後続基数
概要
後続基数（successor cardinal）とは、基数 $\kappa$ より真に大きい最小の基数 $\kappa^+$ である。無限基数では順序数の後続 $\kappa+1$ と異なり、$\kappa^+$ は極限順序数である。ZFC では後続基数は正則で、冪集合の濃度について $\kappa^+\le2^\kappa$ が成り立つ。強制拡大では基礎モデルの後続基数が崩れることもある。
後続基数とは
後続基数（successor cardinal）は、ある基数より真に大きい基数のうち最小のものである。基数 $\kappa$ の後続基数を $\kappa^+$ と書く。有限基数なら $n^+=n+1$ だが、無限基数では順序数としての後続 $\kappa+1$ と $\kappa^+$ は異なる。$\aleph_0^+=\aleph_1$ は、可算濃度の次の基数、すなわち最小の非可算基数である（Jec03 Chapter 3）。
この概念は「二つの基数の間に別の基数がない」という大小関係を記述する。$\kappa$ と $\kappa^+$ の間に順序数がないという意味ではない。とくに無限基数は順序数としては極限順序数である。後続基数の正則性、冪集合の濃度との比較、強制法による基数の崩壊を区別して理解することが重要である。
定義と存在
ここでは基数を、その濃度を持つ最小の順序数、すなわち始順序数として表す。$|\alpha|$ は順序数 $\alpha$ の濃度を表す。$\kappa<\lambda$ が基数の間の不等式であるときは、濃度の比較を意味する。
基数 $\kappa$ の後続基数 $\kappa^+$ は、$\kappa$ より真に大きい基数のうち最小のものである。したがって $\kappa<\kappa^+$ であり、基数 $\lambda$ が $\kappa<\lambda$ を満たすなら $\kappa^+\leq\lambda$ である。
「次の基数」は常に存在する。これは単に基数の列を順に書き出せるからではない。任意の集合 $X$ に対し、$X$ に単射で入らない順序数があるという Hartogs の議論から存在が従う（Jec03 Chapter 3, Lemma 3.4）。以下では $X=\kappa$ として、この存在を具体的に確認する。
基数 $\kappa$ に対し、$\kappa$ へ単射を持たない最小の順序数を $h(\kappa)$ とする。この順序数は存在し、$h(\kappa)=\kappa^+$ である。この存在には選択公理を要しない。
$\kappa$ の部分集合に入れられる整列順序をすべて考える。それぞれの整列集合の順序型は順序数であり、整列順序は $\kappa\times\kappa$ の部分集合として符号化できる。冪集合公理と置換公理により、こうして得られる順序型の全体 $T$ は集合である。順序数 $\alpha$ が $T$ に入ることと、$\alpha$ から $\kappa$ への単射があることは同値である。
順序数全体は集合ではないので、$T$ に入らない順序数がある。実際 $\sup T+1$ は $T$ のどの元より大きい。この中の最小のものを $h(\kappa)$ とすれば、存在が示された。$h(\kappa)$ は基数でもある。もしより小さい $\beta< h(\kappa)$ と $h(\kappa)$ が同じ濃度なら、$\beta$ は $T$ に属するから、$\beta\to\kappa$ の単射と $h(\kappa)\to\beta$ の全単射を合成して $h(\kappa)\to\kappa$ の単射ができ、矛盾する。
$\kappa$ 自身は $\kappa$ に単射で入るので $\kappa< h(\kappa)$ である。もしその間に基数 $\lambda$ があれば、$\lambda< h(\kappa)$ だから $\lambda\to\kappa$ の単射があり、$\lambda>\kappa$ に反する。従って $h(\kappa)$ は $\kappa$ より大きい最小の基数、すなわち $\kappa^+$ である。
この証明で扱うのは整列可能な濃度である。選択公理を使えばすべての集合が整列可能となり、任意の集合の濃度について「次の基数」をこの形で論じられる。選択公理なしでも、すでに順序数として与えられた基数 $\kappa$ の後続基数は上の構成で得られる。一方、一般の集合の濃度は選択公理なしでは互いに比較できるとは限らない。
後続順序数との違い
$\kappa+1$ は順序数 $\kappa$ の直後の順序数である。これに対して $\kappa^+$ は基数の間で次に来るものを表す。有限のときは両者が一致するが、無限のときは $\kappa+1$ が基数ではなくなる。したがって上付きの $+$ を、順序数の加法記号 $+1$ と置き換えてはならない。
任意の無限基数 $\kappa$ について $|\kappa+1|=\kappa$ である。従って $\kappa+1<\kappa^+$ であり、無限後続基数 $\kappa^+$ は順序数としては後続順序数ではない。
$\kappa$ は $\omega$ を含む順序数である。$\kappa+1$ から $\kappa$ への写像 $f$ を、最後の元 $\kappa$ は $0$ に、自然数 $n<\omega$ は $n+1$ に、$\omega\leq\xi<\kappa$ は $\xi$ に送ることで定める。像は $0$、正の自然数、$\omega$ 以上の元に分かれ、重複せず $\kappa$ を尽くす。よって $f$ は全単射で、$|\kappa+1|=\kappa$ である。
$\kappa^+$ は $\kappa$ より大きい濃度を持つので、$\kappa+1$ と等しくない。$\kappa+1$ は $\kappa^+$ より小さい順序数である。さらに無限基数 $\lambda$ が順序数の後続 $\gamma+1$ だったとすると、$\gamma$ は無限順序数であり、同じずらし方で $|\gamma+1|=|\gamma|$ となる。これは $\lambda$ が始順序数であることに反する。ゆえに無限基数は順序数として極限順序数である。
たとえば $\omega+1,\omega+2,\omega\cdot2$ は、いずれも可算順序数である。その間には順序数の違いがあるが、濃度はすべて $\aleph_0$ である。最小の非可算順序数 $\omega_1$ は $\aleph_1$ と同じ順序数であり、$\omega_1=\aleph_0^+$ となる。したがって $\aleph_0$ と $\aleph_1$ の間には多くの順序数がある一方、基数はない。
アレフ列と極限基数
無限基数を小さい順に並べたアレフ列では、任意の順序数 $\alpha$ について
$$
\aleph_{\alpha+1}=(\aleph_\alpha)^+
$$
と定める。添字が極限順序数 $\delta$ なら、$\aleph_\delta=\sup_{\alpha<\delta}\aleph_\alpha$ と定める（Jec03 Chapter 3）。この二つの式は、後続段階と極限段階を区別している。
たとえば $\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3$ は後続基数である。さらに $\aleph_{\omega+1}$ は $\aleph_\omega$ の後続基数であり、添字に $\omega$ が現れても後続基数である。これに対して $\aleph_\omega=\sup_{n<\omega}\aleph_n$ は極限基数であり、どの基数 $\kappa$ に対しても $\kappa^+$ とはならない。有限の添字だけを眺めて「すべての無限基数は後続基数」と推測するのは誤りである。
$\delta$ が非零の極限順序数なら、$\aleph_\delta$ は後続基数ではない。一方、$\alpha$ がどの順序数であっても $\aleph_{\alpha+1}$ は後続基数である。
後半はアレフ列の定義そのものである。前半について、$\aleph_\delta=\kappa^+$ と仮定する。$\aleph_\delta$ より小さい基数 $\kappa$ は、$\aleph_\delta=\sup_{\alpha<\delta}\aleph_\alpha$ という定義から、ある $\alpha<\delta$ について $\kappa<\aleph_\alpha$ を満たす。$\delta$ が極限順序数なので $\alpha+1<\delta$ であり、$\aleph_\alpha<\aleph_{\alpha+1}<\aleph_\delta$ となる。従って $\kappa$ と $\kappa^+$ の間に基数 $\aleph_\alpha$ または $\aleph_{\alpha+1}$ が入り、$\kappa^+$ の最小性に矛盾する。
実際には、上の議論では $\aleph_\alpha$ が $\kappa$ より大きいように取っているので、ただちに $\kappa<\aleph_\alpha<\aleph_\delta=\kappa^+$ が矛盾を与える。極限段階には、それより小さい基数がいくらでも近づく。これが「直前の基数を持たない」という性質である。
冪集合の濃度との比較
基数 $\kappa$ の冪集合の濃度を $2^\kappa$ と書く。Cantor の定理は $\kappa<2^\kappa$ を与える。ZFC では $2^\kappa$ も基数として表せるので、$\kappa^+$ の最小性から次が従う。
ZFC のもとで、任意の基数 $\kappa$ について $\kappa^+\leq2^\kappa$ である。等号 $2^\kappa=\kappa^+$ は定義からは従わず、追加の仮定である。
写像 $x\mapsto\{x\}$ は $\kappa$ から $\mathcal P(\kappa)$ への単射なので $\kappa\leq2^\kappa$ である。一方、どの写像 $f:\kappa\to\mathcal P(\kappa)$ に対しても $D=\{x<\kappa:x\notin f(x)\}$ は $f$ の値になれない。もし $D=f(d)$ なら $d\in D$ と $d\notin D$ が同値になり矛盾する。従って全射はなく、Cantor の定理により $\kappa<2^\kappa$ である。$\kappa^+$ は $\kappa$ より大きい基数の最小元だから、$\kappa^+\leq2^\kappa$ となる。
$\kappa=\aleph_0$ の場合、$2^{\aleph_0}=\aleph_1$ という主張が連続体仮説である。一般の無限基数について $2^\kappa=\kappa^+$ とするのは一般連続体仮説の一部である。どちらも、後続基数の定義ではない。$2^\kappa$ は冪集合によって作る濃度で、$\kappa^+$ は基数の順序で一つ上の濃度である。Cantor の定理から両者の大小の一方向だけが従う。
選択公理を外す場合は注意が要る。冪集合 $\mathcal P(\kappa)$ が整列可能とは限らないので、$2^\kappa$ を始順序数として扱う上の比較には ZFC を仮定した。対角線論法そのものは選択公理を使わない。
共終数と正則性
無限基数 $\lambda$ の共終数 $\operatorname{cf}(\lambda)$ は、$\lambda$ に共終な増加列を作るのに必要な最小の長さである。$\operatorname{cf}(\lambda)=\lambda$ なら $\lambda$ を正則基数という。ZFC では、どの無限後続基数も正則である（Jec03 Chapter 5）。この事実が、位相空間論や強制法で $\kappa^+$ を使う理由の一つになる。
選択公理を仮定する。無限基数 $\kappa$ に対し、$\operatorname{cf}(\kappa^+)=\kappa^+$ である。
$\operatorname{cf}(\kappa^+)=\mu<\kappa^+$ と仮定する。共終数 $\mu$ は基数なので、$\kappa^+$ の最小性から $\mu\leq\kappa$ である。長さ $\mu$ の共終列 $\langle\alpha_i:i<\mu\rangle$ を取る。$\kappa^+$ は無限基数ゆえ順序数として極限であり、$\kappa^+=\bigcup_{i<\mu}\alpha_i$ となる。
各 $\alpha_i<\kappa^+$ の濃度は高々 $\kappa$ である。選択公理により、各 $\alpha_i$ から $\kappa$ への単射を同時に選べる。和集合の各元を、最初に入った $\alpha_i$ とその単射による像の組に送れば、$\kappa^+$ から $\mu\times\kappa$ への単射ができる。しかし無限基数の積について $\mu\cdot\kappa=\kappa$ である。従って $\kappa^+\leq\kappa$ となり矛盾する。
上の証明は共終数の記事の保存される量と同じ結果を、後続基数の最小性から直接導いている。直感的には、$\kappa^+$ 個の元を $\kappa$ 個以下の段階で、各段階に $\kappa$ 個以下ずつ集めても、$\kappa^+$ 全体には届かない。この結論には選択公理を明記する。ZF だけで同じ形の正則性を無条件に主張してはならない。
正則基数がすべて後続基数というわけでもない。$\aleph_0$ は正則だが無限基数の後続ではない。また、非可算で正則な極限基数の存在を仮定する大きな基数の議論もある。したがって「後続なら正則」と「正則なら後続」は異なる。
強極限基数と巨大基数
無限基数 $\lambda$ が強極限であるとは、すべての $\mu<\lambda$ について $2^\mu<\lambda$ となることをいう。後続基数は強極限になれない。この簡単な観察が、到達不能基数などの定義で「極限基数」が現れる理由を説明する（Jec03 Chapter 5）。
ZFC のもとで、無限基数 $\kappa$ の後続基数 $\kappa^+$ は強極限基数ではない。
強極限性を $\lambda=\kappa^+$ に適用するなら、$\kappa<\lambda$ であるため $2^\kappa<\lambda$ が必要になる。しかし Cantor の定理から得た $\kappa^+\leq2^\kappa$ は、その不等式と両立しない。よって $\kappa^+$ は強極限ではない。
非可算で正則かつ強極限な基数を到達不能基数と呼ぶ。このような基数があれば後続基数ではなく、極限基数である。逆に、極限基数であるだけでは到達不能とはいえない。たとえば $\aleph_\omega$ は極限基数だが、$\operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\omega$ なので正則でない。巨大基数の条件は、後続・極限という位置の区別に加えて共終数や冪集合の大きさを指定する。
強制拡大での後続基数
後続基数は「どの集合が存在するか」に依存する。強制法による拡大では順序数そのものは保たれるが、新しい写像が現れて以前は異なる濃度だった集合が同じ濃度になることがある。その場合、基礎モデルで $\kappa^+$ だった順序数は、拡大後には後続基数でなくなることがある。ここでの $+$ は常に、その時点のモデルの基数の順序を基準に読む。
具体例として、$M$ を集合論の推移的な基礎モデルとし、$M$ の $\omega_1$ を $\omega_1^M$ と書く。$\omega_1^M$ の元を値に取る有限列を条件とし、列を延長するほど強いとする強制概念を考える。この強制概念のジェネリックフィルターを $G$ とし、その列の和を $f$ とする（Jec03 Chapter 14, Example 14.3）。
上の強制拡大 $M[G]$ では、$f:\omega\to\omega_1^M$ は全射になる。従って $M$ での後続基数 $\omega_1^M=(\aleph_0^M)^+$ は、$M[G]$ では可算な順序数である。
各 $n<\omega$ に対し、長さが $n$ より大きい有限列の集合は稠密である。任意の条件は値を追加して延長できるからである。$G$ はこの集合と交わるので、$f$ はすべての $n$ で値を持つ。従って定義域は $\omega$ である。
各 $\alpha<\omega_1^M$ に対し、$\alpha$ を値に含む有限列の集合も $M$ に属する稠密集合である。任意の条件の末尾に $\alpha$ を追加できる。$G$ はこれとも交わるので、$\alpha$ は $f$ の値として現れる。ゆえに $f$ は $\omega_1^M$ への全射であり、拡大後には $\omega_1^M$ が可算になる。
この例では元の順序数 $\omega_1^M$ が消えるのではない。新しい全射のために、その順序数の基数としての地位が変わる。これに対し、可算鎖条件を満たす強制は基数と共終数を保つので、基礎モデルの後続基数の関係も保つ。保存か崩壊かを論じるとき、順序数とその濃度を分けて書くことが肝要である。
反例の表
本文の定理の仮定を外した例と、「後続」「正則」「極限」の間の含意が成り立たない例をまとめる。どれも ZFC で確かめられる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\kappa$ が無限（thm-successor-cardinal-ordinal） | $\kappa=n$（有限） | $\lvert\kappa+1\rvert=\kappa$、$\kappa+1<\kappa^+$ |
| $\kappa$ が無限（thm-successor-cardinal-regular） | $\kappa=1$、$\kappa^+=2$ | $\operatorname{cf}(\kappa^+)=\kappa^+$ |
| 後続基数であること（thm-successor-cardinal-regular） | $\aleph_\omega$ | 正則であること |
| 正則から後続へ（逆向き） | $\aleph_0$ | 正則なら後続基数であること |
| 基礎モデルを固定すること | $\omega_1^M$ と thm-successor-cardinal-collapse の拡大 | 後続基数が拡大でも後続基数であること |
有限基数 $n$ について $n+1$ は $n$ 個より一つ多い元をもつ集合で、鳩の巣原理により $n+1$ から $n$ への単射はない。したがって $\lvert n+1\rvert=n+1\ne n$ であり、$n^+=n+1$ となる。thm-successor-cardinal-ordinal の結論 $\lvert\kappa+1\rvert=\kappa$ と $\kappa+1<\kappa^+$ はどちらも成り立たない。破るのは「$\kappa$ が無限」という仮定であり、証明で使った「自然数を一つずつずらして一点を吸収する」写像が有限集合では作れない。
同じく $\kappa=1$ なら $\kappa^+=2=\{0,1\}$ は後続順序数で、共終数を順序数一般に広げる通常の約束（共終な部分集合の最小の順序型）では、一元の列 $\langle1\rangle$ が共終なので $\operatorname{cf}(2)=1\ne2$ である。thm-successor-cardinal-regular の証明で使った「$\kappa^+$ は順序数として極限」と「$\mu\cdot\kappa=\kappa$」がどちらも有限では成り立たない。
$\aleph_\omega=\sup_{n<\omega}\aleph_n$ なので、列 $\langle\aleph_n:n<\omega\rangle$ は $\aleph_\omega$ に共終であり、$\operatorname{cf}(\aleph_\omega)\le\omega<\aleph_\omega$ である。thm-successor-cardinal-limit により $\aleph_\omega$ は後続基数でない。後続基数であるという仮定を外すと正則性は保証されない。一方 $\aleph_0$ は正則（有限個の自然数の上限は有限）だが後続基数ではないので、正則性から後続性も出ない。
最後の行は thm-successor-cardinal-collapse で示した。基礎モデルで $\omega_1^M=(\aleph_0^M)^+$ だった順序数は拡大で可算になり、もはや基数でない。
選択公理を外した場合（thm-successor-cardinal-regular の仮定）の例はこの記事では扱わない。
よくある混同
- $\kappa^+$ は $\kappa$ の次の基数であり、$\kappa+1$ は次の順序数である。無限 $\kappa$ では両者の濃度からして異なる。
- $\kappa^+$ は $\kappa$ より大きい基数の最小元だが、$\kappa$ と $\kappa^+$ の間に順序数が存在しないという意味ではない。
- $\kappa^+\leq2^\kappa$ は ZFC の定理である。等号は連続体仮説型の別の主張である。
- 後続基数は ZFC で正則だが、正則基数が必ず後続基数とは限らない。後続基数は強極限基数ではない。
- 強制拡大では「基礎モデルの $\kappa^+$」と「拡大後に計算した $\kappa^+$」を区別する。基数を崩す強制では一致しないことがある。
関連項目
参考文献
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