rho(A)$、$\Vert R(\lambda,A)\Vert \le1/\lambda$ だが、生成作用素にならない（生成作用素の定義域は稠密） |
| $\lambda-A$ の全射性 | $X=L^2(\mathbb{R})$、$Au=u'$、$D(A)=C_c^1(\mathbb{R})$ | $\Vert (\lambda-A)u\Vert \ge\lambda\Vert u\Vert $ だが、$A$ は閉作用素でなく生成作用素にならない |
| 評価 $\Vert R(\lambda,A)\Vert \le1/\lambda$ | $X=\ell^2$（複素）、$A=\mathrm{diag}(n+in^2)_{n\ge1}$（最大の定義域） | $D(A)$ は稠密で $(0,\infty)\subset\rho(A)$ だが、どんな $C_0$ 半群も生成しない |
1 行目：$f\in C([0,1])$、$\lambda>0$ について $\lambda u+u'=f$、$u(0)=0$ の解は $u(x)=\int_0^xe^{-\lambda(x-s)}f(s)\,ds$ ただ 1 つで、$|u(x)|\le\|f\|_\infty/\lambda$ である。$D(A)$ は閉部分空間 $\{u(0)=0\}$ に含まれ稠密でない。
2 行目：実部をとると $\mathrm{Re}\,(u',u)=\frac12\int(|u|^2)'=0$ なので段 1（prf-hy-hilbert）と同じ計算で評価が出る。$A$ の閉包は $d/dx$（定義域 $W^{1,2}(\mathbb{R})$）を含み、$C_c^1\subsetneq W^{1,2}$ だから $A$ は閉でない。生成作用素は閉である（prop-hy-generator-basic の 4）。
3 行目：$|\lambda-n-in^2|\ge n^2\ge1$ なので $\lambda>0$ で $R(\lambda,A)=\mathrm{diag}\bigl((\lambda-n-in^2)^{-1}\bigr)$ は有界である。$\lambda=2$、$n=1$ では $|2-1-i|^{-1}=1/\sqrt2>1/2$ なので評価は破れる。$A$ が $C_0$ 半群 $T$ を生成したとすると、$u(t)=e^{t(n+in^2)}e_n$ は古典解なので prop-hy-cauchy により $T(t)e_n=u(t)$、$\|T(t)\|\ge e^{tn}$ となり、rem-hy-local-bound の局所的な有界性に反する。
補足
定理の名は E. Hille と吉田耕作による。Hilbert 空間の極大単調作用素について、解の存在・一意性と評価（thm-hy-hilbert の後半）とその証明は Bre11 Theorem 7.4（pp. 185–189）にあり、解の写像が縮小半群に延びることは同書 Remark 5（p. 190）に述べられている。極大単調作用素の基本性質（thm-hy-hilbert の証明の段 2・段 3 に当たる）は Proposition 7.1（p. 181）、吉田近似は §7.1 の定義と Proposition 7.2（pp. 182–183）にある。Banach 空間での形（thm-hy-main）は Bre11 の第 7 章の注釈 Theorem 7.8（p. 197）に述べられており、証明は他書に委ねられている。
関連項目
- 前提: Banach空間, Hilbert空間, 一様有界性原理, 行列の指数関数
- 比較: Banachの不動点定理, Picard–Lindelöfの定理, Duhamelの原理
- 直後に読む: ⊙-回帰的, Laplace変換
- 応用: 偏微分方程式, Lax–Milgramの定理
参考文献
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