Kähler形式

同義語：ケーラー形式Kähler formKähler計量Kähler metricKählerポテンシャルKähler potentialKähler類

概要

前提知識: エルミート計量, 概複素構造, Kähler多様体, 微分形式, Dolbeaultコホモロジー

Kähler形式（Kähler form）とは、複素多様体 $X$ の上の実 2 次微分形式 $\omega$ で、型 $(1,1)$ であり、各点で正（Hermite 計量の基本形式になる）であり、しかも閉じている（$d\omega=0$）ものである。正則局所座標では
$$ \omega=\frac i2\sum_{j,k}h_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k,\qquad (h_{j\bar k})\ \text{は各点で正定値 Hermite 行列},\qquad d\omega=0 $$
と書ける。Kähler 形式を 1 つ与えることは、Kähler 計量（基本形式が閉じるエルミート計量）を 1 つ与えることと同じであり、Kähler 形式をもつ複素多様体が Kähler多様体である。
Kähler 多様体そのもの（定義、複素曲線・複素トーラス・射影空間などの例、積と複素部分多様体への遺伝、Kähler でない Hopf 曲面）は Kähler多様体の記事で扱う。この記事は形式 $\omega$ の側に立ち、「閉じている」という 1 つの条件がどれだけ強いかを、次の定理で示す。

実 2 次形式が型 $(1,1)$ であることは $J$ 不変性と同値で、正の実 $(1,1)$ 形式は Hermite 計量の基本形式と一対一に対応する。
Kähler 条件の同値な言い換え：$d\omega=0$、係数の対称性 $\partial h_{j\bar k}/\partial z_l=\partial h_{l\bar k}/\partial z_j$、各点で 2 次の誤差を除いて標準的な計量に一致する正則座標の存在、Levi-Civita 接続について $\nabla J=0$。
閉じた実 $(1,1)$ 形式は局所的に $\frac i2\partial\bar\partial\psi$（$\psi$ は実関数）と書ける（局所 Kähler ポテンシャル）。
Kähler 多様体のコンパクトな複素部分多様体は正の体積をもち、Kähler 形式の冪はその上で完全形式にならない。とくに $\mathbb C^n$ は正の次元のコンパクトな複素部分多様体をもたない。
以下、微分形式の値は微分形式の A 方式で計り、エルミート計量と同じ規格化 $\omega(u,v)=g(Ju,v)=-\operatorname{Im}h(u,v)$ を使う。

定義

型 $(1,1)$ の実形式

$(V,J)$ を複素構造をもつ実ベクトル空間とし、概複素構造の命題「型の分解」の記号を使う。2 次形式 $\alpha$ に対し $(J^*\alpha)(u,v):=\alpha(Ju,Jv)$ とおく。

型 $(1,1)$ と $J$ 不変性

$V^*_{\mathbb C}$ に値をもつ 2 次形式 $\alpha$ について、$\alpha$ が型 $(1,1)$ であることと $J^*\alpha=\alpha$ は同値である。とくに実 2 次形式 $\omega$ が型 $(1,1)$ であることは、$\omega(Ju,Jv)=\omega(u,v)$ がすべての $u,v$ で成り立つことと同値である。

$(1,0)$ 形式 $\zeta$ は $\zeta\circ J=i\zeta$、$(0,1)$ 形式 $\bar\zeta$ は $\bar\zeta\circ J=-i\bar\zeta$ を満たす。よって $J^*(\zeta\wedge\zeta')=(\zeta\circ J)\wedge(\zeta'\circ J)=i^2\,\zeta\wedge\zeta'$ などから、$J^*$ は $\Lambda^{2,0}$ の上で $-1$、$\Lambda^{1,1}$ の上で $i\cdot(-i)=1$、$\Lambda^{0,2}$ の上で $(-i)^2=-1$ 倍として働く。$\alpha=\alpha^{2,0}+\alpha^{1,1}+\alpha^{0,2}$ と分けると $J^*\alpha=-\alpha^{2,0}+\alpha^{1,1}-\alpha^{0,2}$ なので、$J^*\alpha=\alpha$ は $\alpha^{2,0}+\alpha^{0,2}=0$、すなわち（直和なので）$\alpha^{2,0}=\alpha^{0,2}=0$ と同値である。$\square$

正の $(1,1)$ 形式と Kähler 形式

実 $(1,1)$ 形式 $\omega$（$V$ 上）が正であるとは、$u\neq0$ ならば $\omega(u,Ju)>0$ となることをいう。
複素多様体 $X$ 上の滑らかな実 2 次形式 $\omega$ が Kähler 形式であるとは、各点で型 $(1,1)$ かつ正であり、$d\omega=0$ を満たすことをいう。Kähler 形式の定める de Rham コホモロジー類 $[\omega]\in H^2_{\mathrm{dR}}(X;\mathbb R)$ を Kähler 類という。

prop-kf-type-invariance とエルミート計量の定理「3 つの構造の対応」の (c) により、正の実 $(1,1)$ 形式は、$J$ 不変で正の 2 次形式と同じものであり、Hermite 内積 $h$ の基本形式 $-\operatorname{Im}h$ とちょうど一対一に対応する。座標で書けば、実 2 次形式 $\omega$ が正の $(1,1)$ 形式であることは
$$ \omega=\frac i2\sum_{j,k}h_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k,\qquad (h_{j\bar k})\ \text{が正定値 Hermite 行列} $$
と書けることと同じである。したがって Kähler 形式は「Kähler 計量の基本形式」と同じものであり、Kähler多様体の定義「Kähler計量とKähler多様体」とこの記事の定義は一致する（Dem12 Ch. VI (4.1)、p. 296。Wel08 Ch. V Definition 4.1、p. 188。CdS06 §16.1、pp. 90–92 は同じ対象を「$J$ と両立するシンプレクティック形式」として導入する）。
型 $(1,1)$ という条件は、非退化な閉 2 次形式（シンプレクティック形式）であることより強い。$\mathbb C^2$ の $\operatorname{Re}(dz_1\wedge dz_2)=dx_1\wedge dx_2-dy_1\wedge dy_2$ は閉じた非退化な形式だが、型 $(2,0)+(0,2)$ で、Kähler 形式ではない（下の「反例と注意」の表）。

例

$\partial\bar\partial$ で作る Kähler 形式

$U\subset\mathbb C^n$ を開集合、$\psi\colon U\to\mathbb R$ を $C^\infty$ 級とし、$\omega:=\frac i2\partial\bar\partial\psi$ とおく。$\bar\partial\psi=\sum_k(\partial\psi/\partial\bar z_k)\,d\bar z_k$ に $\partial$ を当てると
$$ \omega=\frac i2\sum_{j,k}\frac{\partial^2\psi}{\partial z_j\partial\bar z_k}\,dz_j\wedge d\bar z_k $$
である。$\omega$ は実形式（$\bar\omega=-\frac i2\bar\partial\partial\psi=\frac i2\partial\bar\partial\psi$）で型 $(1,1)$、$d\omega=\frac i2(\partial+\bar\partial)\partial\bar\partial\psi=\frac i2(\partial^2\bar\partial\psi-\partial\bar\partial^2\psi)=0$ で閉じている（$\bar\partial\partial=-\partial\bar\partial$ を使った）。したがって、複素 Hessian（Levi 形式）$\bigl(\partial^2\psi/\partial z_j\partial\bar z_k\bigr)$ が各点で正定値なら $\omega$ は Kähler 形式である。そのような $\psi$ を強多重劣調和関数という（多重劣調和関数の定義「Levi 形式」と定理「$C^2$ 級の関数の多重劣調和性の判定」。CdS06 Proposition 16.4、pp. 92–93。Dem12 Ch. VIII §11、p. 400）。

$\psi=|z|^2=\sum_j|z_j|^2$ なら $\partial^2\psi/\partial z_j\partial\bar z_k=\delta_{jk}$ で、$\omega=\frac i2\sum_jdz_j\wedge d\bar z_j=\sum_jdx_j\wedge dy_j$ は標準的な Kähler 形式 $\omega_0$ である。
単位球 $B=\{|z|<1\}$ の上の $\psi=-\log(1-|z|^2)$ では
$$ \frac{\partial^2\psi}{\partial z_j\partial\bar z_k}=\frac{\delta_{jk}}{1-|z|^2}+\frac{\bar z_jz_k}{(1-|z|^2)^2},\qquad \sum_{j,k}\frac{\partial^2\psi}{\partial z_j\partial\bar z_k}v_j\bar v_k=\frac{|v|^2}{1-|z|^2}+\frac{\bigl|\sum_j\bar z_jv_j\bigr|^2}{(1-|z|^2)^2}>0 $$
（$v\neq0$）なので、$\omega=\frac i2\partial\bar\partial\psi$ は $B$ 上の Kähler 形式である（多重劣調和関数の例「単位球の $-\log(1-|z|^2)$」）。$n=1$ では $\omega=dx\wedge dy/(1-|z|^2)^2$ で、双曲計量の円板モデルの面積要素の定数倍である。
$\psi=\log(1+|z|^2)$ は射影空間の Fubini–Study 形式の局所ポテンシャルである（Kähler多様体の節「射影空間とFubini–Study形式」）。

Kähler 条件の言い換え

以下、$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体、$h$ をそのエルミート計量、$g=\operatorname{Re}h$ を対応する Riemann 計量、$\omega$ を基本形式、$\nabla$ を $g$ の Levi-Civita 接続（リーマン接続）とする。正則局所座標では $h=\sum h_{j\bar k}dz_j\otimes d\bar z_k$、$\omega=\frac i2\sum h_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ と書く。$(\nabla_XJ)Y:=\nabla_X(JY)-J\nabla_XY$ である。

$\nabla\omega$ と $\nabla J$、$d\omega$ と $\nabla\omega$

すべての $X,Y,Z$ について $(\nabla_X\omega)(Y,Z)=g\bigl((\nabla_XJ)Y,Z\bigr)$。とくに $\nabla\omega=0$ と $\nabla J=0$ は同値である。
捩れのない接続 $\nabla$ と任意の 2 次形式 $\omega$ について
$$ d\omega(X,Y,Z)=(\nabla_X\omega)(Y,Z)+(\nabla_Y\omega)(Z,X)+(\nabla_Z\omega)(X,Y). $$

要点：1 は $\omega(Y,Z)=g(JY,Z)$ を共変微分し、計量条件 $\nabla g=0$ を使う計算である。2 は、接続係数が 1 点で消える座標で両辺を比べる。

詳しい証明を開く

1：テンソルの共変微分の定義により $(\nabla_X\omega)(Y,Z)=X\bigl(\omega(Y,Z)\bigr)-\omega(\nabla_XY,Z)-\omega(Y,\nabla_XZ)$ である。$\omega(Y,Z)=g(JY,Z)$ と計量条件 $X\,g(JY,Z)=g(\nabla_X(JY),Z)+g(JY,\nabla_XZ)$ を代入すると $$(\nabla_X\omega)(Y,Z)=g(\nabla_X(JY),Z)+g(JY,\nabla_XZ)-g(J\nabla_XY,Z)-g(JY,\nabla_XZ)=g\bigl((\nabla_XJ)Y,Z\bigr)$$ である。$g$ は非退化なので後半が従う。

2：両辺は $X,Y,Z$ について関数線形なテンソルなので、各点 $p$ で 1 組の座標ベクトル場について確かめればよい。$\nabla$ は捩れがないので、$p$ で接続係数がすべて消える局所座標 $(x^i)$ がある（リーマン接続の命題「接続係数が消える座標」）。$\omega_{jk}:=\omega(\partial_j,\partial_k)$ とおくと、$p$ で $(\nabla_{\partial_i}\omega)(\partial_j,\partial_k)=\partial_i\omega_{jk}$ である。一方微分形式の命題「外微分の局所座標表示」により $d\omega(\partial_i,\partial_j,\partial_k)=\partial_i\omega_{jk}-\partial_j\omega_{ik}+\partial_k\omega_{ij}=\partial_i\omega_{jk}+\partial_j\omega_{ki}+\partial_k\omega_{ij}$ である。よって $p$ で両辺は一致する。$\square$

Kähler 条件の同値な言い換え

次は同値である。

$d\omega=0$（$\omega$ は Kähler 形式）。
すべての正則局所座標で、すべての $j,k,l$ について $\dfrac{\partial h_{j\bar k}}{\partial z_l}=\dfrac{\partial h_{l\bar k}}{\partial z_j}$。
各点 $p$ に対し、$p$ を中心とする正則局所座標 $(z_1,\dots,z_n)$ で、$h_{j\bar k}(z)=\delta_{jk}+O(|z|^2)$ となるものがある。
$\nabla J=0$。
$\nabla\omega=0$。

条件 3 は「各点で、$h$ が 2 次の誤差を除いて平坦な計量 $\sum dz_j\otimes d\bar z_j$ に一致する」ことを述べる。一般の Hermite 計量でも $h_{j\bar k}(p)=\delta_{jk}$ までは線形な座標変換で達成できるので、Kähler 条件はちょうど「1 次の項を正則な座標変換で消せる」ことである（Dem12 Ch. VI Theorem (4.8)、p. 298）。条件 4 は、平行移動が $J$ と可換であること、すなわち複素構造が計量の意味で「一定」であることを述べる。

1 ⇔ 2。$\omega$ は実形式なので $d\omega=\partial\omega+\bar\partial\omega$ で $\bar\partial\omega=\overline{\partial\omega}$ であり（Dolbeaultコホモロジーの定義「型 $(p,q)$ の微分形式と $\bar\partial$ 作用素」）、型 $(2,1)$ と $(1,2)$ の成分は独立なので、$d\omega=0$ は $\partial\omega=0$ と同値である。座標で
$$ \partial\omega=\frac i2\sum_{j,k,l}\frac{\partial h_{j\bar k}}{\partial z_l}\,dz_l\wedge dz_j\wedge d\bar z_k=\frac i2\sum_k\sum_{l< j}\Bigl(\frac{\partial h_{j\bar k}}{\partial z_l}-\frac{\partial h_{l\bar k}}{\partial z_j}\Bigr)dz_l\wedge dz_j\wedge d\bar z_k $$
であり、$dz_l\wedge dz_j\wedge d\bar z_k$（$l< j$）は 1 次独立なので、$\partial\omega=0$ は 2 と同値である。
2 ⇒ 3。$p$ を中心とする正則座標 $z$ をとる。$T^{1,0}_pX$ の $h$ に関するユニタリ基底（Gram–Schmidt の直交化で得られる）を $\partial/\partial z_j$ の 1 次結合で表し、それが新しい座標の $\partial/\partial z'_j$ になるように複素線形な座標変換をすれば、$h_{j\bar k}(0)=\delta_{jk}$ としてよい。Taylor 展開
$$ h_{j\bar k}(z)=\delta_{jk}+\sum_l\bigl(a_{lj\bar k}z_l+b_{lj\bar k}\bar z_l\bigr)+O(|z|^2),\qquad a_{lj\bar k}=\frac{\partial h_{j\bar k}}{\partial z_l}(0),\quad b_{lj\bar k}=\frac{\partial h_{j\bar k}}{\partial\bar z_l}(0) $$
において、Hermite 対称性 $h_{k\bar j}=\overline{h_{j\bar k}}$ から $b_{lj\bar k}=\overline{a_{lk\bar j}}$、条件 2 から $a_{lj\bar k}=a_{jl\bar k}$ である。新しい関数
$$ w_k:=z_k+\frac12\sum_{j,l}a_{lj\bar k}\,z_jz_l\qquad(k=1,\dots,n) $$
は正則で、$p$ での Jacobi 行列が単位行列なので、正則な逆写像定理により $p$ の近くの正則座標である。$a_{lj\bar k}$ の $j,l$ についての対称性から $dw_k=dz_k+\sum_{j,l}a_{lj\bar k}z_l\,dz_j$ であり、
$$ \frac i2\sum_kdw_k\wedge d\bar w_k=\frac i2\sum_{j,k}\Bigl(\delta_{jk}+\sum_l\bigl(a_{lj\bar k}z_l+b_{lj\bar k}\bar z_l\bigr)\Bigr)dz_j\wedge d\bar z_k+O(|z|^2)=\omega+O(|z|^2) $$
となる。

詳細

$dw_k\wedge d\bar w_k=dz_k\wedge d\bar z_k+\sum_{j,l}a_{lj\bar k}z_l\,dz_j\wedge d\bar z_k+\sum_{j,l}\overline{a_{lj\bar k}}\,\bar z_l\,dz_k\wedge d\bar z_j+O(|z|^2)$ である。$k$ について和をとり、第 3 項で添字 $j,k$ を入れ替えると係数は $\overline{a_{lk\bar j}}\,\bar z_l=b_{lj\bar k}\bar z_l$ になる。

ここで $O(|z|^2)$ は $dz_j\wedge d\bar z_k$ の係数が $O(|z|^2)$ であることを表す。$z$ は $w$ の正則関数で $z=w+O(|w|^2)$、$dz_j=\sum_m(\partial z_j/\partial w_m)dw_m$ の係数は有界なので、$w$ 座標に書き直しても誤差の係数は $O(|w|^2)$ である。よって $w$ 座標で $h_{j\bar k}=\delta_{jk}+O(|w|^2)$ となる。
3 ⇒ 1。$p$ で 3 の座標をとると、$h_{j\bar k}$ の 1 階偏導関数は $p$ ですべて $0$ なので、1 ⇔ 2 の計算式により $(\partial\omega)(p)=0$、したがって $(d\omega)(p)=0$ である。$p$ は任意である。
3 ⇒ 4。$p$ で 3 の座標をとり、実座標 $(x_1,y_1,\dots,x_n,y_n)$ に移る。$g(u,v)=\operatorname{Re}\sum h_{j\bar k}dz_j(u)\overline{dz_k(v)}$ なので、$g$ の成分は $h_{j\bar k}$ の実部・虚部の定数係数の 1 次結合であり、$g_{ab}=\delta_{ab}+O(|x|^2)$ である。Christoffel 記号の公式（リーマン接続の命題「Christoffel 記号の公式」）は $g$ の 1 階偏導関数の 1 次式なので、$\Gamma^c_{ab}(p)=0$ である。一方、正則座標の実座標では $J$ の成分は定数（$J\partial_{x_j}=\partial_{y_j}$、$J\partial_{y_j}=-\partial_{x_j}$）である。$(\nabla_aJ)$ の成分は $\partial_aJ^c_b+\Gamma^c_{ae}J^e_b-\Gamma^e_{ab}J^c_e$ なので、$p$ で $0$ である。$p$ は任意なので $\nabla J=0$ である。
4 ⇔ 5 は lem-kf-nabla の 1、5 ⇒ 1 は同補題の 2（Levi-Civita 接続は捩れがない）による。
以上で 1 ⇔ 2 ⇒ 3 ⇒ 1、3 ⇒ 4 ⇔ 5 ⇒ 1 が示され、5 つの条件は同値である。$\square$

1 ⇔ 2 は Dem12 Ch. VI (4.1) の後（p. 296）、1 ⇔ 3 は同 Theorem (4.8)（p. 298）にある。Dem12 は 3 の座標をさらに 3 次まで調整し、2 次の項が Chern 接続の曲率で表されることも示している。4 との同値の証明は、この記事では 3 から導いた。
概複素構造の定理「$J$ を平行にする捩れのない接続」により、$\nabla J=0$ となる捩れのない接続があれば $J$ は可積分である。したがって、可積分でない概複素構造 $J$ に $J$ 不変な計量 $g$ を与え、基本形式 $\omega$ が閉じていても（例えばシンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ に、$\omega$ と両立する概複素構造 $J$ と $g(u,v)=\omega(u,Jv)$ を合わせた組。CdS06 §13.2、p. 75）、$J$ が可積分でなければ Levi-Civita 接続について $\nabla J\neq0$ である。定理の 4 が 1 と同値になるのは、$J$ が可積分であることを前提にしているからである。

局所 Kähler ポテンシャル

ex-kf-potential は $\frac i2\partial\bar\partial\psi$ が閉じた実 $(1,1)$ 形式であることを示した。逆に、閉じた実 $(1,1)$ 形式は局所的にすべてこの形である。

局所 $\partial\bar\partial$ ポテンシャルの存在

$\omega$ を複素多様体 $X$ 上の閉じた実 $(1,1)$ 形式とする。各点 $p\in X$ に対し、$p$ の開近傍 $U$ と実数値の $C^\infty$ 級関数 $\psi\colon U\to\mathbb R$ で
$$ \omega=\frac i2\,\partial\bar\partial\psi\qquad(U\text{ 上}) $$
となるものがある。$\omega$ が Kähler 形式なら $\psi$ は強多重劣調和であり、$\psi$ を局所 Kähler ポテンシャルという。

$p$ の近くの正則座標で、$p$ を中心とする多重円板 $\Delta$ をとり、$\Delta$ 上で考える。$\Delta$ は凸なので、Poincaré の補題（微分形式の定理「Poincaré の補題」）により実 1 次形式 $\eta$ で $\omega=d\eta$ となるものがある。$\eta=\eta^{1,0}+\eta^{0,1}$ と型に分けると、$\eta$ は実なので $\eta^{1,0}=\overline{\eta^{0,1}}$ である。$d\eta$ の型 $(0,2)$ の成分は $\bar\partial\eta^{0,1}$ で、$\omega$ は型 $(1,1)$ なので $\bar\partial\eta^{0,1}=0$ である。$\bar\partial$ Poincaré の補題（Dolbeaultコホモロジーの定理「$\bar\partial$ Poincaré の補題」、$(p,q)=(0,1)$）により、$\Delta$ 上の複素数値関数 $f$ で $\eta^{0,1}=\bar\partial f$ となるものがある。共役をとって $\eta^{1,0}=\overline{\bar\partial f}=\partial\bar f$ である。したがって $\partial^2=\bar\partial^2=0$、$\bar\partial\partial=-\partial\bar\partial$ を使うと
$$ \omega=d\eta=(\partial+\bar\partial)(\partial\bar f+\bar\partial f)=\bar\partial\partial\bar f+\partial\bar\partial f=\partial\bar\partial(f-\bar f)=2i\,\partial\bar\partial(\operatorname{Im}f) $$
である。$\psi:=4\operatorname{Im}f$ とおくと $\frac i2\partial\bar\partial\psi=2i\,\partial\bar\partial(\operatorname{Im}f)=\omega$ である。$\omega$ が正なら、ex-kf-potential の式で係数行列 $\bigl(\partial^2\psi/\partial z_j\partial\bar z_k\bigr)$ が正定値なので、$\psi$ は強多重劣調和である。$\square$

2 つの局所ポテンシャル $\psi,\psi'$ の差 $u=\psi-\psi'$ は $\partial\bar\partial u=0$ を満たす実関数（多重調和関数）である。例えば正則関数 $F$ の実部 $u=\operatorname{Re}F$ は $\bar\partial F=0$ から $\partial\bar\partial u=\frac12\partial\bar\partial(F+\bar F)=\frac12\bigl(\partial\bar\partial F-\bar\partial\partial\bar F\bigr)=0$ を満たす。Fubini–Study 形式の 2 つのチャートのポテンシャルの差 $\log|w_0/w_1|^2$ はこの形である（Kähler多様体の節「射影空間とFubini–Study形式」）。この定理は CdS06 Theorem 16.5（p. 94）にあり、同所は証明を文献に委ねている。
局所ポテンシャルは大域的な関数に貼り合うとは限らない。$X$ がコンパクトで正の次元なら、Kähler 形式は大域的なポテンシャルをもたない（Kähler多様体の節「射影空間とFubini–Study形式」の議論。次節の定理の特別な場合でもある）。

Kähler 類と複素部分多様体の体積

Kähler 形式は閉じているので de Rham コホモロジー類 $[\omega]$ を定める。$X$ の Kähler 類の全体を $\mathcal K(X)\subset H^2_{\mathrm{dR}}(X;\mathbb R)$ と書く。

Kähler 形式の凸錐

$\omega_1,\omega_2$ が $X$ の Kähler 形式で $a,b\ge0$、$a+b>0$ なら、$a\omega_1+b\omega_2$ も Kähler 形式である。したがって $\mathcal K(X)$ は凸錐（和と正の定数倍で閉じた集合）である。

$a\omega_1+b\omega_2$ は実で型 $(1,1)$ で閉じている。$u\neq0$ なら $a\,\omega_1(u,Ju)+b\,\omega_2(u,Ju)$ は非負の 2 項の和で、正の係数の項が正なので正である。コホモロジー類は $[a\omega_1+b\omega_2]=a[\omega_1]+b[\omega_2]$ である。$\square$

次の定理は、Kähler 形式の正値性と閉性が組み合わさって位相的な結論を生む典型である。

コンパクトな複素部分多様体の体積

$(X,\omega)$ を Kähler 多様体（コンパクトとは限らない）、$Z\subset X$ を複素次元 $k\ge1$ のコンパクトな複素部分多様体（境界なし）、$\iota\colon Z\hookrightarrow X$ を包含とする。$Z$ に $\iota^*g$ から定まる Riemann 計量と、複素構造の定める標準的な向きを与える。

$\displaystyle\int_Z\iota^*\omega^k=k!\,\operatorname{vol}(Z)>0$。
$\iota^*\omega^k$ は $Z$ 上の完全形式でない。とくに $H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X;\mathbb R)$ の中で $[\omega]^k\neq0$ であり、さらに $H^{2k}_{\mathrm{dR}}(Z;\mathbb R)$ の中で $\iota^*[\omega]^k\neq0$ である。
$\omega$ が $X$ 上の完全形式なら（例えば $X=\mathbb C^n$）、$X$ は正の次元のコンパクトな複素部分多様体をもたない。

1：$\iota$ は正則なので $d\iota\circ J_Z=J\circ d\iota$ である（複素多様体の命題「接空間の複素構造」の 2）。よって $\iota^*g$ は $J_Z$ 不変な Riemann 計量、すなわち $Z$ の Hermite 計量であり、その基本形式は $(\iota^*g)(J_Zu,v)=g(J\,d\iota(u),d\iota(v))=(\iota^*\omega)(u,v)$ より $\iota^*\omega$ である。エルミート計量の命題「体積形式」を $Z$ に当てると、$(\iota^*\omega)^k/k!$ は $Z$ の Riemann 体積形式である。$Z$ はコンパクトなので積分は有限で、正の体積形式の積分は正である。
2：$\iota^*\omega^k=d\beta$ と書けたとすると、境界のないコンパクト多様体 $Z$ 上で Stokes の定理（Stokesの定理）により $\int_Z\iota^*\omega^k=\int_Zd\beta=0$ となり、1 に反する。$d\omega=0$ より $\omega^k$ は閉形式で、$[\omega]^k=[\omega^k]$ である。もし $\omega^k=d\gamma$ なら $\iota^*\omega^k=d(\iota^*\gamma)$ となって矛盾するので $[\omega]^k\neq0$ である。$\iota^*[\omega]^k=[\iota^*\omega^k]\neq0$ も同じ理由による。
3：$\omega=d\eta$ なら $\omega^k=d(\eta\wedge\omega^{k-1})$（$d\omega=0$ による）は完全形式で、2 に反する。$\mathbb C^n$ では $\omega_0=\sum_jdx_j\wedge dy_j=d\bigl(\frac12\sum_j(x_j\,dy_j-y_j\,dx_j)\bigr)$ である。$\square$

$Z=X$（$X$ 自身がコンパクト）の場合の 2 は $[\omega]^n\neq0$ を与え、$[\omega]^n=[\omega]^k\cdot[\omega]^{n-k}$ なので $0\le k\le n$ で $[\omega]^k\neq0$、したがってコンパクト Kähler 多様体の偶数次の Betti 数 $b_{2k}$ が正であることを与える。これは Hodge分解の命題「Hodge 数の関係」の 4 と同じ内容で、同記事はそこから $h^{k,k}\ge1$ も導いている（Dem12 Ch. VI (4.3)、p. 297）。1 の等式は、向き付けられた実 $2k$ 次元部分多様体 $Y$ について $\iota_Y^*\omega^k/k!$ が体積形式の $\theta$ 倍（$|\theta|\le1$）であり、等号が複素部分多様体でちょうど成り立つ、という Wirtinger の不等式の等号の場合にあたる（Dem12 Ch. III (1.24)–(1.25)、pp. 136–137。同所の $\omega$ はこの記事の $2$ 倍の規格化である。この記事では不等式そのものは証明しない）。Dem12 Theorem (1.26)（p. 137）は、そこから「$\omega$ が完全なら、複素部分多様体は同じ境界をもつ実部分多様体の中で体積が最小である」ことを導いている。
3 の特別な場合として、$\mathbb C^n$ や単位球（ex-kf-potential の $\omega=\frac i2\partial\bar\partial\psi$ は大域的な $\psi$ をもつので $\omega=d\bigl(\frac i2\bar\partial\psi\bigr)$ は完全）には、正の次元のコンパクトな複素部分多様体がない。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
閉	Hopf 曲面の Hermite 計量の基本形式 $\omega_H$	2 次の誤差で平坦な座標（thm-kf-kahler-conditions の 3）、$\nabla J=0$、局所ポテンシャル
正値	$\mathbb{CP}^1\times\mathbb{CP}^1$ 上の $\mathrm{pr}_1^\omega_{\mathrm{FS}}-\mathrm{pr}_2^\omega_{\mathrm{FS}}$	コンパクトな複素部分多様体の上の積分が正
型 $(1,1)$	$\mathbb C^2$ 上の $\operatorname{Re}(dz_1\wedge dz_2)=dx_1\wedge dx_2-dy_1\wedge dy_2$	閉じた非退化 2 次形式が Hermite 計量の基本形式になる
非退化（正定値）	$\mathbb C^2$ 上の $\frac i2dz_1\wedge d\bar z_1$	$\omega^n/n!$ が体積形式
局所から大域へ	$\mathbb{CP}^n$ の Fubini–Study 形式	局所ポテンシャルが大域的な関数に貼り合う
$Z$ のコンパクト性	$\mathbb C\times\{0\}\subset\mathbb C^2$	$\omega$ が完全なら正の次元の複素部分多様体はない

1 行目：$\omega_H$ は正の実 $(1,1)$ 形式だが $d\omega_H\neq0$ である（エルミート計量の例「Hopf 曲面の Hermite 計量」）。thm-kf-kahler-conditions により 3・4 は成り立たず、$\frac i2\partial\bar\partial\psi$ はつねに閉じているので局所ポテンシャルもない。破る含意は「正の $(1,1)$ 形式ならば Kähler 形式」である。
2 行目：$\omega_{\mathrm{FS}}$ を $\mathbb{CP}^1$ の Fubini–Study 形式とすると、$\omega:=\mathrm{pr}_1^*\omega_{\mathrm{FS}}-\mathrm{pr}_2^*\omega_{\mathrm{FS}}$ は閉じた実 $(1,1)$ 形式で、各点で $\omega^2=-2\,\mathrm{pr}_1^*\omega_{\mathrm{FS}}\wedge\mathrm{pr}_2^*\omega_{\mathrm{FS}}\neq0$ なので非退化だが、2 番目の因子の方向 $u$ では $\omega(u,Ju)<0$ で正でない。$Z_1=\mathbb{CP}^1\times\{q\}$ では $\int_{Z_1}\omega=\int_{\mathbb{CP}^1}\omega_{\mathrm{FS}}=\pi>0$ だが（値は Kähler多様体の節「射影空間とFubini–Study形式」の計算による）、$Z_2=\{q\}\times\mathbb{CP}^1$ では $\int_{Z_2}\omega=-\pi<0$ で、thm-kf-submanifold-volume の 1 が破れる。
3 行目：$\omega=\operatorname{Re}(dz_1\wedge dz_2)$ は定数係数なので閉じ、$\omega^2=-2\,dx_1\wedge dx_2\wedge dy_1\wedge dy_2\neq0$ なので非退化である。しかし $dx_j\circ J=-dy_j$、$dy_j\circ J=dx_j$ から $\omega(Ju,Jv)=-\omega(u,v)$ で、prop-kf-type-invariance により型 $(1,1)$ でない。さらにこの式を $v=Ju$ に使うと $\omega(u,Ju)=0$ がすべての $u$ で成り立ち、正にもならない。破る含意は「シンプレクティック形式ならば（与えられた $J$ について）Kähler 形式」である。
4〜6 行目：$\frac i2dz_1\wedge d\bar z_1$ は $\omega^2=0$ で正定値でない閉じた実 $(1,1)$ 形式、$\omega_{\mathrm{FS}}$ は局所ポテンシャルが大域的に貼り合わない例、$\mathbb C\times\{0\}$ はコンパクトでない複素部分多様体の例である。

4〜6 行目の確認を開く

4 行目：$\frac i2dz_1\wedge d\bar z_1=dx_1\wedge dy_1=\frac i2\partial\bar\partial|z_1|^2$ は閉じた実 $(1,1)$ 形式で $\omega(u,Ju)\ge0$ だが、$u=\partial_{x_2}$ で $0$ になり、$\omega^2=0$ である。ポテンシャル $|z_1|^2$ の Levi 形式は半正定値だが正定値でない。破る含意は「閉じた半正の実 $(1,1)$ 形式ならば Kähler 形式」である。

5 行目：$\mathbb{CP}^n$（$n\ge1$）はコンパクトで、thm-kf-submanifold-volume の 2（$Z=X$）により $\omega_{\mathrm{FS}}$ は完全でない。大域的な $\psi$ で $\omega_{\mathrm{FS}}=\frac i2\partial\bar\partial\psi$ となれば $\omega_{\mathrm{FS}}=d\bigl(\frac i2\bar\partial\psi\bigr)$ が完全になるので、局所ポテンシャル（thm-kf-local-potential）は大域的に貼り合わない。破る含意は「局所的にポテンシャルをもてば大域的にももつ」である。

6 行目：$\mathbb C\times\{0\}$ は $\mathbb C^2$ の 1 次元の複素部分多様体で、$\omega_0$ は完全だが、コンパクトでないので $\int\omega_0$ は発散し、thm-kf-submanifold-volume の仮定を満たさない。破る含意は、コンパクト性を外した 3 の主張「$\omega$ が完全なら正の次元の複素部分多様体はない」である。

注意を 2 つ挙げる。

符号と定数の流儀。この記事は $\omega(u,v)=g(Ju,v)$ とし、標準的な $\mathbb C^n$ で $\omega_0=\sum dx_j\wedge dy_j$ となる。CdS06 §13.2（p. 75）の $g(u,v)=\omega(u,Jv)$ は同じ規格化である。$\omega(u,v)=g(u,Jv)$ とする流儀では $\omega$ の符号が逆になり、「正」の向きも逆になる（Kähler多様体の節「定義と符号の約束」）。また Dem12 Ch. III は $\omega=i\sum h_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ と $2$ 倍の規格化を使う箇所がある（エルミート計量の注意「規格化の流儀」）。
Kähler 形式と Kähler 計量。エルミート計量の定理「3 つの構造の対応」により、$J$ を固定すると Kähler 形式 $\omega$、Kähler 計量 $h$、$J$ 不変な Riemann 計量 $g$ のどれを与えても残りが決まる。$g(u,v)=\omega(u,Jv)$ なので、Kähler 形式は Riemann 幾何（$g$）、シンプレクティック幾何（閉じた非退化な $\omega$）、複素幾何（可積分な $J$）の 3 つが両立する場所であり、thm-kf-kahler-conditions の 4 はその両立を「$J$ と $\omega$ が Levi-Civita 接続で平行」と言い表したものである。