分位点

$S_\tau:=\{y\in\mathbb R\mid F(y)\ge\tau\}$ とおくと、$Q(\tau)=\inf S_\tau$ である。$F$ は非減少なので、$y\in S_\tau$ かつ $y'\ge y$ なら $y'\in S_\tau$ である。
1：$\tau\le F(x)$ なら $x\in S_\tau$ なので $Q(\tau)=\inf S_\tau\le x$ である。逆を示すため、まず $Q(\tau)\in S_\tau$ を示す。下限の定義から、$S_\tau$ の元の列 $y_n$ で $y_n\to Q(\tau)$、$y_n\ge Q(\tau)$ となるものがとれる。$F$ は右連続なので $F(Q(\tau))=\lim_nF(y_n)\ge\tau$ であり、$Q(\tau)\in S_\tau$ である（$y_n=Q(\tau)$ となる $n$ があれば直ちに従う）。よって $S_\tau=[Q(\tau),\infty)$ で、$Q(\tau)\le x$ なら $x\in S_\tau$、すなわち $\tau\le F(x)$ である。
2：$F(Q(\tau))\ge\tau$ は 1 で $x=Q(\tau)$ とおけばよい。$y< Q(\tau)$ なら $y\notin S_\tau$ なので $F(y)< \tau$ であり、$y\to Q(\tau)-0$ として $F(Q(\tau)-0)\le\tau$ を得る。これは def-qtl-quantile の条件そのものである。
3：$\tau\le\tau'$ なら $S_{\tau'}\subset S_\tau$ なので $Q(\tau)\le Q(\tau')$ である。左連続性を示す。$\tau_n\uparrow\tau$ とすると、$Q(\tau_n)$ は非減少で $Q(\tau)$ 以下なので、極限 $L:=\lim_nQ(\tau_n)\le Q(\tau)$ がある。各 $n$ で $Q(\tau_n)\le L$ だから、1 により $\tau_n\le F(L)$ であり、$n\to\infty$ として $\tau\le F(L)$ を得る。再び 1 により $Q(\tau)\le L$ である。よって $L=Q(\tau)$ である。$\square$

def-qtl-quantile により、$a$ が $\tau$ 分位点であることは「$\tau\le F(a)$ かつ $F(a-0)\le\tau$」と同値である。前半は thm-qtl-galois の 1 により $a\ge Q(\tau)$ と同値である。後半が $a\le Q^+(\tau)$ と同値であることを示す。
$T:=\{x\mid F(x)\le\tau\}$ とおく。$F$ は非減少なので、$x\in T$ かつ $x'\le x$ なら $x'\in T$ である。$a\le Q^+(\tau)=\sup T$ とし、$y< a$ をとると、上限の定義から $y< t$ となる $t\in T$ があるので $F(y)\le F(t)\le\tau$ であり、$y\to a-0$ として $F(a-0)\le\tau$ を得る。逆に $a>Q^+(\tau)$ なら、$Q^+(\tau)< y< a$ となる $y$ は $T$ に属さないので $F(y)>\tau$ であり、$F(a-0)\ge F(y)>\tau$ である。
thm-qtl-galois の 2 により $Q(\tau)$ は $\tau$ 分位点なので、区間は空でない。最後に、$\mathbb R$ は $T$ とその補集合 $T^c=\{x\mid F(x)>\tau\}$ に分かれ、$T$ の元はどれも $T^c$ の元より小さいので、$\sup T=\inf T^c$ である。$\square$

1：$Q$ は単調なので Borel 可測であり、$Q(U)$ は確率変数である。thm-qtl-galois の 1 により、すべての $x$ で $\{Q(U)\le x\}=\{U\le F(x)\}$ であるから、$P(Q(U)\le x)=P(U\le F(x))=F(x)$ である。
2：$0< u< 1$ とする。thm-qtl-galois の 2 により $F(Q(u)-0)\le u\le F(Q(u))$ であり、$F$ が連続なら両端は等しいので $F(Q(u))=u$ である。次に、thm-qtl-galois の 1 を $x=X(\omega)$ に使うと $\{F(X)\ge u\}=\{X\ge Q(u)\}$ なので
$$ P(F(X)\ge u)=1-P(X< Q(u))=1-F(Q(u)-0)=1-F(Q(u))=1-u $$
である。よって $P(F(X)< u)=u$ であり、$u< v< 1$ をとって $v\downarrow u$ とすれば、確率空間 の命題「確率の連続性」により $P(F(X)\le u)=\lim_{v\downarrow u}P(F(X)< v)=u$ である。$u=0$ のときは $P(F(X)\le0)\le P(F(X)< v)=v$ がすべての $v>0$ で成り立つので $0$、$u=1$ のときは明らかに $1$ である。$\square$

右辺の積分は $(b-\max(a,x))^+-\tau(b-a)$ に等しい。ここで $c^+:=\max(c,0)$。$x$ の位置で場合を分ける。$x\le a$ なら左辺は $(\tau-1)(x-b)-(\tau-1)(x-a)=(1-\tau)(b-a)$、右辺は $(b-a)-\tau(b-a)$ で等しい。$x\ge b$ なら左辺は $\tau(x-b)-\tau(x-a)=-\tau(b-a)$、右辺は $0-\tau(b-a)$ で等しい。$a< x< b$ なら左辺は $(\tau-1)(x-b)-\tau(x-a)=(b-x)-\tau(b-a)$、右辺も $(b-x)-\tau(b-a)$ である。
$\rho_\tau(X-a)\le\lvert X\rvert+\lvert a\rvert$ なので $\psi(a)$ は有限である。被積分関数 $(\omega,t)\mapsto\mathbf 1_{\{X(\omega)\le t\}}-\tau$ は可測で絶対値が $1$ 以下なので、Fubiniの定理 により期待値と $t$ についての積分を入れ替えてよく、$E[\mathbf 1_{\{X\le t\}}]=F(t)$ から 2 つめの式を得る。$\square$

$\psi(a):=E[\rho_\tau(X-a)]$ とおき、lem-qtl-difference を使う。
分位点は最小点である。 $a$ を $\tau$ 分位点とする。$b>a$ なら、$t\in[a,b]$ で $F(t)\ge F(a)\ge\tau$ なので $\psi(b)-\psi(a)=\int_a^b(F(t)-\tau)\,dt\ge0$ である。$b< a$ なら、$t\in[b,a)$ で $F(t)\le F(a-0)\le\tau$ なので $\psi(b)-\psi(a)=-\int_b^a(F(t)-\tau)\,dt\ge0$ である。よって $\psi(a)$ は最小値である。
分位点でない点は最小点でない。 $a$ が $\tau$ 分位点でなければ、$F(a)< \tau$ または $F(a-0)>\tau$ である。

• $F(a)< \tau$ のとき：$F$ は右連続なので、$F(a+\delta)< \tau$ となる $\delta>0$ がある。$t\in[a,a+\delta]$ で $F(t)-\tau\le F(a+\delta)-\tau< 0$ なので、$\psi(a+\delta)-\psi(a)\le\delta\bigl(F(a+\delta)-\tau\bigr)< 0$ である。
• $F(a-0)>\tau$ のとき：$F(t)\to F(a-0)$（$t\to a-0$）なので、$F(t_0)>\tau$ となる $t_0< a$ がある。$t\in[t_0,a)$ で $F(t)-\tau\ge F(t_0)-\tau>0$ なので、$\psi(t_0)-\psi(a)=-\int_{t_0}^a(F(t)-\tau)\,dt\le-(a-t_0)\bigl(F(t_0)-\tau\bigr)< 0$ である。
  どちらの場合も $\psi$ の値をより小さくする点があるので、$a$ は最小点でない。分位点の全体が $[Q(\tau),Q^+(\tau)]$ であることは thm-qtl-interval による。$\square$