Neumann問題

$u\in C^2(U)$ とし、$\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^N)$、$v:=\varphi|_\Omega$ とする。Greenの公式 の定理「Greenの公式（古典的な形）」から
$$ \int_\Omega\bigl(\nabla u\cdot\nabla v+uv-fv\bigr)\,dx=\int_\Omega\bigl(-\Delta u+u-f\bigr)v\,dx+\int_\Gamma\frac{\partial u}{\partial n}\,v\,d\sigma.\qquad(2) $$
1：$u$ が古典解なら (2) の右辺は $0$ である。左辺は $v$ について $H^1(\Omega)$ のノルムで連続な線形汎関数（Cauchy–Schwarz の不等式）で、$\{\varphi|_\Omega\}$ は $H^1(\Omega)$ で稠密（Greenの公式 の注意「稠密性」）なので、(1) がすべての $v\in H^1(\Omega)$ について成り立つ。また $u$ と $\nabla u$ は $\overline\Omega$ の上で有界なので $u\in H^1(\Omega)$ である。
2：$u$ が弱解なら (2) の左辺は $0$ である。まず $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ にとると境界の項は消え、$\int_\Omega(-\Delta u+u-f)\varphi\,dx=0$ がすべての $\varphi$ について成り立つ。$-\Delta u+u-f$ は局所可積分なので、ほとんど至る所 $-\Delta u+u=f$ である。これを (2) に戻すと、すべての $\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^N)$ について $\int_\Gamma\frac{\partial u}{\partial n}\varphi\,d\sigma=0$ となる。Greenの公式 の例「境界の上の積分が 0 なら 0」により、$\sigma$ についてほとんど至る所 $\partial u/\partial n=0$ である。$\partial u/\partial n=\nabla u\cdot n$ は $\Gamma$ の上で連続で、$\Gamma$ の空でない相対開集合は $\sigma$ について正の測度をもつ（局所的にグラフで表すと、$\mathbb{R}^{N-1}$ の空でない開集合の上の正の関数の積分になる）ので、$\Gamma$ の各点で $\partial u/\partial n=0$ である。$\square$

1. の左辺は $H^1(\Omega)$ の内積 $(u,v)_{H^1}$ である。$H^1(\Omega)$ は Hilbert 空間で（Sobolev空間の基本事項 の定理「Sobolev空間の完備性」）、$\ell(v):=\int_\Omega fv\,dx$ は $\lvert\ell(v)\rvert\le\|f\|\,\|v\|\le\|f\|\,\|v\|_{H^1}$ をみたす有界線形汎関数である。双線形形式 $(u,v)_{H^1}$ は有界で、$(v,v)_{H^1}=\|v\|_{H^1}^2$ なので強圧的である。Lax–Milgramの定理 の定理「Lax–Milgramの定理」（この場合は Rieszの表現定理 そのもの）により、$(u,v)_{H^1}=\ell(v)$（$v\in H^1(\Omega)$）をみたす $u$ がただ 1 つあり、$v=u$ とおくと $\|u\|_{H^1}^2=\ell(u)\le\|f\|\,\|u\|_{H^1}$ である。
   最小性：$u$ を弱解とし、$v\in H^1(\Omega)$、$h:=v-u$ とおく。$J(u+h)=J(u)+\bigl((u,h)_{H^1}-\ell(h)\bigr)+\frac12\|h\|_{H^1}^2=J(u)+\frac12\|h\|_{H^1}^2$ なので、$J(v)\ge J(u)$ で、等号は $v=u$ のときに限る。$\square$

必要性：$v=1\in H^1(\Omega)$ は $\nabla v=0$、$\gamma v=1$ をみたす（$1$ は $C^\infty_c(\mathbb{R}^N)$ の関数の制限にとれる）ので、(3) に入れると $0=\ell(1)$、すなわち (4) である。
十分性：$V:=\{v\in H^1(\Omega)\mid\int_\Omega v\,dx=0\}$ とおく。$v\mapsto\int_\Omega v\,dx$ は $H^1(\Omega)$ の上の有界線形汎関数（$\lvert\int_\Omega v\rvert\le\lvert\Omega\rvert^{1/2}\|v\|$）なので、$V$ はその核として閉部分空間であり、Hilbert 空間である。$\Omega$ は有界・連結・$C^1$ 級なので、Poincaré–Wirtingerの不等式 の定理「有界で連結な $C^1$ 級の領域でのPoincaré–Wirtingerの不等式」（$p=2$）により、$v\in V$ について $\|v\|\le C_P\|\nabla v\|$ となる定数 $C_P$ がある。よって $V$ の上で
$$ a(v,v)=\|\nabla v\|^2\ge\frac1{1+C_P^2}\bigl(\|v\|^2+\|\nabla v\|^2\bigr)=\frac1{1+C_P^2}\|v\|_{H^1}^2 $$
であり、$a$ は $V$ の上で有界かつ強圧的である。$\ell$ は $\lvert\ell(v)\rvert\le(\|f\|+C_\Gamma\|g\|_{L^2(\Gamma)})\|v\|_{H^1}$ をみたす。Lax–Milgramの定理 の定理「Lax–Milgramの定理」により、$u\in V$ で $a(u,w)=\ell(w)$（$w\in V$）をみたすものがただ 1 つあり、$w=u$ とおいて $\|u\|_{H^1}\le(1+C_P^2)(\|f\|+C_\Gamma\|g\|_{L^2(\Gamma)})$ を得る。
この $u$ が (3) をすべての $v\in H^1(\Omega)$ についてみたすことを示す。$\bar v:=\lvert\Omega\rvert^{-1}\int_\Omega v\,dx$ とおくと $v-\bar v\in V$ で、$\nabla(v-\bar v)=\nabla v$ だから
$$ a(u,v)=a(u,v-\bar v)=\ell(v-\bar v)=\ell(v)-\bar v\,\ell(1)=\ell(v) $$
である。最後の等号に (4)、すなわち $\ell(1)=0$ を使った。
2：$u_1,u_2$ が弱解なら、$w:=u_1-u_2$ はすべての $v$ について $a(w,v)=0$ をみたし、$v=w$ として $\|\nabla w\|=0$ である。$\Omega$ は連結なので、弱微分 の定理「弱勾配が $0$ なら定数」により $w$ はほとんど至る所定数である。平均が $0$ の弱解は $V$ の中で $a(u,w)=\ell(w)$ をみたすので、上の一意性からただ 1 つで、評価も上で得た。$\square$

要点：(5) の左辺は $H^1(I)$ の内積で、右辺は端点の値の評価から有界な線形汎関数なので、thm-np-weak と同じく Riesz の表現定理で解が決まる。境界条件は、部分積分で残る端点の項に 1 次関数 $v=x$ と $v=1-x$ を入れて取り出す。

必要性：$v=1$ を (6) に入れると $0=\int_0^1f-\alpha+\beta$ である。
十分性：$F(t):=\int_0^tf$ は $[0,1]$ 上で絶対連続で、ほとんど至る所 $F'=f$ である。上の式の $u$ は $C^1$ 級で $u'=\alpha-F$ なので、$u'\in H^1(I)$、$u''=-f$、$u'(0)=\alpha$、(7) から $u'(1)=\alpha-\int_0^1f=\beta$ である。prf-np-interval の 2 と同じ部分積分により、$v\in H^1(I)$ について $\int_0^1u'v'=u'(1)v(1)-u'(0)v(0)+\int_0^1fv$ で、これは (6) である。
一意性：2 つの解の差 $w$ はすべての $v$ について $\int_0^1w'v'=0$ をみたし、$v=w$ として $w'=0$ がほとんど至る所成り立つ。絶対連続関数 の系「導関数が0なら定数・部分積分」の 1 により $w$ は定数である。$\square$