Basel問題

$n\ge2$ について $\frac1{n(n+1)}<\frac1{n^2}<\frac1{(n-1)n}$ であり、$\frac1{(n-1)n}=\frac1{n-1}-\frac1n$、$\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ である。$N< M$ について $n=N+1,\dots,M$ で足すと、打ち消し合って
$$ \frac1{N+1}-\frac1{M+1}< S_M-S_N<\frac1N-\frac1M $$
となる。特に $N=1$ として $S_M<1+1-\frac1M<2$ なので、部分和 $S_M$ は増加して上に有界であり、収束する（単調収束定理）。その極限を $\zeta(2)$ とする。
$N$ を固定する。$\sum_{n>N}\bigl(\frac1n-\frac1{n+1}\bigr)=\frac1{N+1}$、$\sum_{n>N}\bigl(\frac1{n-1}-\frac1n\bigr)=\frac1N$ であり（部分和が $\frac1{N+1}-\frac1{M+1}$、$\frac1N-\frac1M$ なので）、
$$ \zeta(2)-S_N-\frac1{N+1}=\sum_{n>N}\Bigl(\frac1{n^2}-\frac1{n(n+1)}\Bigr),\qquad \frac1N-\bigl(\zeta(2)-S_N\bigr)=\sum_{n>N}\Bigl(\frac1{(n-1)n}-\frac1{n^2}\Bigr) $$
である。右辺はどちらも正の項の収束級数なので、その和は最初の項以上であり正である。よって主張の不等式を得る。$N=1$ とすると $\frac12<\zeta(2)-1<1$ なので $\frac32<\zeta(2)<2$、特に $1<\zeta(2)<2$ である。$\square$

$h(x):=x-\sin x$ は区間 $[0,\frac\pi2)$ で微分可能で、$h'(x)=1-\cos x$ は $[0,\frac\pi2)$ で $0$ 以上、$(0,\frac\pi2)$ で正である。平均値の定理 の記事の系「導関数の符号と増減」の 1 により $h$ は $[0,\frac\pi2)$ で単調増加、同じ系の 2 により $(0,\frac\pi2)$ で狭義単調増加である。よって $0< x<\frac\pi2$ なら $h(x)>h(x/2)\ge h(0)=0$ である。同様に $k(x):=\tan x-x$ は $k'(x)=\frac1{\cos^2x}-1=\tan^2x$ が $[0,\frac\pi2)$ で $0$ 以上、$(0,\frac\pi2)$ で正なので、$k(x)>k(x/2)\ge k(0)=0$ である。
$0< x<\frac\pi2$ では $\sin x,\tan x>0$ なので、$0<\sin x< x<\tan x$ の逆数の 2 乗をとると $\frac1{\tan^2x}<\frac1{x^2}<\frac1{\sin^2x}$ である。$\frac1{\tan^2x}=\cot^2x$、$\frac1{\sin^2x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=1+\cot^2x$ である。$\square$

$N:=2m+1$ とおく。実数 $\theta$ について、de Moivre の公式（de Moivreの定理）$(\cos\theta+i\sin\theta)^N=\cos N\theta+i\sin N\theta$ の左辺を二項定理で展開し、虚部を比べると
$$ \sin N\theta=\sum_{j=0}^m(-1)^j\binom N{2j+1}\cos^{N-2j-1}\theta\,\sin^{2j+1}\theta $$
である（$i^{2j+1}=(-1)^ji$ の項が虚部に入る）。$0<\theta<\frac\pi2$ なら $\sin\theta>0$ なので両辺を $\sin^N\theta$ で割り、$N-2j-1=2(m-j)$ を使うと
$$ \frac{\sin N\theta}{\sin^N\theta}=\sum_{j=0}^m(-1)^j\binom N{2j+1}\bigl(\cot^2\theta\bigr)^{m-j}=P(\cot^2\theta),\qquad P(t):=\sum_{j=0}^m(-1)^j\binom N{2j+1}t^{m-j} $$
となる。$P$ は $t^m$ の係数が $\binom N1=2m+1$、$t^{m-1}$ の係数が $-\binom N3$ の $m$ 次多項式である。
$\theta_k:=\frac{k\pi}N$（$k=1,\dots,m$）は $0<\theta_k<\frac\pi2$ を満たし、$\sin N\theta_k=\sin k\pi=0$ なので $P(\cot^2\theta_k)=0$ である。$\cot$ は $(0,\frac\pi2)$ で正の値をとり狭義減少なので、$\cot^2\theta_1,\dots,\cot^2\theta_m$ は相異なる。$m$ 次多項式 $P$ が $m$ 個の相異なる根をもつので $P(t)=(2m+1)\prod_{k=1}^m(t-\cot^2\theta_k)$ であり、$t^{m-1}$ の係数を比べると
$$ -(2m+1)\sum_{k=1}^m\cot^2\theta_k=-\binom{2m+1}3=-\frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}6 $$
である。両辺を $-(2m+1)$ で割って主張を得る。$\square$

$m\ge1$ とし、lem-basel-sin-tan を $x=\theta_k=\frac{k\pi}{2m+1}$（$k=1,\dots,m$。$0<\theta_k<\frac\pi2$）に適用して $k$ について足すと
$$ \sum_{k=1}^m\cot^2\theta_k<\sum_{k=1}^m\frac{(2m+1)^2}{\pi^2k^2}< m+\sum_{k=1}^m\cot^2\theta_k $$
である。lem-basel-cot-sum を代入し、$\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}$ を掛けると
$$ \frac{\pi^2\,m(2m-1)}{3(2m+1)^2}< S_m<\frac{\pi^2\,2m(m+1)}{3(2m+1)^2} $$
を得る（右辺は $\frac{m(2m-1)}3+m=\frac{2m(m+1)}3$ による）。$m\to\infty$ とすると
$$ \frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}=\frac{2-1/m}{(2+1/m)^2}\to\frac12,\qquad\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}=\frac{2(1+1/m)}{(2+1/m)^2}\to\frac12 $$
なので、左右はともに $\frac{\pi^2}6$ に収束する。はさみうちの原理により $S_m\to\frac{\pi^2}6$ であり、prop-basel-convergence の $\zeta(2)$ は $\frac{\pi^2}6$ に等しい。$\square$

偶数の平方の逆数の部分和は $\sum_{k=1}^K\frac1{(2k)^2}=\frac14S_K$ であり、$K\to\infty$ で $\frac14\cdot\frac{\pi^2}6=\frac{\pi^2}{24}$ に収束する。奇数の平方の逆数の部分和 $O_K:=\sum_{k=0}^{K-1}\frac1{(2k+1)^2}$ は $S_{2K}=O_K+\frac14S_K$ を満たすので、$K\to\infty$ として $O_K\to\frac{\pi^2}6-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}8$ である。交代級数の部分和 $A_N:=\sum_{n=1}^N\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ は $A_{2K}=O_K-\frac14S_K\to\frac{\pi^2}8-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{12}$ を満たし、$A_{2K+1}=A_{2K}+\frac1{(2K+1)^2}$ も同じ極限をもつので、$A_N\to\frac{\pi^2}{12}$ である。$\square$