核次元の上半連続性

$u$ が滑らかな場合に示せば、両辺が $W^m$ ノルムについて連続なので、稠密性から一般の $u$ に延びる。$\sum_i\chi_i=1$ と線形性から $(L_t-L_{t_0})u=\sum_i(L_t-L_{t_0})(\chi_iu)$ である。微分作用素は台を広げないので、第 $i$ 項は $K_i$ に台をもち、$U_i$ の上で
$$ \sum_{|\alpha|\le m}\bigl(a^{(i)}_\alpha(x,t)-a^{(i)}_\alpha(x,t_0)\bigr)\partial^\alpha(\chi_iu) $$
に等しい。コンパクト集合 $K_i$ の上では、$E$ の Hermite 計量と $dV$ は自明化と座標の標準のものと定数倍で比べられるので、定数 $c_i$ について第 $i$ 項の $L^2$ ノルムは
$$ c_i\sum_{|\alpha|\le m}\sup_{x\in K_i}\bigl|a^{(i)}_\alpha(x,t)-a^{(i)}_\alpha(x,t_0)\bigr|\,\|\partial^\alpha(\chi_iu)\|_{L^2(\mathbb R^n)} $$
以下である。ノルムの定め方から $\|\partial^\alpha(\chi_iu)\|_{L^2(\mathbb R^n)}\le\|u\|_m$ なので、三角不等式で和をとれば評価を得る。次に、$t_0$ を中心とする閉球 $\bar D\subset V$ をとると、$a^{(i)}_\alpha$ はコンパクト集合 $K_i\times\bar D$ の上で一様連続なので、$t\to t_0$ で各 $\sup$ は $0$ に近づき、$\varepsilon(t)\to0$ である。$\square$

1．$\mathcal N:=\ker L_{t_0}$ とおく。Green作用素 の補題「楕円型作用素の核と核の補空間での評価」により、$\mathcal N$ は有限次元であり、定数 $C>0$ があって
$$ \|u\|_m\le C\|L_{t_0}u\|\qquad(u\in W^m(M,E),\ u\perp\mathcal N) $$
が成り立つ（$\perp$ は $L^2$ 内積での直交）。lem-kd-coefficient により、$t_0$ の近傍 $W$ で、$t\in W$ ならば $C\varepsilon(t)<1$ となるものがある。
$t\in W$ とし、$u\in\ker L_t$ が $\mathcal N$ に直交するとする。$u$ は滑らかなので $W^m$ に属し、
$$ \|u\|_m\le C\|L_{t_0}u\|=C\|(L_{t_0}-L_t)u\|\le C\varepsilon(t)\|u\|_m $$
である。$C\varepsilon(t)<1$ なので $u=0$ である。$\mathcal N$ への $L^2$ 直交射影を $P$ とすると、$u\in\ker L_t$ が $Pu=0$ を満たせば $u\perp\mathcal N$ なので $u=0$ であり、$P$ を $\ker L_t$ に制限した線形写像 $\ker L_t\to\mathcal N$ は単射である。よって $\dim\ker L_t\le\dim\mathcal N$ である。
2．各 $t_0\in V$ に 1 を当てれば、$t_0$ の近傍の上で $\dim\ker L_t\le\dim\ker L_{t_0}$ となる。これは $t_0$ での上半連続性である。$\square$

$L_{t_0}\colon W^m\to L^2$ は Fredholm 作用素で、核は滑らかな切断からなり、余核は $\ker L_{t_0}^*$ と同一視される（Fredholm作用素 の節「楕円型作用素への応用」。この記事では証明しない）。lem-kd-coefficient により $L_t$ は作用素ノルムで $L_{t_0}$ に収束するので、Fredholm作用素 の定理「指数の安定性」から、$t_0$ の近傍で $L_t$ は Fredholm 作用素で、指数は $L_{t_0}$ と等しい。$L_t$ が楕円型なら、同じ節により指数は $\dim\ker L_t-\dim\ker L_t^*$ である。$\square$

$S^1$ 上の滑らかな関数は $\mathbb R$ 上の周期 $2\pi$ の滑らかな関数と同じであり、$L_tu=0$ は常微分方程式 $u''=tu$ である。その複素数値の解の全体は 2 次元である。
$t>0$ のとき、解は $u=ae^{\sqrt t\,x}+be^{-\sqrt t\,x}$ で、$u(x+2\pi)=ae^{2\pi\sqrt t}e^{\sqrt t\,x}+be^{-2\pi\sqrt t}e^{-\sqrt t\,x}$ が $u(x)$ に等しいのは、2 つの指数関数の線形独立性から $a(e^{2\pi\sqrt t}-1)=0$ かつ $b(e^{-2\pi\sqrt t}-1)=0$、すなわち $a=b=0$ のときである。$t=0$ のとき、解は $a+bx$ で、周期的なのは $b=0$ のときだから核は定数関数の 1 次元である。$t=-\omega^2$（$\omega>0$）のとき、解は $u=ae^{i\omega x}+be^{-i\omega x}$ で、同様に周期的であることは $a(e^{2\pi i\omega}-1)=0$ かつ $b(e^{-2\pi i\omega}-1)=0$ と同値である。$\omega$ が整数なら $a,b$ は任意で核は 2 次元、整数でなければ $a=b=0$ である。
$L_t$ の主表象は $-\xi^2$ で $\xi\neq0$ なら $0$ でないので楕円型であり、係数 $-1,0,t$ は $t$ について連続である。部分積分を 2 回行えば $\langle\!\langle L_tu,v\rangle\!\rangle=\langle\!\langle u,L_tv\rangle\!\rangle$ なので $L_t^*=L_t$ であり、指数 $\dim\ker L_t-\dim\ker L_t^*$ は $0$ である。$\square$