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$$
$\newcommand{\ele}[1]{#1}\newcommand{\rel}{\mathrel{R}}\newcommand{\set}[1]{#1}$
定義
半順序集合
集合$\set{X}$の上の関係$\rel$について、$\rel$が半順序であるとは次の三条件が成り立つことをいう。
(1) 反射律を満たす。すなわち、$\set{X}$の元$\ele{x}$について、$\ele{x}\rel\ele{x}$が成り立つ。
(2) 反対称律を満たす。すなわち、$\set{X}$の元$\ele{x}$、$\ele{y}$について、$\ele{x}\rel\ele{y}$が成り立つならば$\ele{y}\rel\ele{x}$が成り立つ。
(3) 推移律を満たす。すなわち、$\set{X}$の元$\ele{x}$、$\ele{y}$、$\ele{z}$について、$\ele{x}\rel\ele{y}$および$\ele{y}\rel\ele{z}$が成り立つならば$\ele{x}\rel\ele{z}$が成り立つ。
半順序$\rel$を備えた集合$\langle\set{X},\rel\rangle$を半順序集合という。このとき$\set{X}$を台集合または底集合という。また、混乱が生じない場合は半順序を省略し、単に$\set{X}$を半順序集合ということがある。
ここで半順序に反射律を仮定したが、文献によっては反射律を仮定せずに$\ele{x}\not\rel\ele{x}$を課す場合があることに注意する。これらを区別するとき、本稿での定義を非厳格（non-strict）といい、その否定が成り立つとき厳格（strict）ということがある。非厳格な半順序$\rel$が与えられれば底集合の対角集合を$\rel$から取り除くことで厳格な半順序が得られ、逆に厳格な半順序と対角集合との合併をとることで非厳格な半順序が得られる。この対応で一対一に対応することも分かるため、本稿では非厳格な半順序集合のみを考えることにする。
