三角形の成立条件

1. $a=5$、$b=4$、$c=3$ とする。$B(0,0)$、$C(5,0)$ とおき、求める点を $A(x,y)$ とする。$AB=3$、$AC=4$ は
   $$ x^2+y^2=9,\qquad (x-5)^2+y^2=16 $$
   である。2 式を引くと $x^2-(x-5)^2=9-16$、つまり $10x-25=-7$ で、$x=\dfrac{18}{10}=\dfrac95$ である。1 つ目の式に入れると $y^2=9-\dfrac{81}{25}=\dfrac{144}{25}$ で、$y=\pm\dfrac{12}5$ である。$A\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$ をとれば三角形ができる。
2. $a=4$、$b=2$、$c=1$ とする。$B(0,0)$、$C(4,0)$、$A(x,y)$ で、$x^2+y^2=1$、$(x-4)^2+y^2=4$ である。引くと $8x-16=-3$ で $x=\dfrac{13}8$、すると $y^2=1-\dfrac{169}{64}=-\dfrac{105}{64}<0$ となり、$y$ はない。2 つの円は交わらず、三角形はできない。

$a=4$、$b=3$、$c=2$ とする。$B(0,0)$、$C(4,0)$、$A(x,y)$ で、$x^2+y^2=4$、$(x-4)^2+y^2=9$ である。引くと $8x-16=-5$ で $x=\dfrac{11}8$、
$$ y^2=4-\frac{121}{64}=\frac{135}{64},\qquad y=\frac{3\sqrt{15}}8 $$
である。$A\left(\dfrac{11}8,\dfrac{3\sqrt{15}}8\right)$ をとれば、$AB=2$、$AC=\sqrt{\left(4-\dfrac{11}8\right)^2+\dfrac{135}{64}}=\sqrt{\dfrac{441+135}{64}}=\sqrt9=3$ で、三角形ができる。この三角形の角 $A$ は約 $104.5^\circ$ の鈍角である。

1. $2,3,4$：最大は $4$ で、$4<2+3=5$ なので三角形がある（ex-tic-234）。
2. $1,2,4$：最大は $4$ で、$4<1+2=3$ は成り立たないので三角形はない（ex-tic-start (2)）。
3. $5,5,9$：最大は $9$ で、$9<5+5=10$ なので三角形がある。条件 (iii) の形で $a=9$ とすると $\lvert5-5\rvert=0<9<10$ である。

$a=4$、$b=3$、$c=2$、$B(0,0)$、$C(4,0)$、$A\left(\dfrac{11}8,\dfrac{3\sqrt{15}}8\right)$ とする。$D$ は半直線 $BA$ の上で $B$ から $c+b=5$ の点なので、$D=\dfrac52A=\left(\dfrac{55}{16},\dfrac{15\sqrt{15}}{16}\right)$ である。角を測ると
$$ \angle BCD\approx81.2^\circ>\angle ACD=\angle ADC=\angle BDC\approx52.2^\circ $$
で、向かいの辺は $BD=5>BC=4$ である。

1. $a=5$、$b=4$、$c=3$ では $x=\dfrac{25+9-16}{10}=\dfrac95$、
   $$ y^2=\frac{12\cdot2\cdot4\cdot6}{4\cdot25}=\frac{576}{100}=\frac{144}{25} $$
   で、ex-tic-start (1) と同じ $A\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$ になる。
2. $a=4$、$b=2$、$c=1$ では、4 つの因数は $7$、$-1$、$3$、$5$ で、$-a+b+c=-1<0$ のために $y^2=-\dfrac{105}{64}<0$ となる。ex-tic-start (2) で交点がなかったのは、この因数が負だからである。

1. $a=4$、$b=3$、$c=2$：$\lvert3-2\rvert=1<4<5$ で、2 点で交わる。交点の 1 つが ex-tic-234 の $A$ である。
2. $a=4$、$b=3$、$c=1$：$a=b+c$ で、外で接する。接点は $(1,0)$ で、3 点は一直線上に並ぶ。
3. $a=4$、$b=2$、$c=1$：$a>b+c$ で、共有点がない（ex-tic-start (2)）。
4. $a=1$、$b=3$、$c=1$：$a=1<\lvert b-c\rvert=2$ で、半径 $1$ の円が半径 $3$ の円の内部に入り、共有点がない。このとき条件 (ii) のうち $b< c+a$（$3<2$）が成り立たない。

$a=1$ のとき、条件 (iii) は $\lvert b-c\rvert<1< b+c$ で、次の 3 つの不等式を同時に満たす範囲になる。
$$ b+c>1,\qquad c>b-1,\qquad c< b+1 $$
$bc$ 平面では、直線 $b+c=1$ の右上、2 本の平行線 $c=b-1$ と $c=b+1$ の間の、帯の形の範囲である（境界は含まない）。たとえば $(b,c)=(1.5,1)$ はこの範囲にあり、$(3,1)$ は $b-c=2>1$ なので外、$(0.3,0.4)$ は $b+c=0.7<1$ なので外である。

$a=3$、$b=2$、$c=1$ では $a=b+c$ で、条件 (ii) の $a< b+c$ が等号になる。prop-tic-sufficient の式で $x=\dfrac{9+1-4}6=1$、$y^2=1-1=0$ なので、$A$ は $(1,0)$ で、$B(0,0)$、$C(3,0)$ と一直線上に並ぶ。$BA=1$、$AC=2$、$BC=3$ で長さは合っているが、3 点は三角形を作らない（面積 $0$ の「つぶれた三角形」）。
逆に、一直線上にない 3 点では等号は起こらない（prop-tic-necessary は真の不等号 $a< b+c$ を示した）。等号 $a=b+c$ が成り立つのは、$A$ が線分 $BC$ の上にあるときである。

$2,3,10$ で、$2<3+10$ と $3<10+2$ は成り立つ。しかし最大の $10$ については $10<2+3=5$ が成り立たないので、三角形はない。
$a=10$、$b=3$、$c=2$ として prop-tic-sufficient の式を使うと、$x=\dfrac{100+4-9}{20}=\dfrac{19}4$、$y^2=4-\dfrac{361}{16}=-\dfrac{297}{16}<0$ で、交点はない。半径 $2$ と半径 $3$ の円の中心が $10$ 離れていて、間に $10-2-3=5$ のすき間がある。lem-tic-forms の段 3 が言うとおり、確かめる必要があるのは最大のものだけで、最大でないものが成り立っても何も分からない。

空間の 4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ で、$AB=AC=BD=CD=2$、$AD=BC=3$ となるものを考える。4 つの面の辺はどれも $2,2,3$ で、$3<2+2$ なので、どの面も三角形としては作れる。しかし、この 6 本の長さをもつ 4 点は空間にない。
もしあったとする。辺 $BC$ の中点を $M$ とする。三角形 $ABM$ と $ACM$ は、$AB=AC=2$、$BM=CM$、$AM$ が共通で 3 辺が等しいので合同であり（三角形の合同条件）、$\angle AMB=\angle AMC$ である。2 つの角の和は $180^\circ$ なので、どちらも $90^\circ$ である。三平方の定理から
$$ AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{4-\frac94}=\frac{\sqrt7}2 $$
である。三角形 $DBC$ も $DB=DC=2$ なので、同じく $DM=\dfrac{\sqrt7}2$ である。3 点 $A$、$M$、$D$ は 1 つの平面の上にあるので、その平面で prop-tic-necessary（3 点が一直線上にあるときは数直線の上の長さの比較）を使うと
$$ AD\le AM+MD=\sqrt7\approx2.65 $$
となり、$AD=3$ に反する。よってこのような 4 点はない。
四面体（空間の 4 点）では、各面の三角形の成立条件だけでは足りない。十分な条件は行列式で書ける（Heronの公式とCayley–Menger行列式 の反例 ex-hcm-cx-faces が同じ 6 本の長さを扱っている）。