双曲多様体
概要
双曲多様体（hyperbolic manifold）とは、次元 $n\ge2$ の連結で完備な Riemann 多様体であって、断面曲率がいたるところ $-1$ のものである。どの双曲多様体も、双曲空間 $H^n$ を自由に作用する等長変換の離散群 $\Gamma$ で割った商と等長で、$\Gamma$ は基本群に同型であり、捩れ元をもたない。閉双曲多様体では、基本群の単位元以外の元が動かす距離に正の下限があり、基本群の中心は自明で、等長変換群は有限群である。とくに $n\ge2$ のトーラスには双曲多様体にする計量が入らない。
断面曲率がいたるところ $-1$ の完備で連結な Riemann 多様体を 双曲多様体（hyperbolic manifold）という。双曲空間 $H^n$ そのもののほか、種数 $2$ 以上の閉曲面に入る曲率 $-1$ の計量が代表例である。双曲多様体はどれも、$H^n$ をその等長変換の離散群 $\Gamma$ で割った商 $\Gamma\backslash H^n$ として得られ、$\Gamma$ は基本群に同型である。そのため、双曲多様体の幾何は $\Gamma$ という群の性質に強く反映される。
この記事では次のことを扱う。
- 定義と、双曲空間の商としての構造（thm-hm-structure、引用）。
- 双曲多様体の基本群は捩れ元をもたないこと（thm-hm-torsion-free、完全な証明）。
- 主定理：閉双曲多様体の基本群について、単位元以外の元が動かす距離には正の下限があり、$H^n$ の等長変換群の中での中心化群が自明であること（thm-hm-closed）。帰結として、$S^1\times N$ の形の閉多様体には双曲計量が入らないこと（cor-hm-product）、閉双曲多様体の等長変換群は有限群であること（thm-hm-isometry）。
- 双曲的な円柱・閉曲面の例と、仮定を 1 つずつ外したときの反例。
性質 成り立つ範囲 この記事での扱い $M\cong\Gamma\backslash H^n$、$\Gamma\cong\pi_1(M)$ すべての双曲多様体 引用（thm-hm-structure） 基本群に捩れ元がない すべての双曲多様体 証明（thm-hm-torsion-free） 動かす距離の正の下限・中心化群が自明 閉双曲多様体 証明（thm-hm-closed） 等長変換群が有限 閉双曲多様体 証明（thm-hm-isometry） 基本群が $H^n$ に準等長 閉双曲多様体 Švarc–Milnorの補題 から 基本群が等長を除いて多様体を決める 有限体積で $n\ge3$ Mostowの剛性定理
定義
以下 双曲空間 の双曲面モデルを使う。$\mathbb R^{n+1}$ に $\langle x,y\rangle=x_1y_1+\dots+x_ny_n-x_{n+1}y_{n+1}$ を考え、$H^n=\{x\mid\langle x,x\rangle=-1,\ x_{n+1}>0\}$ に $\langle\ ,\ \rangle$ の制限を計量として入れる。$H^n$ の距離 $d$ は $\cosh d(p,q)=-\langle p,q\rangle$ を満たし、とくに $p,q\in H^n$ なら $\langle p,q\rangle\le-1$ である（双曲空間 の定理「測地線と距離の公式」）。$\langle\ ,\ \rangle$ を保ち $H^n$ を $H^n$ に移す 1 次変換の群を $O^+(n,1)$ と書く。$O^+(n,1)$ は $H^n$ の等長変換全体の群である（同じ記事の定理「測地線と距離の公式」の後の段落）。$H^n$ の断面曲率はいたるところ $-1$ である（同じ記事の定理「双曲空間の曲率」）。
$n\ge2$ とする。連結で完備な $n$ 次元 Riemann 多様体で、すべての点のすべての 2 次元部分空間の断面曲率が $-1$ に等しいものを 双曲多様体 という。体積が有限のとき 有限体積、コンパクト（境界はもたない）のとき 閉 双曲多様体という。$n=2$ のときは 双曲曲面 ともいう。
双曲多様体は、空間形 のうち曲率が $-1$ のものにほかならない。断面曲率が負の定数 $-1/a^2$ の空間形は、計量を $a^{-2}$ 倍すれば双曲多様体になる（計量を定数倍すると断面曲率は逆数倍になる）ので、曲率を $-1$ にそろえても一般性は失われない。
双曲空間の商としての構造
- $M$ を $n$ 次元双曲多様体、$\pi\colon\tilde M\to M$ を普遍被覆とし、$\tilde M$ に引き戻しの計量を入れる。$\tilde M$ は $H^n$ と等長であり、この同一視のもとで被覆変換群 $\Gamma$ は $O^+(n,1)$ の離散部分群で、$H^n$ に自由かつ固有に作用し、$M$ は $\Gamma\backslash H^n$ と等長である。$\Gamma$ は $\pi_1(M)$ に同型である。
- 逆に、$O^+(n,1)$ の離散部分群 $\Gamma$ が $H^n$ に自由に作用すれば、$\Gamma\backslash H^n$ には商写像が局所等長写像になる Riemann 計量がただ 1 つあり、それによって $\Gamma\backslash H^n$ は双曲多様体になる。
以下、双曲多様体を $M=\Gamma\backslash H^n$ と書き、商写像を $\pi\colon H^n\to M$ とする。$\pi$ は局所等長写像なので曲線の長さを保ち、$M$ の曲線は $H^n$ の同じ長さの曲線に持ち上がる。このことから $M$ の距離 $d_M$ は
$$
d_M(\pi x,\pi y)=\inf_{\gamma\in\Gamma}d(x,\gamma y)\qquad(x,y\in H^n)
$$
を満たす。実際、右辺以下であることは $\pi$ が $x$ と $\gamma y$ を結ぶ曲線を同じ長さの曲線に移すことから、右辺以上であることは $\pi x$ から $\pi y$ への曲線を $x$ から持ち上げると終点が $\pi^{-1}(\pi y)=\Gamma y$ にあることから従う。
基本群は捩れ元をもたない
- $O^+(n,1)$ の有限部分群 $F$ は $H^n$ に固定点をもつ。すなわち、すべての $h\in F$ について $hp=p$ となる $p\in H^n$ がある。
- 双曲多様体の基本群は捩れ元（単位元以外の位数有限の元）をもたない。
1．$x\in H^n$ をとり、$w:=\sum_{g\in F}gx\in\mathbb R^{n+1}$ とおく。$H^n$ の 2 点について $\langle p,q\rangle\le-1$ なので
$$
\langle w,w\rangle=\sum_{g,g'\in F}\langle gx,g'x\rangle\le-\lvert F\rvert^2< 0
$$
である。また $H^n$ の点の第 $n+1$ 成分は正なので $w_{n+1}>0$ である。よって $p:=w/\sqrt{-\langle w,w\rangle}$ は $\langle p,p\rangle=-1$、$p_{n+1}>0$ を満たし、$H^n$ の点である。$h\in F$ は 1 次写像で、$g\mapsto hg$ は $F$ の全単射なので、$hw=\sum_{g\in F}hgx=w$ であり、$hp=p$ である。
2．$M=\Gamma\backslash H^n$ とし（thm-hm-structure）、$\gamma\in\Gamma$ の位数が有限とする。$\gamma$ の生成する部分群は有限なので、1 により固定点 $p$ をもち、$\gamma p=p$ である。$\Gamma$ は $H^n$ に自由に作用するので $\gamma=1$ である。$\Gamma\cong\pi_1(M)$ なので主張が従う。$\square$
この主張は、完備で連結な非正曲率の多様体の基本群が捩れ元をもたないという Cartan の定理（Lee18 Corollary 12.18、p. 356）の特別な場合である。Cartan の定理の証明では、有限群の軌道を含む最小の閉球の中心を固定点にとる。双曲面モデルでは、軌道の点の和を正規化するだけで固定点が得られる。
主定理：閉双曲多様体の基本群
閉双曲多様体では、基本群の元が $H^n$ をどれだけ動かすかに一様な制限がかかる。鍵になるのは、$H^n$ の等長変換で動かす距離が有界なものは恒等写像に限るという事実である（Mostowの剛性定理 の命題「動かす距離が有界な等長変換は恒等写像」、$n\ge2$）。
$M=\Gamma\backslash H^n$ を閉双曲多様体とする。
- $\delta:=\inf\{d(\gamma x,x)\mid x\in H^n,\ \gamma\in\Gamma\setminus\{1\}\}$ は正である。
- $h\in O^+(n,1)$ がすべての $\gamma\in\Gamma$ と可換ならば、$h$ は恒等写像である。
- $\Gamma$ の中心は自明であり、$\Gamma$ は単位元だけの群でなく、可換でない。
- $\Gamma$ は有限生成であり、語距離について $H^n$ に準等長である。
$R$ を $M$ の直径とし、$x_0\in H^n$ を固定して $D:=\bar B(x_0,R+1)$ とおく。$H^n$ は完備なので閉球はコンパクトである（Hopf–Rinowの定理）。$x\in H^n$ について $d_M(\pi x,\pi x_0)\le R$ なので、$d_M$ の式から $d(x,\gamma x_0)< R+1$ となる $\gamma\in\Gamma$ があり、$\gamma^{-1}x\in D$ である。よって $\Gamma D=H^n$ である。
1．$K:=\bar B(x_0,R+2)$ とおく。作用は固有なので、$\gamma K\cap K\ne\emptyset$ となる $\gamma$ の集合 $\Phi$ は有限である。$y\in D$ と $\gamma\in\Gamma$ が $d(\gamma y,y)< 1$ を満たせば $\gamma y\in K$ なので $\gamma\in\Phi$ である。$\gamma\in\Phi\setminus\{1\}$ については、作用が自由なので $y\mapsto d(\gamma y,y)$ は $D$ の上で正の連続関数で、$D$ はコンパクトなので正の最小値 $m_\gamma$ をもつ。したがってすべての $y\in D$、$\gamma\ne1$ について $d(\gamma y,y)\ge\delta_0:=\min(\{1\}\cup\{m_\gamma\mid\gamma\in\Phi\setminus\{1\}\})>0$ である。任意の $x\in H^n$ は $x=\eta y$（$\eta\in\Gamma$、$y\in D$）と書け、$d(\gamma x,x)=d(\eta^{-1}\gamma\eta\,y,y)$ で $\eta^{-1}\gamma\eta\ne1$ なので、$d(\gamma x,x)\ge\delta_0$ である。よって $\delta\ge\delta_0>0$ である。
2．$\gamma\in\Gamma$ について $d(h\gamma x,\gamma x)=d(\gamma hx,\gamma x)=d(hx,x)$ なので、関数 $x\mapsto d(hx,x)$ は $\Gamma$ の作用で不変であり、$\Gamma D=H^n$ からその値はすべて $D$ の上でとられる。連続関数はコンパクト集合 $D$ の上で有界なので、$\sup_xd(hx,x)<\infty$ であり、Mostowの剛性定理 の命題「動かす距離が有界な等長変換は恒等写像」により $h$ は恒等写像である。
3．$\Gamma$ の中心の元は 2 の $h$ の条件を満たすので単位元である。$\Gamma=\{1\}$ なら $M$ は $H^n$ と等長だが、$H^n$ は測地線に沿って距離がいくらでも大きくなるのでコンパクトでなく、矛盾する。可換なら $\Gamma$ は自身の中心に等しく $\{1\}$ になるので、可換でない。
4．$M$ はコンパクトなので、Švarc–Milnorの補題 の命題「コンパクトな Riemann 多様体の基本群」を普遍被覆 $H^n$ に当てはめればよい。$\square$
2 は、Mostowの剛性定理 で等長写像が基本群の同型からただ 1 つに決まることの理由になっている。
$N$ を正の次元のコンパクトで連結な多様体とする。$S^1\times N$ には、双曲多様体にする Riemann 計量が存在しない。とくに $n\ge2$ のトーラス $T^n=(S^1)^n$ には存在しない。
双曲多様体になる計量があったとする。$S^1\times N$ はコンパクトなので閉双曲多様体で、thm-hm-closed の 3 によりその基本群の中心は自明である。一方、基本群は $\pi_1(S^1)\times\pi_1(N)\cong\mathbb Z\times\pi_1(N)$ で（基本群 の命題「直積の基本群」）、$(1,1)$ はすべての元と可換な単位元以外の元である。これは矛盾である。$\square$
閉双曲多様体の等長変換群
$M$ を閉 $n$ 次元双曲多様体とする（$n\ge2$）。$M$ の等長変換群 $\operatorname{Isom}(M)$ は有限群である。
$M=\Gamma\backslash H^n$ とし、thm-hm-closed の 1 の $\delta>0$ について $\varepsilon:=\delta/2$ とおく。等長写像 $\psi\colon M\to M$ は、$\pi\circ\tilde\psi=\psi\circ\pi$ を満たす $\tilde\psi\in O^+(n,1)$（持ち上げ）をもち、$\tilde\psi\Gamma\tilde\psi^{-1}=\Gamma$ を満たす。持ち上げは $\gamma\tilde\psi$（$\gamma\in\Gamma$）の形のものに限る（Mostowの剛性定理 の補題「等長写像の持ち上げ」の 2）。
段 1． すべての $y\in M$ で $d_M(\psi y,y)<\varepsilon$ となる $\psi\in\operatorname{Isom}(M)$ は恒等写像であることを示す。持ち上げ $\tilde\psi$ をとる。$x\in H^n$ について $d_M(\psi\pi x,\pi x)=d_M(\pi\tilde\psi x,\pi x)=\inf_\gamma d(\gamma\tilde\psi x,x)<\varepsilon$ なので、$d(\gamma\tilde\psi x,x)<\varepsilon$ となる $\gamma\in\Gamma$ がある。このような $\gamma$ はただ 1 つである。実際 $\gamma'$ もそうなら、$z:=\gamma'\tilde\psi x$ について $d(\gamma\gamma'^{-1}z,z)\le d(\gamma\tilde\psi x,x)+d(x,\gamma'\tilde\psi x)<2\varepsilon=\delta$ なので、$\delta$ の定義から $\gamma=\gamma'$ である。各 $\gamma$ について、$d(\gamma\tilde\psi x,x)<\varepsilon$ となる $x$ の集合は開集合で、これらは互いに交わらず $H^n$ を覆う。$H^n$ は連結なので、ただ 1 つの $\gamma$ がすべての $x$ で使える。$\tilde\psi$ を $\gamma\tilde\psi$ に取り替えて、すべての $x$ で $d(\tilde\psi x,x)<\varepsilon$ としてよい。
$\gamma\in\Gamma$ について $\gamma':=\tilde\psi\gamma\tilde\psi^{-1}\in\Gamma$ である。$x\in H^n$ について
$$
d(\gamma'x,\gamma x)\le d\bigl(\tilde\psi(\gamma\tilde\psi^{-1}x),\ \gamma\tilde\psi^{-1}x\bigr)+d(\gamma\tilde\psi^{-1}x,\gamma x)<\varepsilon+d(\tilde\psi^{-1}x,x)<2\varepsilon
$$
であり（$d(\tilde\psi^{-1}x,x)=d(x,\tilde\psi x)$）、左辺は $d(\gamma^{-1}\gamma'x,x)$ に等しい。$\delta$ の定義から $\gamma^{-1}\gamma'=1$、すなわち $\tilde\psi\gamma=\gamma\tilde\psi$ である。thm-hm-closed の 2 により $\tilde\psi$ は恒等写像で、$\psi$ も恒等写像である。
段 2． $M$ はコンパクトなので、有限個の点 $y_1,\dots,y_m$ で、$M$ のどの点もいずれかの $y_i$ から距離 $\varepsilon/3$ 未満にあるものがとれる。$M^m$ に各成分の距離の最大を距離として入れると $M^m$ はコンパクトなので、直径 $\varepsilon/3$ 未満の有限個の集合で覆える。$\operatorname{Isom}(M)$ が無限集合なら、相異なる $\varphi,\psi$ で $(\varphi y_i)_i$ と $(\psi y_i)_i$ が同じ集合に入るものがある。任意の $y\in M$ について $d_M(y,y_i)<\varepsilon/3$ となる $i$ をとると
$$
d_M(\varphi y,\psi y)\le d_M(\varphi y,\varphi y_i)+d_M(\varphi y_i,\psi y_i)+d_M(\psi y_i,\psi y)<\varepsilon
$$
なので、$\psi^{-1}\varphi$ はすべての点を $\varepsilon$ 未満しか動かさない。段 1 により $\varphi=\psi$ となり、矛盾する。$\square$
$n\ge3$ では、Mostowの剛性定理 により $\operatorname{Isom}(M)$ は基本群の外部自己同型群に同型になる。上の証明は剛性定理を使わないので $n=2$ でも通る。
例
以下の例では、双曲空間 の上半空間モデルの $n=2$ の場合、すなわち上半平面 $U=\{z=x+iy\mid y>0\}$ に計量 $(dx^2+dy^2)/y^2$ を入れたものを使う。距離は
$$
\cosh d(z,w)=1+\frac{\lvert z-w\rvert^2}{2\operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}
$$
で与えられる（双曲空間 の系「上半空間の距離」、$n=2$、$a=1$）。この式から、$z\mapsto\lambda z$（$\lambda>0$）と $z\mapsto z+t$（$t\in\mathbb R$）は等長変換である。
1．双曲的な円柱：$\ell>0$ とし、$A(z)=e^\ell z$ の生成する群 $\Gamma_\ell=\{A^k\}$ を考える。$\lvert A^kz\rvert=e^{k\ell}\lvert z\rvert$ なので作用は自由で、コンパクト集合 $K\subset\{r_1\le\lvert z\rvert\le r_2\}$（$r_1>0$）について $A^kK\cap K\ne\emptyset$ なら $e^{\lvert k\rvert\ell}\le r_2/r_1$ で、作用は固有である。よって $M_\ell:=\Gamma_\ell\backslash U$ には商写像を局所等長にする計量が入り（Lee18 Proposition 2.32、p. 25）、完備で（同 Corollary 6.24、p. 173）、曲率 $-1$ の双曲曲面である。
- 面積は無限大：各軌道は $\{1\le\lvert z\rvert< e^\ell\}$ とちょうど 1 点で交わる。極座標 $z=re^{i\theta}$ で面積要素は $dr\,d\theta/(r\sin^2\theta)$ で、$\int_1^{e^\ell}dr/r=\ell$、$\int_0^\pi d\theta/\sin^2\theta=\infty$ なので面積は無限大であり、$M_\ell$ はコンパクトでない。
- 動かす距離：$\cosh d(Az,z)=1+\dfrac{(e^\ell-1)^2\lvert z\rvert^2}{2e^\ell y^2}\ge1+\dfrac{(e^\ell-1)^2}{2e^\ell}=\cosh\ell$ で、等号は虚軸の上で成り立つ。虚軸の像は長さ $\ell$ の閉じた測地線である。
- 等長変換が多い：$B_t(z)=e^tz$ は $A$ と可換なので、$\pi(z)\mapsto\pi(B_tz)$ は $M_\ell$ の等長変換を定める。$0\le t<\ell$ の $B_t$ は $\pi(i)$ を相異なる点 $\pi(e^ti)$ に移すので、$\operatorname{Isom}(M_\ell)$ は無限群であり、$\Gamma_\ell$ と可換な $O^+(2,1)$ の元（$U$ の等長変換）も恒等写像に限らない。
2．カスプ：$P(z)=z+1$ の生成する群 $\{P^k\}$ も自由かつ固有に作用し（$K\subset\{\lvert x\rvert\le r\}$ なら $P^kK\cap K\ne\emptyset$ は $\lvert k\rvert\le2r$ を導く）、商 $N$ は双曲曲面である。$\cosh d(Pz,z)=1+\dfrac1{2y^2}$ は $y\to\infty$ で $1$ に近づくので、$P\ne1$ が動かす距離の下限は $0$ である。
種数 $g\ge2$ の向き付け可能な閉曲面には、双曲平面による Riemann 被覆をもつ計量があり（Lee18 Theorem 3.22 とその証明の概略、pp. 74–75）、それは曲率 $-1$ の閉双曲曲面である。Gauss–Bonnetの定理 の定理「Gauss–Bonnet の定理（境界なし）」で $K=-1$ とおくと
$$
-\operatorname{Area}(M)=2\pi\chi(M)=2\pi(2-2g)
$$
なので（種数 の系「種数のEuler標数による式」）、面積は $4\pi(g-1)$ で、計量によらず位相だけで決まる。逆に、向き付け可能な閉曲面が双曲計量をもてば面積は正なので $\chi< 0$、すなわち $g\ge2$ である。球面（$g=0$）とトーラス（$g=1$）には双曲計量が入らない。トーラスについては cor-hm-product からも分かる。
例と反例
thm-hm-structure・thm-hm-torsion-free・thm-hm-closed・thm-hm-isometry の仮定を 1 つずつ外すと、結論が成り立たなくなる。各行で外したもの以外の条件は成り立っている。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 閉（コンパクト） | カスプ $\{z\mapsto z+k\}\backslash U$ | 動かす距離に正の下限があること |
| 閉（コンパクト） | 双曲的な円柱 $M_\ell$ | 中心化群が自明であること、等長変換群が有限であること |
| 曲率が $-1$（$0$ にする） | 平坦トーラス $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$ | 中心化群が自明であること、等長変換群が有限であること |
| 曲率が $-1$（$+1$ にする） | 実射影空間 $\mathbb RP^n=S^n/\{\pm1\}$ | 基本群が捩れ元をもたないこと |
| 完備 | $H^2$ から 1 点を除いたもの | $\Gamma\backslash H^n$ と等長であること |
1・2 行目：ex-hm-cylinders の 2 と 1 による。どちらも完備で曲率 $-1$ だが、コンパクトでない。
3 行目：平坦トーラス $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$（$n\ge2$）は閉じた完備な多様体で曲率は $0$ である。被覆変換群 $\mathbb Z^n$（整数ベクトルによる平行移動）は、すべての平行移動 $x\mapsto x+v$（$v\in\mathbb R^n$）と可換である。$x+\mathbb Z^n\mapsto x+v+\mathbb Z^n$ はトーラスの等長変換で、$v\in[0,1)^n$ について相異なるので、等長変換群は無限群である。
4 行目：$\mathbb RP^n$（$n\ge2$）は単位球面を対蹠写像で割った閉多様体で、曲率は $1$、基本群は位数 $2$ の群である（基本群 の例「実射影空間とレンズ空間」）。単位元以外の元が位数 $2$ の捩れ元である。
5 行目：$H^2\setminus\{p\}$ は連結で曲率 $-1$ だが、$p$ に収束する点列は Cauchy 列で極限をもたないので完備でない。一方 $\Gamma\backslash H^2$ の形の多様体は完備なので（thm-hm-structure の 2）、等長にはならない。
補足
- 位相：双曲多様体は断面曲率が非正なので、普遍被覆は $\mathbb R^n$ と微分同相で、$k\ge2$ で $\pi_k(M)=0$ である（Cartan–Hadamardの定理 の系「非正曲率の多様体の位相」）。双曲多様体のホモトピー型は基本群で決まる。
- 可換部分群：閉双曲多様体の基本群の単位元でない可換部分群は、すべて $\mathbb Z$ に同型である（Preissman の定理、Lee18 Theorem 12.19、p. 357。この記事では証明しない）。thm-hm-closed の 3 の「可換でない」はこれよりずっと弱い主張である。
- 剛性：$n\ge3$ の有限体積の双曲多様体は、基本群だけで等長を除いて決まる（Mostowの剛性定理）。2 次元では成り立たず、ex-hm-surfaces の閉曲面には互いに等長でない双曲計量が多くある。
- 群と空間：閉双曲多様体の基本群は $H^n$ に準等長であり（thm-hm-closed の 4）、群の大きな尺度での形が双曲空間の形と一致する。その意味は Švarc–Milnorの補題 と 幾何学的群論 で扱う。
関連項目
- 前提: 双曲空間, 空間形, 被覆変換, 基本群
- 関連: 双曲幾何学, Cartan–Hadamardの定理, Gauss–Bonnetの定理, 一意化定理
- 発展: Mostowの剛性定理, Švarc–Milnorの補題, 幾何学的群論
参考文献
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